2026年强基计划校考数学与高中竞赛知识衔接

2026年强基计划校考数学与高中竞赛知识衔接题目部分一、选择题（每题3分，共15分）1.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-22.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面内对应的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3.设函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为（）A.0B.1C.2D.34.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，S_5=20，则公差d的值为（）A.1B.2C.3D.45.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则角C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题4分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(x+α)在x=0处取得最小值，则α的取值集合为________。2.若实数x满足x+1/x≥2，则x的取值范围是________。3.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心O到直线3x-4y+5=0的距离为________。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为________。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_n+1=2n（n≥1），则a_5的值为________。三、解答题（共65分）1.（10分）设函数f(x)=x³-3x²+2。（1）求f(x)的极值点；（2）讨论f(x)在(-∞,+∞)上的单调性。2.（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-c²=ab。（1）求sinC的值；（2）若△ABC的面积为6，求ab的值。3.（12分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_n+1=2n（n≥1）。（1）求证{a_n}是等差数列；（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n(-1)^(n+1)，求S_n=b_1+b_2+...+b_n的前10项和。4.（15分）已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，直线l的方程为3x-4y+m=0。（1）求圆O的圆心和半径；（2）若直线l与圆O相切，求m的值；（3）若直线l与圆O相交，求弦长的取值范围。5.（15分）设复数z=1+i，其中i为虚数单位。（1）求z³的值；（2）若复数w满足|w-z|=2，且w的实部与虚部相等，求w的值。答案与解析部分一、选择题答案与解析1.答案：A解析：f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=3x²-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。2.答案：B解析：|z-2|+|z+2|=6表示z到(2,0)和(-2,0)的距离和为6，符合椭圆定义（焦点为(2,0)和(-2,0)，长轴为6）。3.答案：C解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1处分段，f(-1)=2，f(1)=2，且在(-1,1)区间内f(x)≥2。故最小值为2。4.答案：B解析：由a_3=a_1+2d=5，S_5=5a_1+10d=20，解得a_1=0，d=2。5.答案：D解析：由a²+b²-c²=ab，得cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=b/(2a)，又a²+b²=c²，代入得cosC=1/2，故C=90°。二、填空题答案与解析1.答案：{2kπ-π/2|k∈Z}解析：f(x)=sin(x+α)在x=0处取得最小值，则x+α=2kπ-π/2，即α=2kπ-π/2。2.答案：[1,+∞)∪(-∞,-1]解析：x+1/x≥2等价于(x-1)²≥0，解得x≥1或x≤-1。3.答案：5/5=1解析：圆心O(2,-3)，直线3x-4y+5=0的距离d=|32-4(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=17/5。4.答案：3/5解析：由余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(16+25-9)/(245)=32/40=4/5。但题目中a=3,b=4,c=5对应直角三角形，cosA=3/5。5.答案：9解析：a_n+a_n+1=2n，a_2+a_3=4，a_3+a_4=6，...，a_4+a_5=8，累加a_1+a_2+...+a_5=15，由a_1=1得a_5=9。三、解答题答案与解析1.（10分）（1）极值点：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点。（2）单调性：-当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；-当x∈(0,2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；-当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。2.（12分）（1）sinC的值：由a²+b²-c²=ab，得2abcosC=ab，即cosC=1/2，故sinC=√3/2。（2）ab的值：△ABC面积为6，即1/2absinC=6，解得ab=12。3.（12分）（1）等差数列证明：由a_n+a_n+1=2n，得a_n+1-a_n=2n-a_n-a_{n-1}，即a_n+1-a_n=2n-(a_{n-1}+a_n)，整理得a_{n+1}+a_{n-1}=4n-(a_n+a_{n-1})，递推可得{a_n}是等差数列，公差为2。（2）前10项和：a_n=1+(n-1)2=2n-1，b_n=(2n-1)(-1)^(n+1)，S_10=(b_1+b_3+...+b_9)+(b_2+b_4+...+b_10)，奇数项和为(1-5+9-...-17)=5，偶数项和为(-3+7-...+19)=10，故S_10=5+10=15。4.（15分）（1）圆心和半径：x²+y²-4x+6y-3=0，配方得(x-2)²+(y+3)²=16，圆心O(2,-3)，半径r=4。（2）m的值：直线l与圆相切，距离d=r=4，即|32-4(-3)+m|/√(3²+(-4)²)=4，解得m=0或m=-24。（3）弦长范围：弦长2√(r²-d²)，d∈(0,4)，故弦长取值范围为(0,8]。5.（15分）（1）z³的值：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-