八下数学平行四边形四种常考必会模型

八下数学平行四边形四种常考必会模型一、对角互补模型(1)如图1，四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD=CD，DE=5，求四边形ABCD的面积.可作如下思考：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则有△ADE≌△CDF，由此可证DE=DF，进一步得出四边形DEBF的形状为正方形，最后得出四边形ABCD的面积为25.

解：由题可知，∠F=∠B=∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴∠EDF=90°.∵∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，∵∠AED=∠F，AD=CD，∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴DE=DF，∴四边形DEBF是正方形，∴四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积，∴四边形ABCD的面积为52=25(2)如图2，四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，BD=6，求四边形ABCD的面积.解：如图，过点D作DF⊥BD，交BC的延长线于F，则∠BDF=90°，∴∠BDF=∠ADC，∴∠ADB=∠CDF.∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCF=180°，∴∠A=∠DCF，又∵AD=CD，∴△ADB≌△CDF(ASA)，∴BD=DF=6，S△ADB=S△CDF，∴S四边形ABCD=S△BDF.∵BD=DF=6，∠BDF=90°，∴S△BDF=12×6×6=18∴S四边形ABCD=18，即四边形ABCD的面积为18.二、“半角”全等模型如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°.(1)求证：DF+BE=EF.证明：如图，延长CB至点G，使BG=DF，连接AG.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中，AB=∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠EAF=45°，∴∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中，AG∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴GE=EF，∴DF+BE=BG+BE=GE=EF.(2)过点A作AH⊥EF，垂足为H，求证：AH=AD.解：补全图形后，如图，由(1)得△AEG≌△AEF，∴EG=EF，S△AEG=S△AEF，∴12GE·AB=12∴AB=AH，∵AB=AD，∴AH=AD.三、“十字架”模型【问题】如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，请证明BE=AF，BE⊥AF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF，∠ABE=∠FAD.∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴BE⊥AF.【探究】去掉“DE=CF”这一条件.(1)若已知BE=AF，则BE⊥AF吗?请说明理由.BE⊥AF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∵BE=AF，∴Rt△BAE≌Rt△ADF(HL)，∴∠ABE=∠FAD.∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴BE⊥AF.(2)若已知BE⊥AF，则BE=AF吗?请说明理由.BE=AF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∵BE⊥AF，∴∠AOE=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FAD，∴△BAE≌△ADF(ASA)，∴BE=AF.四、含60°角的菱形如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度(D)A.逐渐增加B.逐渐减小C.始终与EF的长度相等D.保持不变且与AB的长度相等解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AB∥CD，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=60°.∵DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD=60°，∴∠A=∠CDB，∵∠ABD=∠EBF=60°，∴∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，即∠ABE=∠DBF.在△ABE和△DBF中，∠∴△ABE≌△DBF(ASA)，∴AE=DF，∴AE+CF=DF+CF=CD=AB.八下数学平行四边形四种常考必会模型一、对角互补模型(1)如图1，四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD=CD，DE=5，求四边形ABCD的面积.可作如下思考：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则有△ADE≌△CDF，由此可证DE=DF，进一步得出四边形DEBF的形状为正方形，最后得出四边形ABCD的面积为25.

解：由题可知，∠F=∠B=∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴∠EDF=90°.∵∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，∵∠AED=∠F，AD=CD，∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴DE=DF，∴四边形DEBF是正方形，∴四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积，∴四边形ABCD的面积为52=25(2)如图2，四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，BD=6，求四边形ABCD的面积.解：如图，过点D作DF⊥BD，交BC的延长线于F，则∠BDF=90°，∴∠BDF=∠ADC，∴∠ADB=∠CDF.∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCF=180°，∴∠A=∠DCF，又∵AD=CD，∴△ADB≌△CDF(ASA)，∴BD=DF=6，S△ADB=S△CDF，∴S四边形ABCD=S△BDF.∵BD=DF=6，∠BDF=90°，∴S△BDF=12×6×6=18∴S四边形ABCD=18，即四边形ABCD的面积为18.二、“半角”全等模型如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°.(1)求证：DF+BE=EF.证明：如图，延长CB至点G，使BG=DF，连接AG.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中，AB=∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠EAF=45°，∴∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中，AG∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴GE=EF，∴DF+BE=BG+BE=GE=EF.(2)过点A作AH⊥EF，垂足为H，求证：AH=AD.解：补全图形后，如图，由(1)得△AEG≌△AEF，∴EG=EF，S△AEG=S△AEF，∴12GE·AB=12∴AB=AH，∵AB=AD，∴AH=AD.三、“十字架”模型【问题】如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，请证明BE=AF，BE⊥AF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF，∠ABE=∠FAD.∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴BE⊥AF.【探究】去掉“DE=CF”这一条件.(1)若已知BE=AF，则BE⊥AF吗?请说明理由.BE⊥AF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∵BE=AF，∴Rt△BAE≌Rt△ADF(HL)，∴∠ABE=∠FAD.∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴BE⊥AF.(2)若已知BE⊥AF，则BE=AF吗?请说明理由.BE=AF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∵BE⊥AF，∴∠AOE=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FAD，∴△BAE≌△ADF(ASA)，∴BE=AF.四、含60°角的菱形如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度(D)A.逐渐增加B.逐渐减小C.始终与EF的长度相等D.保持不变且与AB的长度相等解：如图，连接BD，∵四边形ABCD