2026年信号与控制试题及答案

2026年信号与控制试题及答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1连续时间线性时不变系统稳定的充要条件是A.所有极点位于S平面左半开平面B.所有零点位于S平面左半开平面C.所有极点位于单位圆内D.所有零点位于单位圆内答案：A1.2已知信号x(t)=e^{-2t}u(t)，其拉普拉斯变换X(s)的收敛域为A.Re{s}>−2B.Re{s}<−2C.Re{s}>2D.全平面答案：A1.3对离散序列x[n]=δ[n]+2δ[n−1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z^{-1}C.1−2z^{-1}D.1−2z答案：B1.4若系统函数H(s)=\frac{s+3}{s^2+4s+5}，则其直流增益为A.3B.5C.0.6D.1答案：C1.5理想采样频率f_s必须满足A.f_s>2f_{max}B.f_s<f_{max}C.f_s=f_{max}D.f_s≥f_{max}答案：A1.6状态方程\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}u(t)中，若\mathbf{A}可对角化，则系统模态由A.特征值决定B.输入矩阵决定C.输出矩阵决定D.初始状态决定答案：A1.7对周期方波进行傅里叶级数展开，其谐波幅度衰减规律为A.1/nB.1/n^{2}C.1/\sqrt{n}D.常数答案：B1.8若离散系统脉冲响应h[n]=(0.5)^{n}u[n]，则该系统A.IIR且稳定B.FIR且稳定C.IIR且不稳定D.FIR且不稳定答案：A1.9对连续系统引入比例—微分控制器(PD)，其主要作用是A.提高相位裕度并加快响应B.降低稳态误差C.抑制高频噪声D.提高增益裕度答案：A1.10若闭环特征方程1+KG(s)=0的根轨迹起始于A.G(s)的极点B.G(s)的零点C.原点D.无穷远答案：A2.多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）2.1下列属于线性系统性质的是A.齐次性B.叠加性C.时不变性D.因果性答案：AB2.2关于奈奎斯特图，下列说法正确的是A.可用于判断闭环稳定性B.包围(−1,j0)点圈数等于开环右半平面极点数时系统稳定C.对称于实轴D.可用于求增益裕度与相位裕度答案：ACD2.3对同一系统，下列描述等价的是A.传递函数B.状态空间表达式C.微分方程D.根轨迹答案：ABC2.4关于离散系统稳定性，下列说法正确的是A.所有极点位于单位圆内则系统BIBO稳定B.若存在单位圆上极点则系统临界稳定C.若存在单位圆外极点则系统不稳定D.零点位置不影响稳定性答案：ABCD2.5关于PID控制器，下列说法正确的是A.积分环节可提高系统型别B.微分环节对高频噪声敏感C.比例系数越大稳态误差越小D.微分环节可提高阻尼比答案：ABD3.填空题（每空2分，共20分）3.1连续时间信号x(t)=5\cos(100\pit)的周期为________s。答案：0.023.2若系统函数H(z)=\frac{1}{1-0.8z^{-1}}，则其极点位于z=________。答案：0.83.3已知状态矩阵\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-2\end{bmatrix}，则其特征值为________。答案：−1±j\sqrt{3}3.4对信号x(t)=e^{-t}u(t)进行理想采样，采样间隔T=0.1s，则采样后序列x[n]=________。答案：e^{-0.1n}u[n]3.5若开环传递函数L(s)=\frac{K}{s(s+2)}，则根轨迹渐近线交点σ_a=________。答案：−13.6已知离散系统差分方程y[n]−0.5y[n−1]=x[n]，其脉冲响应h[n]=________。答案：(0.5)^{n}u[n]3.7若连续系统闭环传递函数T(s)=\frac{10}{s^2+2s+10}，则其自然频率ω_n=________rad/s。答案：\sqrt{10}3.8对系统\dot{x}(t)=-3x(t)+u(t)，其离散化零阶保持等价模型（T=0.2s）的状态转移矩阵Φ=________。答案：e^{-0.6}3.9若|G(jω)|=0.5，∠G(jω)=−135°，则该频率下闭环相位裕度PM=________°。答案：453.10已知序列x[n]=\{1,2,3\}，h[n]=\{1,1\}，则线性卷积y[2]=________。答案：54.简答题（每题8分，共24分）4.1简述利用劳斯判据判断系统稳定性的步骤，并说明出现全零行时的处理方法。答案：步骤：1.写出闭环特征多项式；2.构造劳斯表；3.观察第一列符号变化次数，等于右半平面根个数；4.若第一列无符号变化则系统稳定。出现全零行说明存在对称根，构造辅助多项式P(s)并对其求导，用导数系数替换全零行后继续计算。4.2解释为何对连续系统引入微分控制会放大高频噪声，并给出工程上的两种抑制措施。答案：微分器频率响应H(jω)=jω，幅值随频率线性增大，故高频噪声被放大。抑制措施：1.在微分环节后串接低通滤波器，如\frac{1}{1+τs}；2.采用不完全微分PID，将微分项改为\frac{K_ds}{1+T_fs}，限制高频增益。4.3比较脉冲响应不变法与双线性变换法在数字滤波器设计中的优缺点。答案：脉冲响应不变法：优点：时域脉冲响应与模拟滤波器采样值一致，线性频率关系；缺点：存在频谱混叠，仅适合带限滤波器。双线性变换法：优点：无混叠，稳定模拟滤波器一定映射为稳定数字滤波器；缺点：频率轴非线性畸变，需预畸校正。5.计算题（共41分）5.1拉普拉斯变换与逆变换（10分）已知X(s)=\frac{2s+5}{s^2+4s+3}，求x(t)。答案：先分解：X(s)=\frac{2s+5}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}，解得A=1.5，B=0.5。故x(t)=1.5e^{-t}u(t)+0.5e^{-3t}u(t)。5.2Z变换与逆变换（10分）求X(z)=\frac{1+0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+0.25z^{-2}}，|z|>0.5的逆变换x[n]。答案：分母为(1−0.5z^{-1})^2，设X(z)=\frac{A}{1-0.5z^{-1}}+\frac{B}{(1-0.5z^{-1})^2}，解得A=−1，B=2。故x[n]=−(0.5)^nu[n]+2(n+1)(0.5)^nu[n]=(2n+1)(0.5)^nu[n]。5.3状态空间求解（11分）给定系统\dot{\mathbf{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-6&-5\end{bmatrix}\mathbf{x}(t)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u(t)，初始状态\mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}，输入u(t)=0，求\mathbf{x}(t)。答案：求特征值：|\lambda\mathbf{I}-\mathbf{A}|=\lambda^2+5\lambda+6=0→\lambda_1=−2,\lambda_2=−3。求特征向量：\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix},\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix}。通解\mathbf{x}(t)=c_1e^{-2t}\mathbf{v}_1+c_2e^{-3t}\mathbf{v}_2。代入初始条件解得c_1=3,c_2=−2。故\mathbf{x}(t)=3e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}−2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix}。5.4根轨迹综合（10分）单位负反馈系统开环传递函数L(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+4)}。(1)求实轴上的根轨迹段；（2）求渐近线角度与交点；（3）求分离点；（4）求使系统临界稳定的K值。答案：(1)实轴段：(−∞,−4]与[−1,0]；(2)渐近线角度±60°,180°，交点σ_a=\frac{0−1−4}{3}=−\frac{5}{3}；(3)分离点：由\frac{d}{ds}\left[s(s+1)(s+4)\right]=0→3s^2+10s+4=0→s=−0.46（舍去正根）；(4)临界稳定：劳斯表第一列出现零，解得K=20。6.综合分析题（共30分）6.1数字控制器设计（15分）被控对象连续传递函数G(s)=\frac{1}{s(s+2)}，采样周期T=0.1s。要求速度误差系数K_v≥5s^{-1}，相位裕度PM≥50°。(1)采用双线性变换离散化G(s)得G(z)；（2）设计数字PID控制器D(z)满足K_v要求；（3）用w域法校验PM。答案：(1)双线性变换s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}→G(z)=\frac{0.00484(1+z^{-1})z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-0.8187z^{-1})}；(2)选PID形式D(z)=K_p+K_i\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}+K_d\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}。令K_i使K_v=\lim_{z→1}\frac{1}{T}(z−1)D(z)G(z)=5，解得K_i=500。取K_p=2,K_d=0.05，验算w域：令z=\frac{1+wT/2}{1−wT/2}，在w域开环L(w)=D(w)G(w)，得PM≈52°，满足要求。6.2状态反馈与观测器（15分）给定离散系统\mathbf{x}[k+1]=\mathbf{A}\mathbf{x}[k]+\mathbf{B}u[k]，\mathbf{y}[k]=\mathbf{C}\mathbf{x}[k]，其中\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1.5&0.5\\-1&0\end{bmatrix},\mathbf{B}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\mathbf{C}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}。(1)判断开环稳定性；（2）设计状态反馈\mathbf{u}[k]=-\mathbf{K}\mathbf{x}[k]使闭环极点为0.2,0.3；（3）设计全维状态观测器，观测器极点为0.1,0.15。答案：(1)求特征值：|\lambda\mathbf{I}-\mathbf{A}|=\lambda^2−1.5\lambda+0.5=0→\lambda=1,0.5，存在单位圆外极点，不稳定；(2)期望特征多项式(λ−0.2)(λ−0.3)=λ^2−0.5λ+0.06，设\mathbf{K}=\begin{bmatri