四川省内江市高三第一次模拟考试试题数学理

保密★启用前【考试时间：2017年12月26日15:00—17:00】四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题数学（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则A.2B.C.1D.3.下列各组向量中，可以作为基底的是A.，B.，C.，D.，4.下列说法中正确的是先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D.设随机变量服从正态分布，则5.执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是A.2B.1C.D.6.若函数在上单调递减，则的值可能是A.B.C.D.7.已知是锐角，若，则A.B.C．D．8.设是等比数列，则下列结论中正确的是 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9.函数的图象大致是10.已知实数满足，则当时，的最大值是A.5B.2C.D.11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则是常数列B.不是单调数列C.是递增数列D.是递减数列第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中，的系数是.（用数字作答）14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是.15.设函数，则满足的的取值范围是.16.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设数列满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.18.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，点在边上，，求的长.19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.20.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本题满分10分）[选修44：极坐标与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中.射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.23．（本题满分10分）[选修45：不等式选讲]已知函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设实数满足，证明：.四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题数学（理工类）参考答案及评分意见一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）1.B11.A.C3.B4.D5.A6.C7.D8.D9.B10.C11.A12.D二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.14.乙15.16.三．解答题（共6小题，共70分）17.解：（Ⅰ）∵数列满足∴当时，..............................2分∴当时，，即........................................4分当时，满足上式∴数列的通项公式..............................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...................................7分∴...............................9分.........................................................12分18.解：（Ⅰ）∵∴由正弦定理知，...................................1分∵∴，于是，即..............................3分∵∴..................................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，∴....................................................................7分∴.........................................9分∵在中，∴...........................................................11分∴..............................................12分19.解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100...........................................................................3分将列联表中的数据代入公式计算得...............5分∵∴有90%的把握认为................的选择有关................6分（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为..................集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备..................9分（Ⅲ）由题知，................................................11分∴......................................................12分20.解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，∴....................................................1分∵....................................................2分∴由切线方程知，.......................................3分∴..........................................................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.......................5分∴，.........................................6分当时，当时，，故单调递减∴在上的最大值为.........................................7分②当时∵，∴存在，使当时，，故单调递减当时，，故单调递增∴在上的最大值为或....................................9分又，∴当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为......................10分当时，当时，，故单调递增∴在上的最大值为..................................11分综上所述，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为.........................12分21.解：（Ⅰ）证明：设，则令，得当时，，单调递减当时，，单调递增∴，当且仅当时取等号∴对任意，..................................................2分∴当时，∴当时，∴当时，..............................................4分（Ⅱ）函数的定义域为当时，由（Ⅰ）知，，故..............6分当时，，∵，，且为上的增函数∴有唯一的零点当时，，单调递减当时，，单调递增∴的最小值为.......................................8分由为的零点知，，于是∴的最小值由知，，即.................................10分又，∴在上有一个零点，在上有一个零点∴有两个零点.........................................................11分综上所述，的最小值为1..................................................12分(另法：由的最小值（其中）得，整数大于等于1，再用零点存在定理说明当时有两零点.)22.解：（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为曲线的普通方程为，极坐标方程为..............4分（