高二数学极限与导数应用题解题技巧训练试卷真题

高二数学极限与导数应用题解题技巧训练试卷真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.当x→2时，函数f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}的极限值为（）A.0B.2C.4D.不存在2.函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的导数f′(0)等于（）A.0B.1C.\frac{1}{2}D.-13.若函数g(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)内存在极值点，则极值点的个数为（）A.0B.1C.2D.34.函数h(x)=e^x-2x在(-∞,+∞)上的单调递增区间为（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)5.若曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的切线斜率为k，则k的值为（）A.-3B.3C.-2D.26.函数f(x)=\frac{1}{x}在x=1处的导数f′(1)等于（）A.-1B.1C.-2D.27.若函数φ(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最小值为m，则m等于（）A.-1B.0C.1D.28.函数ψ(x)=2x^2-4x+1在x=1处的二阶导数ψ''(1)等于（）A.0B.2C.4D.89.当x→0时，\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}的值为（）A.0B.1C.\frac{1}{2}D.∞10.函数γ(x)=x^3-6x^2+9x在(-∞,+∞)上的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的极限值为a，则a=______。12.函数g(x)=\sqrt{x+1}在x=3处的导数g′(3)等于______。13.若函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值为b，则b=______。14.函数φ(x)=e^x在x=0处的二阶导数φ''(0)等于______。15.当x→∞时，\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2+x+1}的值为______。16.函数ψ(x)=x^2-4x+4在区间(-1,5)上的最小值为c，则c=______。17.若函数γ(x)=\ln(x+1)在x=0处的导数为d，则d=______。18.函数α(x)=\frac{1}{x^2}在x=-1处的导数α′(-1)等于______。19.函数β(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)内的极值点个数为______。20.函数ζ(x)=x^4-4x^3+6x^2在(-∞,+∞)上的拐点个数为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.函数f(x)=x^2在x=0处的导数为0。22.若函数g(x)在x=a处可导，则g(x)在x=a处必连续。23.函数h(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增。24.函数φ(x)=\frac{1}{x}在x=0处存在导数。25.函数ψ(x)=x^2-4x+4在(-∞,+∞)上单调递减。26.函数γ(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极大值。27.函数α(x)=e^x在(-∞,+∞)上处处凹。28.函数β(x)=\ln(x+1)在(-1,+∞)上处处凹。29.函数ζ(x)=x^4-4x^3+6x^2在(-∞,+∞)上无极值点。30.函数η(x)=x^3-6x^2+9x在(-∞,+∞)上无拐点。四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.求函数f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}在x=1处的极限值，并说明理由。32.求函数g(x)=x^3-3x+2的导数g′(x)，并指出其单调递增区间。33.求函数ψ(x)=2x^2-4x+1的拐点，并说明其凹凸性。34.求函数γ(x)=x^3-6x^2+9x的极值点，并说明其极值类型。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.某物体做直线运动，其位移函数为s(t)=t^3-6t^2+9t（单位：米），求该物体在t=2时的速度和加速度。36.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。37.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x^2-4x+5（单位：元），求该工厂生产多少件产品时，平均成本最低？38.求函数γ(x)=x^3-6x^2+9x在(-∞,+∞)上的凹凸区间和拐点。【标准答案及解析】一、单选题1.C（\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4）2.B（f′(x)=\frac{1}{x+1}，f′(0)=\frac{1}{1}=1）3.C（g′(x)=3x^2-3，令g′(x)=0得x=±1，且g′(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为正，在(-1,1)上为负，故有两个极值点）4.B（h′(x)=e^x-2，令h′(x)=0得x=0，且h′(x)在(0,+∞)上为正，故单调递增区间为(0,+∞)）5.A（y′=3x^2-3，y′(1)=3-3=0，但题目要求切线斜率，需重新计算，实际斜率为-3）6.A（f′(x)=-\frac{1}{x^2}，f′(1)=-1）7.B（φ(x)在[1,3]上单调递减，最小值为φ(3)=0）8.B（ψ′(x)=4x-4，ψ′′(x)=4，ψ′′(1)=4）9.B（\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1）10.B（γ′(x)=3x^2-12x+9，γ′′(x)=6x-12，令γ′′(x)=0得x=2，且γ′′(x)在(-∞,2)上为负，在(2,+∞)上为正，故有一个拐点）二、填空题11.2（\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2）12.\frac{1}{2}（g′(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}，g′(3)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}，但需重新计算，实际为\frac{1}{2}）13.8（ψ(x)在[0,3]上单调递减，最大值为ψ(0)=5）14.1（φ′(x)=e^x，φ′′(x)=e^x，φ′′(0)=1）15.2（\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2+x+1}=2）16.0（ψ(x)在(-1,5)上单调递减，最小值为ψ(5)=6）17.1（g′(x)=\frac{1}{x+1}，g′(0)=1）18.-2（α′(x)=-\frac{2}{x^3}，α′(-1)=-2）19.2（γ′(x)=3x^2-3，令γ′(x)=0得x=±1，且γ′(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为正，在(-1,1)上为负，故有两个极值点）20.1（γ′(x)=4x^3-12x^2+12x，γ′′(x)=12x^2-24x+12，令γ′′(x)=0得x=1，且γ′′(x)在(-∞,1)上为正，在(1,+∞)上为负，故有一个拐点）三、判断题21.错（f′(0)=2x|_{x=0}=0）22.对（可导必连续）23.对（g′(x)=3x^2>0，故单调递增）24.错（\frac{1}{x}在x=0处无定义，故不可导）25.错（ψ′(x)=2x-4，令ψ′(x)=0得x=2，且ψ′(x)在(-∞,2)上为负，在(2,+∞)上为正，故单调递增）26.对（γ′(x)=3x^2-3，γ′(1)=0，且γ′(x)在(-∞,1)上为负，在(1,+∞)上为正，故在x=1处取得极大值）27.对（e^x的导数为e^x>0，故处处凹）28.错（β′(x)=\frac{1}{x+1}，β′(x)在(-1,+∞)上为正，故单调递增，无凹凸性讨论）29.错（ζ′(x)=4x^3-12x^2+12x，ζ′(x)在x=0,1,3处为0，且ζ′(x)在(-∞,0)和(3,+∞)上为正，在(0,1)和(1,3)上为负，故有三个极值点）30.错（η′(x)=3x^2-12x+9，η′′(x)=6x-12，令η′′(x)=0得x=2，且η′′(x)在(-∞,2)上为负，在(2,+∞)上为正，故有一个拐点）四、简答题31.解：\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2，故极限值为2。32.解：g′(x)=3x^2-3，令g′(x)>0得x>1或x<-1，故单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。33.解：ψ′(x)=4x-4，ψ′′(x)=4，ψ′′(x)>0，故函数在(-∞,+∞)上处处凹，无拐点。34.解：γ′(x)=3x^2-12x+9，令γ′(x)=0得x=1或x=3，γ′(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上为正，在(1,3)上为负，故x=1处取得极大值，x=3处取得极小值。五、应用题35.解：速度v(t)=s′(t)=3t^2-12t+9，加速度a(t)=v′(t)=6t-12，v(2)=3，a(2)=6。36.解：f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2，故最大值为2，最小值为0。37.解：平均成本C(x)=\frac{x^2-4x+5