(2025年)《应用回归分析》课后习题答案全文

(2025年)《应用回归分析》课后习题答案全文习题1：简单线性回归模型参数估计与显著性检验某城市2020-2023年各月平均气温（X，单位：℃）与居民用电量（Y，单位：百万千瓦时）的月度数据共48组，部分数据如下（X均值=18.5，Y均值=32.7，Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)=1245.6，Σ(Xi-X̄)²=382.4，Σ(Yi-Ȳ)²=5120.8）。（1）建立Y关于X的简单线性回归模型，并计算回归系数；根据简单线性回归模型Y=β0+β1X+ε，参数估计公式为：β1=Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)/Σ(Xi-X̄)²=1245.6/382.4≈3.257β0=Ȳ-β1X̄=32.7-3.257×18.5≈32.7-60.25≈-27.55因此，回归方程为Ŷ=-27.55+3.257X。（2）计算判定系数R²并解释其意义；总平方和SST=Σ(Yi-Ȳ)²=5120.8，回归平方和SSR=β1²Σ(Xi-X̄)²=(3.257)²×382.4≈10.60×382.4≈4053.4残差平方和SSE=SST-SSR=5120.8-4053.4=1067.4R²=SSR/SST=4053.4/5120.8≈0.792，表明居民用电量的变异中约79.2%可由气温的线性变化解释。（3）检验回归系数β1的显著性（α=0.05）；首先计算β1的标准误：se(β1)=√(SSE/((n-2)Σ(Xi-X̄)²))=√(1067.4/(46×382.4))≈√(1067.4/17590.4)≈√0.0607≈0.246t统计量=t=β1/se(β1)=3.257/0.246≈13.24自由度df=n-2=46，查t分布表得t0.025(46)≈2.013，由于|t|=13.24>2.013，拒绝原假设，β1显著不为0，气温对用电量有显著影响。（4）检验回归模型的整体显著性（α=0.05）；F统计量=F=(SSR/1)/(SSE/(n-2))=(4053.4/1)/(1067.4/46)≈4053.4/23.20≈174.7分子自由度df1=1，分母自由度df2=46，查F分布表得F0.05(1,46)≈4.05，由于F=174.7>4.05，模型整体显著。习题2：多元线性回归模型构建与逐步回归某机构收集2022年某城市120套二手房交易数据，因变量Y为房价（万元），自变量包括X1（建筑面积，m²）、X2（房龄，年）、X3（卧室数量，间）。经计算得到以下结果（括号内为标准误）：初始全模型：Ŷ=15.2+0.85X1-1.20X2+12.5X3（se：2.1,0.12,0.35,5.8），R²=0.89，调整R²=0.88，F=92.3（p<0.001）。逐步回归过程：第一步：单变量回归中，X1的R²=0.82（最高），保留X1；第二步：加入X2，模型R²=0.87，X2的t=-3.43（p=0.001），显著，保留；第三步：加入X3，模型R²=0.89，X3的t=2.16（p=0.033），在α=0.05下显著，保留；第四步：检查已保留变量的显著性，X1（t=7.08，p<0.001）、X2（t=-3.43，p=0.001）、X3（t=2.16，p=0.033）均显著，逐步回归结束。（1）解释全模型中X1的系数含义；X1的系数为0.85，表示在房龄和卧室数量不变的情况下，建筑面积每增加1平方米，房价平均增加0.85万元。（2）说明逐步回归选择变量的逻辑；逐步回归通过“向前引入-向后剔除”的迭代过程选择变量：首先引入对因变量解释力最强的变量（X1），然后依次引入能显著提高模型拟合优度的变量（X2、X3），同时检查已引入变量是否因新变量加入而变得不显著（本例中无剔除情况），最终保留所有显著变量的模型。习题3：异方差检验与修正基于习题2的全模型，残差平方e²与X1的散点图显示“喇叭形”分布，怀疑存在异方差。（1）使用White检验判断是否存在异方差（α=0.05）；White检验的辅助回归模型为：e²=α0+α1X1+α2X2+α3X3+α4X1²+α5X2²+α6X3²+α7X1X2+α8X1X3+α9X2X3+ν估计后得到R²=0.23，n=120，检验统计量nR²=120×0.23=27.6。自由度=辅助回归中解释变量个数（不含常数项）=9，查χ²分布表得χ²0.05(9)=16.92，由于27.6>16.92，拒绝原假设，存在异方差。（2）采用加权最小二乘法（WLS）修正异方差，假设权重w=1/X1²，给出修正后的回归结果；对原模型进行加权变换：Y=Y/√X1，X1=1/√X1，X2=X2/√X1，X3=X3/√X1，模型变为Y=β0X1+β1+β2X2+β3X3+ε。估计得：Ŷ=-0.52X1+0.88+(-1.15)X2+11.2X3（se：0.18,0.09,0.28,4.5），调整R²=0.91，F=105.6（p<0.001）。还原为原变量形式：Ŷ=-0.52+0.88X1-1.15X2+11.2X3（权重调整后系数更稳健，标准误减小）。习题4：自相关检验与广义差分法某地区2000-2023年年度GDP数据（Y，亿元）与固定资产投资（X，亿元）的简单线性回归模型中，残差et的序列相关图显示一阶正相关。（1）计算DW统计量并判断自相关存在性（α=0.05）；已知n=24，k=1（解释变量个数），Σ(etet-1)²=850，Σet²=1200，DW=Σ(etet-1)²/Σet²=850/1200≈0.708。查DW临界值表：n=24，k=1，α=0.05时，dL=1.27，dU=1.45。由于DW=0.708<dL=1.27，存在一阶正自相关。（2）使用广义差分法修正自相关，写出具体步骤；步骤①：估计自相关系数ρ≈1-DW/2=1-0.708/2≈0.646；步骤②：对变量进行广义差分变换：Yt=YtρYt-1，Xt=XtρXt-1（t=2,3,…,24）；步骤③：对变换后的数据（共23组）进行OLS回归，得到新的回归方程Ŷt=β0+β1Xt+εt；步骤④：原模型的长期系数为β1，截距项为β0/(1-ρ)。习题5：多重共线性诊断与处理在习题2的全模型中，X1（建筑面积）与X3（卧室数量）的相关系数r=0.82，方差膨胀因子（VIF）计算结果为：VIF(X1)=12.3，VIF(X2)=2.1，VIF(X3)=11.8。（1）判断多重共线性的严重程度；一般认为VIF>10时存在严重多重共线性。X1和X3的VIF分别为12.3和11.8，远大于10，说明二者之间存在严重多重共线性；X2的VIF=2.1<10，无显著共线性。（2）提