初中数学九年级下册《相似多边形》教案（人教版）

初中数学九年级下册《相似多边形》教案（人教版）

一、教学指导思想与理论依据

本节课的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为根本宗旨。教学理念植根于建构主义学习理论，强调学生在已有知识经验（全等图形、比例、相似三角形）的基础上，通过主动探究、合作交流、意义建构，形成对“相似多边形”概念的深刻理解。同时，融合大单元教学思想，将本课时视为“相似形”知识体系中的关键节点，注重知识的结构化与网络化，为学生后续学习位似、锐角三角函数乃至高中阶段的相似变换奠定坚实的认知基础。

教学突出学科实践，引导学生像数学家一样去观察、猜想、验证、归纳，经历完整的数学发现过程。通过真实或模拟的跨学科情境（如地图测绘、工程制图、艺术设计），展现数学的广泛应用价值，培养学生的几何直观、空间观念、推理能力和模型思想，实现从“学会”到“会学”、从“解题”到“解决问题”的跨越。

二、教学内容与学情分析

1.教学内容分析

本节课是人教版九年级下册第二十七章《相似》中的第二课时。本章知识体系承上启下，上承“全等三角形”和“比例线段”，下启“位似变换”及高中更深入的几何变换知识。“相似多边形”是“相似三角形”概念的推广与一般化，是相似理论从特殊到一般的飞跃。其核心内容包括：

1.概念本质：理解相似多边形是形状相同、大小不一定相同的图形，其数学定义建立在“角”和“边”两个维度上。

2.判定与性质：相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例）既作为判定依据，也蕴含了其主要性质。两者互为逆命题，是逻辑推理训练的良好载体。

3.相似比：作为量化“相似程度”的核心参数，其引入标志着从定性描述到定量分析的进步。

本节课的教学难点在于，学生需要从相对简单的三角形情境，过渡到边数不定的多边形一般情境，抽象层次更高。同时，对“对应”关系的准确把握，以及利用定义进行严谨的逻辑论证，是学生思维面临的挑战。

2.学情分析

教学对象为九年级下学期的学生，他们具备以下认知基础与潜在困难：

1.知识基础：已经系统学习了全等多边形（特别是全等三角形）的定义与性质；掌握了比例的基本性质及成比例线段的概念；刚学完“相似三角形”的初步概念，对“形状相同”有直观感受。

2.能力与经验：具备一定的观察、测量、归纳能力，能够进行简单的几何推理。部分学生已接触过地图比例尺、模型缩放等生活实例。

3.潜在困难与误区：

1.4.容易将“相似”与“全等”的概念混淆，忽视“大小可以不同”这一关键差异。

2.5.在判断或证明多边形相似时，可能遗漏“对应角相等”或“对应边成比例”中的任一条件，或将“边数相等”误认为是充分条件。

3.6.对于复杂图形中“对应元素”的识别存在困难。

4.7.从具体数字计算到用字母表示相似比进行符号化推理，存在思维跨越。

基于此，教学设计需通过丰富的直观感知活动筑牢概念表象，通过阶梯式的问题链引导思维攀升，并通过辨析、反例破解认知误区。

三、教学目标

基于核心素养导向，设定以下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解并准确叙述相似多边形的定义，能指出相似多边形中的对应顶点、对应角、对应边及相似比。

2.掌握相似多边形的两个基本性质：对应角相等，对应边成比例。

3.能根据定义判定两个多边形是否相似，并能进行简单的计算和证明。

4.能运用相似多边形的知识解决简单的实际问题（如图纸缩放、比例模型计算）。

2.过程与方法

1.经历从生活实例中抽象出相似多边形概念的过程，发展数学抽象能力。

2.通过测量、计算、猜想、验证、归纳等探究活动，发现相似多边形的本质特征，体验数学研究的一般方法。

3.在运用定义进行判断和推理的过程中，发展逻辑推理能力和几何直观。

4.通过小组合作交流，提升数学语言表达和协作解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观

1.感受相似图形在现实世界中的普遍性与和谐美，激发学习几何的兴趣。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.体会数学的严谨性，养成言必有据、一丝不苟的科学态度。

4.认识数学与生活、科技、艺术的广泛联系，感悟数学的应用价值。

四、教学重难点

1.教学重点：相似多边形的定义及其核心特征（对应角相等，对应边成比例）。

2.教学难点：

1.3.概念理解：从“形状相同”的直观描述，上升到“角”与“边”双重数量关系的精确定义。

2.4.应用与推理：准确识别复杂图形中的对应关系，并运用定义进行判定和推理论证。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含丰富的相似多边形生活图片、动态几何软件演示文件）、两个形状相同大小不同的四边形纸质模型、三角板、量角器、实物投影仪。

2.学生准备：直尺、量角器、计算器、课堂学习任务单。

3.环境准备：学生按4-6人异质小组就坐，便于开展合作探究。

六、教学过程设计

（一）情境激趣，温故孕新（预计时间：8分钟）

1.创设情境，引入课题

教师利用多媒体展示一组精心挑选的图片：

1.一组不同尺寸但款式相同的国旗。

2.某建筑物与它的微缩模型。

3.一张标准地图与它的局部放大图。

4.两幅用不同比例绘制的校园平面示意图。

5.艺术家埃舍尔作品中充满相似变换元素的镶嵌画。

师生活动：

教师提问：“观察这些图片中的每组图形，它们有什么共同特征？”引导学生用自然语言描述：“形状一模一样，就是大小不一样。”“放大或缩小的关系。”

教师顺势引出数学术语：“在数学上，我们把这种形状相同、大小不一定相同的图形，称为相似图形。上节课我们研究了最基础的相似图形——相似三角形。今天，我们将把这一概念推广到边数更多的图形——多边形。”（板书课题：27.1相似多边形）

2.回顾旧知，搭建桥梁

提问回顾：

1.“我们如何定义两个三角形全等？”（对应角相等，对应边相等）。

2.“那么，定义两个三角形相似的关键条件是什么？”（对应角相等，对应边成比例）。

3.“将‘三角形’换成‘四边形’、‘五边形’……，这个条件还适用吗？请谈谈你的猜想。”

设计意图：通过跨领域（国旗-政治、模型-工程、地图-地理、艺术）的真实情境，激发兴趣，让学生直观感受“相似”的普遍性。从复习相似三角形的定义入手，利用知识的正迁移，自然地将学生的思维引向更一般的多边形，为新课探究指明方向，实现“温故”与“孕新”的无缝衔接。

（二）操作探究，建构概念（预计时间：20分钟）

这是本节课的核心环节，旨在让学生亲历概念的生成过程。

活动一：直观感知，提出猜想

教师分发两个形状完全相同（如都是长方形或都是相似四边形）、但大小不同的纸质四边形模型（标记为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'）给每个小组。

任务一：请同学们利用手中的工具，通过测量、计算、比较，尽可能多地发现这两个四边形之间的联系。将你们的发现记录在任务单上。

学生小组活动，教师巡视指导。预计学生能发现：

1.它们的四个角好像分别相等。（∠A=∠A‘,∠B=∠B’，…）

2.它们的四条边，虽然长度不同，但好像存在某种倍数关系。可能有学生会尝试计算邻边的比值，但教师应引导他们关注“对应边”的比值。

教师介入引导：“为了比较边的关系，我们需要确定谁和谁是对应的边。如何确定对应边？”（通常由对应角的顶点来确定，例如∠A和∠A’是对应角，那么它们所对的边BC和B‘C’就可能不是对应边，连接A、B的边AB与连接A‘、B’的边A‘B’才是对应边）。明确对应关系后，再计算AB/A‘B’，BC/B‘C’，CD/C‘D’，DA/D‘A’的值。

活动二：数据验证，形成定义

各小组汇报测量与计算结果。

教师选择两组有代表性的数据（一组精确证明相似，另一组可故意选择非相似图形或测量有误差的数据）进行实物投影展示和全班讨论。

引导学生观察并思考：

1.对于形状相同的两个四边形，你们计算出的各组对应边的比值有什么关系？（相等）

2.这个共同的比值叫什么？（相似比，又称相似系数）

3.谁能用最准确、最简洁的数学语言，概括出这两个四边形“形状相同”的本质特征？

学生尝试概括，教师不断引导和修正。最终，师生共同归纳出相似多边形的定义：

如果两个边数相同的多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

教师在黑板上用符号语言规范板书：

对于四边形ABCD和四边形A‘B’C‘D’，

若∠A=∠A‘,∠B=∠B’,∠C=∠C‘,∠D=∠D’，

且AB/A‘B’=BC/B‘C’=CD/C‘D’=DA/D‘A’=k，

则四边形ABCD∽四边形A‘B’C‘D’，相似比为k。

强调：“∽”读作“相似于”。

活动三：辨析深化，理解内涵

辨析1：展示两个矩形，一个长宽比为2:1，另一个长宽比为3:1。提问：它们对应角都相等（都是90°），它们相似吗？为什么？（不相似，因为对应边不成比例）。结论：判定相似必须两个条件同时满足。

辨析2：展示一个正方形和一个菱形（内角不全是90°）。提问：它们的四条边都相等，对应边成比例（比例系数为1），它们相似吗？为什么？（不相似，因为对应角不相等）。

辨析3：一个四边形和一个五边形可能相似吗？（不可能，因为边数不同，无法满足“对应角相等，对应边成比例”的前提）。

设计意图：通过“操作—发现—验证—归纳”的科学探究流程，让学生从感性认识上升到理性认识，自主建构概念。强调“对应关系”的确定方法，这是正确应用概念的基石。精心设计的辨析环节，旨在通过反例深刻揭示定义中两个条件的独立性与必要性，以及“边数相同”的前提，帮助学生突破认知误区，实现对概念内涵的深度理解。

（三）应用迁移，深化理解（预计时间：12分钟）

本环节旨在引导学生从概念理解走向初步应用，分为两个层次。

层次一：直接应用，巩固双基

例1：（课本例题变式）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似。已知∠A=85°，∠B=90°，∠C=125°，AB=12，BC=18，CD=14，AD=8，EF=6。

求：（1）∠F和∠H的度数；（2）边EH，GH的长度。

师生活动：教师引导学生分析：

1.由相似，对应角相等。如何找对应角？通常按多边形字母的顺序对应。假设已知ABCD∽EFGH，则∠A对应∠E，∠B对应∠F…。但题目只给出了四边形EFGH的一部分信息，需要先根据边的关系确定准确的对应顶点顺序。由AB/EF=12/6=2，推测相似比k=2。再验证其他已知边是否满足此比例关系，从而确认对应关系。

2.确定对应关系后，利用∠B=∠F，∠D=∠H（需先计算∠D=360°-其他三个角）求解角度。

3.利用相似比k=2及对应关系，由AD/EH=2，CD/GH=2求解边长。

教师板书规范解题步骤，强调解题关键：先确定对应关系，再运用性质。

层次二：变式训练，内化技能

练习：判断下列命题是否正确，并说明理由。

1.所有的矩形都相似。（）

2.所有的等边三角形都相似。（）

3.两个等腰梯形，若腰长成比例，则它们相似。（）

4.两个菱形，若有一个内角相等，则它们相似。（）

学生独立思考后回答，阐述理由。第4题是难点，需引导学生分析：一个角相等，可推出所有对应角相等（菱形邻角互补，对角相等），但对应边虽成比例（四条边各自相等），但若一个是“扁”菱形，一个是“瘦”菱形，它们的相似比会不一致吗？实际上，只要有一个角相等，两个菱形的形状就确定了，对应边的比例关系是固定的。因此正确。此分析可渗透后续“相似多边形的判定定理”思想。

设计意图：例1是定义的直接应用，训练学生运用定义进行计算和简单推理的流程。变式练习则针对常见错误理解设计，旨在深化对概念本质的把握，特别是对“都”、“任意”等全称量词下结论的谨慎态度，培养学生思维的批判性和严谨性。

（四）拓展联系，升华认知（预计时间：5分钟）

1.相似多边形与全等多边形的关系

提问：“当相似比k等于什么值时，相似多边形就变成了全等多边形？”（k=1）。

因此，全等是相似的特殊情况（相似比为1的相似）。用集合图表示：全等多边形集是相似多边形集的子集。这体现了数学概念从一般到特殊的发展脉络。

2.跨学科视角下的相似多边形

1.地理与测绘：地图、卫星照片的比例尺，本质就是相似比。1:10000的地图，图上任意多边形与实际地形对应的多边形相似，相似比为1:10000。

2.工程与制造：机械零件的图纸与实物、建筑物的蓝图与大楼，都是相似关系。工程师依靠精确的相似比进行放样施工。

3.艺术与设计：logo的缩放、海报的放大印刷、数码照片的像素调整，都运用了相似变换原理。动态几何软件（如几何画板）中的“缩放”工具，其数学内核就是相似变换。

教师可快速展示相关图片或简短动画，让学生体会数学作为基础学科的强大渗透力。

设计意图：建立新旧知识（相似与全等）的网络化联系，完善认知结构。通过揭示相似多边形在众多领域的应用，将数学从课本引向广阔的世界，彰显其工具价值和文化价值，落实学科育人目标，激发学生进一步探索的欲望。

（五）课堂小结，反思提升（预计时间：3分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行自主总结：

1.知识层面：我今天学到了相似多边形的定义是……；它的性质是……；相似比是……。

2.方法层面：我经历了从测量、计算到归纳结论的探究过程；我学会了用定义去判断和解决相关问题；我知道了确定“对应关系”是关键。

3.思想层面：我体会到了从特殊（三角形）到一般（多边形）的推广思想；认识到了数学定义的严谨性（两个条件缺一不可）；感受到了数学与生活的紧密联系。

教师做点睛式总结，并布置作业。

设计意图：变教师总结为学生自主反思与建构，促进元认知能力的发展。多维度的总结有助于学生不仅收获知识，更领悟方法与思想，实现深度学习。

（六）分层作业，因材施教

A组（基础巩固，全体必做）

1.课本课后练习题第1、2、3题。（直接应用定义进行计算和判断）

2.列举生活中3个相似多边形的实例，并尝试指出它们的相似比（近似值即可）。

B组（能力提升，多数选做）

1.一个五边形的边长分别为2cm,3cm,3.5cm,4cm,5cm。另一个与它相似的五边形的最长边为12.5cm。求另一个五边形的周长。

2.如图，梯形ABCD与梯形A‘B’C‘D’相似，AD∥BC，A‘D’∥B‘C’。已知AD=4，BC=8，A‘B’=6，∠B=70°。求：（1）梯形ABCD与梯形A‘B’C‘D’的相似比；（2）边B‘C’的长度；（3）∠B‘的度数。

C组（拓展探究，学有余力挑战）

1.（联系函数思想）若两个相似多边形的相似比为k，请探究它们的周长比、面积比与k分别有什么关系？提出你的猜想并尝试证明（可从特殊四边形如正方形入手）。

2.微项目设计：请为你所在的教室或校园一角，设计一张简单的平面示意图。要求：(1)图形中包含至少两个相似的多边形（如窗户、黑板、花坛的简化图形）；(2)在图中标出你设定的比例尺（即相似比）；(3)简要说明设计思路。

设计意图：作业设计体现分层理念，满足不同层次学生的发展需求。基础题巩固课堂所学；提升题增加思维含量和综合性；探究题指向知识的延伸与跨领域应用，特别是微项目作业，融合了数学、美术、工程初步知识，是发展核心素养的有效载体。

七、板书设计

主板书（居中）：

27.1相似多边形

一、定义

1.文字语言：边数相同，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

2.符号语言：

四边形ABCD∽四边形A‘B’C‘D’

⇔

∠A=∠A‘,∠B=∠B‘,∠C=∠C‘,∠D=∠D‘

且AB/A‘B’=BC/B‘C’=CD/C‘D’=DA/D‘A’=k

二、相关概念

1.对应顶点、对应角、对应边

2.相似比（k）：对应边的比。

1.3.k>0。

2.4.当k=1时，全等（特殊的相似）。

三、性质（由定义直接得出）

1.对应角相等。

2.对应边成比例。

副板书（左侧）：

1.学生探究的关键数据记录。

2.辨析题的关键结论（如：×所有的矩形都相似）。

3.例1的简要解题思路或关键步骤。

副板书（右侧）：

1.课堂生成的精彩学生回答要点。

2.拓展联系中的关键词（地图、蓝图