重庆外国语学校(川外附中)2025-2026学年高一上学期1月检测数学试题

重庆外国语学校度（上）高届1月检测数学试题（满分分，分钟完成）注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码在答题卡上的指定位置．．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．I卷选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断.【详解】因为命题“”是全称量词命题，”.故选：A2.“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件第1页/共17页

【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件；但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现，则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件；则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件.故选：B.3.已知某扇形的弧长与面积的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可.【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则，所以，.故选：A.4已知集合，且，则（）A.1B.1C.±1D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件判断出，然后对进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解.【详解】因为，所以，即中的所有元素都必须属于，又因为，，，所以，即，得出或，当时，，则，，满足，第2页/共17页

当时，，则，，不满足集合元素的互异性，综上所述，.故选：B.5.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数的零点存在性定理判断即可.【详解】因为函数在上单调递增.，，由函数的零点存在性定理可得函数的零点所在区间为.故选：D.6.已知函数为偶函数，则（）A.B.0C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，结合指数幂的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】因为函数为偶函数，所以，即，又因为，可得，即第3页/共17页

所以，解得.故选：B.7.函数的部分图象如图所示，则可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于A，利用正切函数的定义域即可判断；对于B，利用该函数的奇偶性即可判断；对于C，D，根据两函数在上的函数值与函数的对应函数值的大小比较，结合图象即可判断.【详解】对于A：若，因在处无定义，则函数图象在上应有间断，故A错误.对于B：是偶函数，图象应关于轴对称，故B错误.对于C，D：对于，当时，，，即在上的图象应该分布在直线的下方，图形符合题意；而对于，当时，，故，即在上图象应该分布在直线的上方，图形显然不合要求.故C正确，D错误.故选：C.第4页/共17页

8.已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用图象关于对称，得到，再利用周期为得到，故.【详解】因为函数的图象关于对称，所以；令，得到又因为是定义在上周期为的函数，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.已知集合，则（）A.B.C.D.第5页/共17页

【答案】AD【解析】【分析】根据集合交、并、补运算求解即可.【详解】.选项A：，故A正确；选项B：，，故B错误；选项C：，，故C错误；选项D：，，故D正确.故选：AD.10.声强级（单位：为实际声强，为参考声强．常人听觉能忍受的最高声强级为，对应的声强为．下表为不同场景的声强级：场景声强级/dB图书馆地铁站80~90已知在图书馆和地铁站测得实际声强分别为，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据所给定义，结合对数的运算性质和不等式的性质，逐一分析计算，即可得答案.【详解】选项A：由题意得，整理得，则，即，故A正确；选项B：图书馆声强级：，则，则，第6页/共17页

所以，得则，故B正确；选项C、D：地铁站声强级：，则，得，所以，由B项得，，则，即，故C正确，D错误.故选：ABC函数的函数值表示不小于的最小整数，例如，，则（）A.B.对任意的，有C.当时，方程有无数多个实数解D.若存在，使得，，，，则正整数【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义即可判断出选项A、B；将方程问题转化为值域问题，结合选项B的结论，进而判断选项C；依次联立到的不等式，判断是否存在交集，从而确定的最大值，即可判断选项D.A的最小整数是A正确；选项B：的函数值表示不小于的最小整数，所以，且，所以对任意的，有，故B正确；选项C：方程可化为.令，根据可得，，即.当时，，第7页/共17页

则，在区间上单调递减，且.所以对于，无实数解，故C错误；选项D：若，则；若，则，；若，则，；若，则，；若，则，；因为，，所以，所以，即，也即，所以与无公共部分，即不存在，使得，成立.所以当时，存在满足条件的值，当时，不存在满足条件的值，故正整数，故D正确.故选：ABD.卷非择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.化简：___________．【答案】【解析】【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案.【详解】.故答案为：.13.函数的单调递增区间为___________．第8页/共17页

【答案】和【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性求解即可.【详解】.求的单调递增区间等价于求的单调递减区间.令，，解得，.当时，，与交集为；当时，，与交集为；综上，函数的单调递增区间为和.故答案为：和.14.若，则的大小关系为___________．【答案】【解析】证明，在证明，再利用零点存在性定理证明，结合关系证明，从而得到.【详解】，，，，，，，设，定义域为，在上为单调递增函数，设在上为单调递减函数，第9页/共17页

当时，，，此时，当时，，，此时，则，使得，即，，，设，定义域为，在上为单调递增函数，设在上为单调递减函数，当时，，，此时，当时，，，此时，则，使得，即，当时，，则，在为增函数，在为增函数，所以，综上可知，.故答案为：.四．解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某建筑物准备建造可使用25年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5（单位：厘米）满足关系．若不建隔热层时，每年能源损耗费用为3万元．记隔热层建造费用与25年的能源损耗费用之和为（1）求的表达式；第10页/共17页

（2）当为多少时，取最小值？【答案】（1）；（2）.【解析】1）根据题意得，解得，再根据题意表示出即可；（2）运用基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可知，，解得，故，则；【小问2详解】由（1）可知，，则，当且仅当时，即时，等号成立，因此当厘米时，取最小值万元.16.（1）已知，且，求；（2）已知，且，求．【答案】（1）2）【解析】1）根据三角函数的诱导公式，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解；（2）根据题意，求得得到，利用三角函数的基本关系式，求得，联立方程组，求得的值，结合诱导公式和商数关系，即可求解.第11页/共17页

1）解：由，因为，可得,又因，所以，所以，所以；（2）解：由，平方得，可得，且，因为，所以，此时，则，又因为，所以，联立方程组，解得，所以.17.已知函数（1）判断在上单调性，并用定义证明：（2）若，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时的相应取值范围．【答案】（1）在上单调递减，证明见解析;（2）答案见解析．【解析】【分析】根据函数单调性定义可证明在上单调递减；第12页/共17页

画出函数的图像，结合图像进行求解．【小问1详解】在上单调递减.证明如下：由于定义域为，任取，则因为，所以，即.又，，所以，所以，所以函数在上单调递减.【小问2详解】当时，得，如图所示：当时，，当时，，则，则方程的实数解个数为1时，的取值范围为：，第13页/共17页

方程的实数解个数为2时，的取值范围为：，方程的实数解个数为3时，的取值范围为：．18.已知函数．（1）当时，，求的取值范围；（2）证明：的图象是中心对称图形：（3）若，函数，其中，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）结合函数的单调性，分和两种情况讨论，由求实数的取值范围.（2）探索的值，可得函数的对称性.（3）研究真数处的范围，再根据函数的单调性求函数的值域.【小问1详解】由，所以函数的定义域为.由，所以函数在上有意义.设，则在上单调递增，且，，所以.则问题转化为，恒成立，求实数的取值范围.第14页/共17页

当时，函数在上单调递减，所以，结合可得；当时，函数在上单调递增，所以，结合可得.综上可得，实数的取值范围为.【小问2详解】因为函数的定义域为，所以若为中心对称图形的话，对称中心的横坐标一定是.又因为.所以函数的图象关于点成中心对称.【小问3详解】当时，，因为，所以，，所以，所以，即.19.（1）若，证明：当时，；（2）若函数在上的最小值为，证明：；（3）若对恒成立，求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；第15页/共17页

（3）.【解析】1）运用对数的换底公式，以及对数函数单调性即可得解；（2）利用在上的值域为，再结合，即可判