2026年广东茂名市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年茂名市高三年级第二次综合测试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（

）A． B． C． D．2．不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．曲线在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种6．在中，，，，则（

）A． B． C． D．7．已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（

）A．只有1个零点 B．有2个零点C．， D．，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知正方体的棱长为1，则（

）A． B．在上的投影向量的模为1C． D．与所成的角为45°10．已知是定义在上的函数，且，，则（

）A． B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．是的周期11．已知等差数列的前n项和为，且，，则（

）A． B．当时，最大C．当时， D．数列的最小项为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．双曲线的焦距为______．13．若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______．14．已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．为了了解高一学生的体质状况，某校开展了一次体质测试，从中随机抽取40名女学生的立定跳远成绩（单位：厘米）进行分析，得到如下频率分布表．成绩区间[160，170）[170，180）[180，190）[190，200）[200，210）[210，220]频率0.100.150.200.250.200.10(1)计算这40名女学生立定跳远成绩的众数、平均数的近似值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)规定成绩在区间[210，220]，[200，210），[190，200）分别为A，B，C等级．用分层抽样的方法从成绩在这三个等级的学生中抽取11人，再从11人中随机抽取3人进行示范．记示范学生中成绩A等级的人数为X，求X的分布列与．16．已知等比数列满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在小于0的极小值，求a的取值范围．18．如图，在矩形中，，，为的中点，把沿翻折至，为线段上的动点．(1)当为的中点时，证明：平面；(2)在翻折过程中，若在平面内的投影落在边上，且三棱锥的各个顶点均在球的球面上．（ⅰ）求球的半径；（ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值．19．已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，．(1)求p的值；(2)（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心．（ⅰ）证明：在轴上，且；（ⅱ）若，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】由共轭复数的定义及复数的乘法法则可得.【详解】因为，所以，．2．C【详解】，可得，故解集为．3．B【详解】因为，所以，又，，则所求切线方程为.4．C【详解】根据二倍角公式可得，，化简可得，，代入，可得.5．C【分析】直接用间接法计算可得结果.【详解】因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种．因此，满足条件的方案为种．6．A【分析】先根据三角函数基本关系得到，进而利用和差公式计算，再由正弦定理计算边长即可．【详解】，，，由正弦定理和大边对大角，则，又,，，，则，又，故．7．D【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率.【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点，直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为，为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且，所以，解得.8．D【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可.【详解】由题意，可得，令，则，故为常函数，设，m为常数，则，即，则，，那么没有零点且，故A，B，C错误；由对任意，均有，即对任意，均有，那么．不等式两边同乘正数，等价于证明，令，，令得：时，，递减；时，，递增；故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确.9．AB【分析】建立空间直角坐标系，根据数量积运算公式，异面直线夹角公式，投影向量的相关公式进行求解【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，故，故，A正确；B选项，，，在上的投影向量的模为，B正确；C选项，，，，，，故，C错误；D选项，设与所成的角大小为，由图知为锐角，则，故与所成的角大小不是45°，D错误.10．ACD【详解】在中,令，可得，所以，故A正确；由，可得的图象关于直线对称，故C正确；在中，令，可得，又由选项A知，故，若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误；由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称，故，故D正确．11．BCD【分析】根据题意可判断，，，据此结合等差数列的性质判断各项即可．【详解】因为，即．因为，所以的公差小于零，则，，则，故，A错误；因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确；因为，，，所以，，C正确；因为当时，，且当时，，所以当时，，此时．又因当时，最小，且时，单调递减，所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确．12．4【详解】双曲线，，，，，焦距为.13．##【详解】因为，所以，由函数在区间上有且仅有3个零点，所以，所以的最小值为.14．##0.7【分析】由事件的定义对10，9，8三个数所在的集合进行分类讨论，确定8，9，10都在前段，因而可得事件等价于8，9，10都在前k个位置，再利用古典概型概率公式结合排列数公式计算即得.【详解】记，，则等价于。①若10在后段，则，，于是，不满足；②若10在前段，但8或9在后段，则，，于是，不满足；③若8，9，10都在前段，则，于是，满足．因此，事件等价于8，9，10都在前k个位置．计算：将8，9，10放在前3个位置，共3！种选择，余下的7个位置随机排列，共7！种选择，因此．注意到对，2，…，8，均有为的子事件，因此．计算：将8，9，10放在前9个位置，等价于第10位是1到7中的某个数，共7×9！种选择，因此．15．(1)195厘米，191厘米(2)分布列见解析，【分析】（1）根据众数、平均数的定义求解；（2）由分层抽样确定各等级人数，得X的所有可能取值为0，1，2，计算出概率后得分布列.【详解】（1）这六个区间中，频率最大为0.25，该区间为[190，200），则这40名学生立定跳远成绩的众数的近似值为195厘米，平均数，所以这40名学生立定跳远成绩的平均数的近似值为191厘米．（2）由分层抽样，可知C等级对应5人，B等级对应4人，A等级对应2人．从11人中选3人，共种．X的所有可能取值为0，1，2，则，，．则X的分布列为012P．16．(1)；(2)243【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式；（2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和.【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故，又，解得（负值舍去），故，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，，当时，，当时，．所以，由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数．若，则，公共项为0；若，则由，可得，n必须为偶数，令，，则公共项为．故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列，即，所以数列的前10项和为．17．(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)【分析】（1）求导函数，分讨论，由确定增区间，确定减区间；（2）结合（1）得的极小值，再由极小值小于0得参数范围.【详解】（1）的定义域为，且①当时，则，所以在区间上单调递增；②当时，，令，可得，时，，时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）由（1）可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在处取到极小值，则，即．令，由，故单调递增，且，因此，即a的取值范围为．18．(1)证明见解析(2)（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用外接球的概念，结合空间两点间的距离公式可求三棱锥外接球的半径；利用空间向量可求平面与平面的夹角的余弦，再结合余弦函数的性质，可得夹角的最小值.【详解】（1）如图，取的中点，连接，，由题意知，四边形是平行四边形，所以．∵平面，∴平面．∵，分别为，的中点，∴．又∵平面，平面，∴平面，又，所以平面平面，∵平面，∴平面．（2）（ⅰ）过作于，连接，∵在平面内的投影在边上，∴平面，又平面，即，又，故平面，即．∵，，，∴，．又，所以，则，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设三棱锥外接球的球心为点，外接球半径为，因为点，，，均在球的球面上，所以，解得，则三棱锥外接球的半径为．（ⅱ）解：由（ⅰ），可得，，设平面的一个法向量为，则即，可取．因为，C为线段上的动点，可设，则，即，，设平面的一个法向量为，则即，可取，设平面与平面的夹角为，则，当时，，为最大值；当时，，故时，取到最大值，即平面与平面的夹角的最小值为．19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）8【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得，结合，即可求得的值；（2）（ⅰ）设，求得直线方程，与的方程组，求得，同理可得，进而得到，，求得，结合函数的性质，即可得证；（ⅱ）由（ⅰ）得到和，求得和，化简，列出方程，求得，结合，得到，得出，设点到直线的距离为，结合重心的性质，求得点到直线的距离，即可求解.【详解】（1）设，其中，，因为M是抛物线：与：的公共点，可得，解得，则，又因为，所以，则，可得，因为，可得；（2）（ⅰ）证明：由（1）知，，设，，