乘法公式课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

3乘法公式第1课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.在推导平方差公式数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.(抽象能力、推理能力、模型观念)2.能运用平方差公式进行简单的计算.(运算能力、推理能力)基础主干落实新知要点对点小练1.计算(a-3b)(a+3b)的正确结果是()A.a2+9b2

B.a2-9b2C.a2+6ab+9b2

D.4a2-6ab+9b22.计算(a-2)(a+2)的结果等于_________.B

a2-4

重点典例研析重点

应用平方差公式进行计算(运算能力、模型观念)【典例】(教材再开发·P18例2补充)计算:(1)(3m-n)(-n-3m);(2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y).【自主解答】(1)原式=(-n+3m)(-n-3m)=(-n)2-(3m)2=n2-9m2.(2)原式=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x4-y4.举一反三1.(2025·无锡质检)下列整式乘法能用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(a-2b) B.(2a+b)(2a-b)C.(b-2a)(2a-b) D.(a-2b)(2b-a)2.下列计算结果等于25y2-x2的是()A.(-x+5y)(-x+5y) B.(-x-5y)(-x+5y)C.(x-25y)(x+25y) D.(x-5y)(-5y-x)BD3.(2025·上海二模)计算:(x+2y)(x-2y)=__________.

4.(2025·洛阳一模)化简式子(a+1)(a-1)+1的结果为_______.

5.若x2-y2=4050,x+y=2,则x-y=__________.

x2-4y2

a2

2025

6.计算:(1)(2025·重庆质检)(3x+2y)(-2y+3x).(2)(2025·上海期中)(a+2)(a2+4)(a-2).【解析】(1)(3x+2y)(-2y+3x)=(3x+2y)(3x-2y)=9x2-4y2.(2)原式=(a+2)(a-2)(a2+4)=(a2-4)(a2+4)=a4-16.技法点拨运用平方差公式计算的三个步骤1.找出一同一反:一相同项,一对互为相反数的项;2.套用公式,相同项为a,互为相反数的项为b;3.计算两项的平方差.特别提醒相同项前的符号可以为“-”.素养思维提升

3乘法公式第2课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.了解平方差公式的几何背景(几何直观、推理能力)2.建立平方差公式模型,归纳出利用平方差公式解决数学简便运算问题的方法(运算能力、应用意识、模型观念)基础主干落实新知要点

用简便方法计算98×102,变形正确的是()A.98×102=1002+22B.98×102=(100-2)2C.98×102=1002-22D.98×102=(100+2)2C重点典例研析重点1

平方差公式的几何背景及应用(几何直观、抽象能力)【典例1】(2025·沈阳质检)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是__________;(请选择正确的一个)

A.a2-2ab+b2=(a-b)2

B.b2+ab=b(a+b)C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2+ab=a(a+b)(2)利用从(1)选出的等式,完成下列各题:①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值.②计算:(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1).【自主解答】(1)题图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即a2-b2,拼成的题图2是长为a+b,宽为a-b的长方形,因此面积为(a+b)(a-b),所以有a2-b2=(a+b)(a-b).答案:C(2)①因为x2-4y2=12,即(x+2y)(x-2y)=12,而x+2y=4,所以x-2y=12÷4=3;②原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)=(24-1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)=(28-1)×(28+1)×(216+1)=(216-1)×(216+1)=232-1.举一反三

如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是___________________.

(a+b)(a-b)=a2-b2

技法点拨平方差公式的几何背景

实质是将阴影部分拼成一个规则图形,然后利用阴影部分面积相等的关系列出等式.

举一反三1.计算:2022×2026-20242=_______.

2.简便计算:(1)499×501.(2)30002-2998×3002.【解析】(1)499×501=(500-1)×(500+1)=5002-12=250000-1=249999.(2)原式=30002-(3000-2)×(3000+2)=30002-(30002-4)=4.

-4

技法点拨利用平方差公式计算数的一般步骤1.确定第一个数:计算两个数的和并除以2.2.确定第二个数:较大的因数减去第一个数就是第二个数.3.写成平方差公式形式,计算.重点3

应用平方差公式化简(运算能力、应用意识)【典例3】(教材再开发·P19例4强化)计算:(1)(a+5)(a-5)-3a(a-1).(2)(-2+y)(y+2)-(y-1)(y+5).(3)x(x+1)-5x(x-1)+(2x-3)(2x+3).【自主解答】(1)原式=a2-25-3a2+3a=-2a2+3a-25.(2)原式=y2-4-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1.(3)原式=x2+x-5x2+5x+4x2-9=6x-9.举一反三1.计算:(x+2y)(x-2y)-y(x-4y)=__________.

2.计算:(1)(2025·陇南期末)(3x+y)(y-3x)-x(3y-9x).(2)(2025·绵阳期末)2(a-3)(a+2)-(4+a)(4-a).【解析】(1)原式=y2-(3x)2-(3xy-9x2)=y2-9x2-3xy+9x2=y2-3xy.(2)2(a-3)(a+2)-(4+a)(4-a)=2(a2+2a-3a-6)-(16-a2)=2a2+4a-6a-12-16+a2=3a2-2a-28.

x2-xy

技法点拨利用平方差公式进行整式运算的四步骤1.观察能否用平方差公式计算;2.分别计算各部分的数式;3.合并同类项;4.代入数值得结果.特别提醒1.计算时要注意运算顺序.2.计算时要注意符号.素养思维提升趣味数学赵老汉吃亏了吗?古时候,有一位狡猾的老地主,把一块边长为a米(a>30)的正方形土地给赵老汉种植.隔了一年,他对赵老汉说:“我把你这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”赵老汉一听,觉得好像没有吃亏,就答应了.你觉得赵老汉有没有吃亏呢?请说明理由.【解析】赵老汉吃亏了.因为他原来所租地的面积为a2平方米,而后经过割补,面积变为(a+5)(a-5)=(a2-25)平方米,所以赵老汉租地面积实际是少25平方米.因此,赵老汉吃亏了.3乘法公式第3课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.理解完全平方公式的推导过程,了解完全平方公式的几何背景.(几何直观、抽象能力)2.理解完全平方公式的本质,并会运用完全平方公式进行简单的计算.(运算能力)基础主干落实新知要点对点小练1.计算:(2x-1)2等于()A.4x2+1 B.4x2-2x+1C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+12.若(x-2)2=x2+mx+n,则m,n的值分别是()A.4,4 B.-4,4 C.-4,-4 D.4,-43.运用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2.

(2)(-a+b)2.【解析】(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2.(2)(-a+b)2=a2-2ab+b2.DB重点典例研析重点1

完全平方公式的几何背景(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P20“思考·交流”强化)如图,分别以长方形ABCD的BC,CD为边向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延长EF,HG交于点I.若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,则正方形AEIH的周长为________.

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技法点拨完全平方公式的几何背景实质是用代数式分别表示出阴影部分的面积,利用面积不变这一特点列出等式.它的几何背景是继数轴和平方差公式之后又一数形结合的实例.

举一反三1.(2025·南京质检)下列运算正确的是()A.(-x-y)2=x2+2xy+y2B.(-a-b)(a+b)=a2-b2C.(m-3)(m+2)=m2-6D.(a-b)2=a2-b22.计算:(-2m-1)2=_______________.

A

4m2+4m+1

技法点拨完全平方公式的三点注意1.公式中的字母a,b可以是数、单项式或多项式.2.公式的结果有三项,不要漏项和写错符号.3.中间项是等号左边两项乘积的2倍.素养思维提升

3乘法公式第4课时基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算.(运算能力、应用意识)2.能够运用完全平方公式解决简单的实际问题.(运算能力、模型观念、应用意识)基础主干落实新知要点对点小练1.下列关于962的计算方法正确的是()A.962=(100-4)2=1002-42=9984B.962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216C.962=(90+6)2=902+62=8136D.962=(95-1)(95+1)=952-1=90242.计算:(1)(x-3y)2-x(x+6y);(2)(x+1)(x-4)-(x-1)2.【解析】(1)原式=x2-6xy+9y2-x2-6xy=9y2-12xy;(2)原式=x2-4x+x-4-(x2-2x+1)=x2-4x+x-4-x2+2x-1=-x-5.B重点典例研析重点1

应用完全平方公式进行简便计算(运算能力、应用意识)【典例1】(教材再开发·P25习题T8补充)运用完全平方公式计算:(1)10.22.

(2)19992+20012.【自主解答】(1)原式=(10+0.2)2=102+2×10×0.2+0.22=100+4+0.04=104.04.(2)19992+20012=(2000-1)2+(2000+1)2=20002-2×2000+1+20002+2×2000+1=2×20002+2=8000002.举一反三1.(2025·无锡质检)运用完全平方公式计算79.82的最佳选择是()A.(79+0.8)2

B.(70+9.8)2C.(80-0.2)2 D.(100-20.2)22.计算:(1)972;(2)2002-400×199+1992;(3)9992+1999.【解析】(1)原式=(100-3)2=10000+9-2×3×100=9409;(2)原式=2002-2×200×199+1992=(200-199)2=1;(3)原式=(1000-1)2+2×1000-1=10002-2000+1+2000-1=10002=106.C技法点拨利用完全平方公式计算较大数的平方的三步法特别提醒计算时注意大数的位数.重点2

应用完全平方公式进行整式运算(运算能力、应用意识)【典例2】(教材再开发·P23例6强化)计算:(1)(2025·东莞期末)x(x-2y)+(x+y)2.(2)(2025·合肥期末)(3a+2b)2+2b(a-2b).(3)(2025·西宁中考)化简:(2a+b)2-(2a+b)(2a-b).(4)(a+3b-1)(a-3b+1).【自主解答】(1)x(x-2y)+(x+y)2=x2-2xy+x2+2xy+y2=2x2+y2.(2)(3a+2b)2+2b(a-2b)=9a2+12ab+4b2+2ab-4b2=9a2+14ab.(3)(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)=(4a2+4ab+b2)-(4a2-b2)=4ab+2b2.(4)(a+3b-1)(a-3b+1)=[a+(3b-1)][a-(3b-1)]=a2-(3b-1)2=a2-9b2+6b-1.举一反三1.化简:a(1-a)+(a+1)2-1=________.

2.(2025·哈尔滨质检)若m+n=8,mn=15,则m2+mn+n2=________.

3.计算:(1)(x-2y)2-(x-y)(x-2y)-2y2.(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c).【解析】(1)(x-2y)2-(x-y)(x-2y)-2y2=x2+4y2-4xy-(x2-2xy-xy+2y2)-2y2=x2+4y2-4xy-x2+3xy-2y2-2y2=-xy.(2)

(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][(a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2.

3a

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技法点拨在乘法公式中添括号的两个技巧1.当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个化为“和”的形式,一个化为“差”的形式,可利用平方差公式.2.一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用完全平方公式.素养思维提升阅读理解【知识生成】通常情况下,通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.如图1,在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分剪开拼成一个长方形如图2.图1中阴影部分面积可表示为a2-b