2026年重庆单招数学函数专项训练题

2026年重庆单招数学函数专项训练题一、选择题（每题3分，共15分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像大致形状是（）A.折线型B.直线型C.双曲线型D.抛物线型2.若函数f(x)=ax^2+bx+3在x=1时取得最小值-1，则a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤03.函数f(x)=2^x-1与g(x)=log₂(x+1)的定义域相同的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.无数个4.若函数f(x)=sin(x+α)的图像关于y轴对称，则α的可能取值是（）A.kπ+π/2（k∈Z）B.kπ-π/2（k∈Z）C.kπ（k∈Z）D.2kπ（k∈Z）5.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）A.1B.3C.5D.7二、填空题（每题4分，共20分）6.若函数f(x)=√(x-a)+√(a-x)在实数范围内有意义，则a的取值范围是______。7.函数f(x)=e^x-2x+1的极小值是______。8.若函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______。9.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是______。10.已知函数f(x)=ax+b与g(x)=x-2在x=1时的值相等，且f(x)的图像经过点(2,3)，则a=______，b=______。三、解答题（共65分）（1）计算题（每题10分，共20分）11.求函数f(x)=|x-1|+|x+3|的最小值，并说明取得最小值时的x值。12.已知函数f(x)=2^x-ax+1，若f(1)=2，求f(2)的值。（2）证明题（10分）13.证明：函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上是单调递增的。（3）应用题（15分）14.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品，可变成本为2元。若售价为p元，则市场需求量q（件）与售价p（元）满足关系式q=1000-100p。（1）求该工厂的利润函数L(p)；（2）若要获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？（4）综合题（20分）15.已知函数f(x)=log₂(2x²-mx+1)。（1）若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若f(x)在x=1时取得最大值，求m的值，并判断f(x)的单调性。答案与解析一、选择题1.B解析：|x-1|和|x+2|都是绝对值函数，图像为折线型，故f(x)的图像也是折线型。2.A解析：f(x)=ax^2+bx+3在x=1时取得最小值，说明抛物线开口向上，即a>0。3.C解析：f(x)=2^x-1的定义域为(-∞,+∞)，g(x)=log₂(x+1)的定义域为(-1,+∞)，二者相同的个数为2（-1,+∞）。4.A解析：f(x)=sin(x+α)关于y轴对称，则sin(x+α)=sin(-x+α)，即α=kπ+π/2（k∈Z）。5.D解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=7，故最大值为7。二、填空题6.a=1解析：√(x-a)和√(a-x)均有意义，需满足x-a≥0且a-x≥0，即x=a，故a=1。7.1-ln2解析：f'(x)=e^x-2，令f'(x)=0得x=ln2。f(ln2)=1-2ln2+1=2-2ln2=1-ln2。8.a>1解析：f(x)=log_a((x-1)²+2)在(1,+∞)上单调递增，需满足a>1且(x-1)²+2>0，后者恒成立，故a>1。9.π解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。10.a=2,b=1解析：f(1)=a+b=1-2+1=0，且f(2)=2a+b=3，解得a=2,b=-1。三、解答题（1）计算题11.f(x)=|x-1|+|x+3|分段为：-x≤-3时，f(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2；--3<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+3)=4；-x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+3)=2x+2。最小值为4，取得最小值时x∈(-3,1)。12.f(1)=2^1-a+1=2，解得a=1。f(2)=2^2-2+1=3。（2）证明题13.f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。在[-2,-1)和(1,2]上，f'(x)>0，故f(x)单调递增。在(-1,1)上，f'(x)<0，故f(x)单调递减。综上，f(x)在[-2,2]上不是单调递增的。（注：题目要求证明单调递增，但解析显示不成立，建议改为证明f(x)在[-2,-1)和(1,2]上单调递增。）（3）应用题14.（1）L(p)=pq-(10+2q)=(1000p-100p²)-(10+2(1000-100p))=-100p²+1200p-1010。（2）L'(p)=-200p+1200，令L'(p)=0得p=6。L(6)=-100(6)²+1200(6)-1010=3190，故售价6元时最大利润为3190元。（4）综合题15.（1）f(x)=log₂(2x²-mx+1)在[1,2]上单调递增，需满足2x²-mx+1在[1,2]上单调递增且>0。f'(x)=(4x-m)/ln2，令f'(x)≥0得m≤4x，在[1,2]上m≤8。（2）f(1)=log₂(2-m+1)