高中数学人教A版选择性必修第二册函数的单调性与参数相关问题（解析版）

函数的单调性问题题型一、已知单调性求参数【SEQ0001】.若函数在区间单调递增，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，则在上恒成立，令，因为在上恒成立，所以在上单调递减，则，所以．故选C．【SEQ0002】.若在内单调递减，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】，由在单调递减，所以，所以，所以．故选A．【SEQ0003】.已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是A．B．C． D．【答案】A【解析】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得．因此，实数的取值范围是．故选A．【SEQ0004】.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】．A【解析】在区间上恒成立，则在区间上恒成立即故选：A【SEQ0005】.若函数(其中a为参数)在R上单调递增，则a的取值范围是A．B．C． D．【答案】C【解析】函数在R上单调递增，等价于在R上恒成立．设，则在上恒成立，所以解得．故选C．【SEQ0006】．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】，因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．若即时，则即，故．若即时，则即，无解．若，则即，，故．【SEQ0007】．已知函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】，由题意可知或在区间上恒成立．当在区间上恒成立时，，当时，，因此有；当在区间上恒成立时，，当时，，因此有，综上所述：实数的取值范围是．故答案为．【SEQ0008】．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_________．【答案】【解析】由题得，因为函数在上有增区间，所以存在使得成立，即成立，因为时，，所以．故答案为.【SEQ0009】．函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是_________．【答案】【解析】函数的定义域为，．令，，可得，列表如下：极小所以，函数在处取得极小值，由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则，由题意可得，解得．因此，实数的取值范围是．【SEQ00010】．已知函数(e为自然对数的底数)是上的增函数，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】是上的增函数，在上恒成立，即，令，当时，恒成立，符合题意；当时，如图，不符合题意；当时，令，则，令，解得，则当，，单调递减，当，，单调递增，，解得，综上，的取值范围是．【SEQ00011】．已知函数，若，则_________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是_________．【答案】2【解析】，（1）依题意，．（2）依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，构造函数，，所以在区间上，递增；在区间上，递减．所以在区间上的极大值也即是最大值为．所以．所以实数的取值范围是．故答案为；【SEQ00012】．若函数在区间单调递增，则的取值范围是_________；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_________．【答案】【解析】①由，得，由函数在区间单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，．的取值范围是；②函数在区间内不单调，在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由，解得，．而在区间上单调递减，在，上单调递增．的取值范围是．故答案为；．【SEQ00013】.函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】将函数在上单调递减，转化在上恒成立，即在上恒成立，设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得.故答案为.【SEQ00014】．已知函数．（1）当时，求函数在点(e，f(e))处的切线方程（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，定义域为，，所以函数在点(e，f(e))处的切线的斜率为，又，所以函数在点(e，f(e))处的切线方程为，即．（2）因为在上是单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值0，所以．【SEQ00015】．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）若时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，，①若时，，此时函数在上单调递增；②若时，令，可得，，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2），若函数在区间上是增函数，又当时，恒成立，令，，则，令，有，可得函数的增区间为，减区间为，所以，有，故实数的取值范围为．【SEQ00016】．已知函数．（1）若的单调递减区间为，求实数a的值；（2）若在区间内单调递减，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】由题意得．（1）因为的单调递减区间为，所以和1是方程的两个根，所以，所以．当时，，由得，所以的单调递减区间为，符合题意，所以．（2）因为在区间内单调递减，所以在内恒成立．又二次函数的图象开口向上，方程的一根为，所以，所以．所以实数a的取值范围是．题型二、含参单调性讨论【SEQ00017】．已知函数.讨论函数的单调性；【解析】由知定义域为，且时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.【SEQ00018】．已知函数.讨论函数的单调性；【解析】函数的定义域为，①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；②当，即时，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【SEQ00019】．已知函数.讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．【SEQ00020】．已知函数.讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．【SEQ00021】．已知函数，.讨论函数的单调性；【解析】函数的定义域为，所以.当时，，所以在上单调递增；当时，令得，令得，所以在上单调递减：在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【SEQ00022】．已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；【解析】由得，函数的定义域为，且，令，即，①当，即时，恒成立，在单调递增；②当，即时，令，当时，，的解或，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．【SEQ00023】．设函数，讨论的单调性。【解析】①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；②当时，令则，：当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；当，即时，，单调递增；当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减【SEQ00024】．已知函数．讨论的单调性；【解析】设．当时，则，在R上单调递增，当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【SEQ00025】．【2021年新高考2卷】已知函数．讨论的单调性；【解析】，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；【SEQ00026】．已知函数.讨论的单调性.【解析】函数的定义域为，