北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣x2−3A．(0,3) B．(2,2．在复平面内，复数(2+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比数列an中，a2=4,A．16 B．32 C．64 D．2564．x(2+x)A．16 B．65 C．80 D．815．若圆锥曲线C:x2A．2 B．23 C．43 6．已知函数f(x)=2A．奇函数，且最小正周期为π B．奇函数，且最小正周期为2C．偶函数，且最小正周期为π D．偶函数，且最小正周期为27．设a,b为非零向量，则“对于任意λ∈R,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设关于x的不等式x2<|x|+2m的解集为A．[1,+∞) B．(−9．如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为V0．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为h，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过t(t≤30)分钟后剩余沙堆的体积V=V0e−A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟10．在平面直角坐标系xOy中，点M在圆心为C的圆x2+y2−2x−2=0A．5+2 B．2+2 C．二、填空题11．设抛物线C:y2=8x的准线为l，P(4,12．设平面向量a=(−1,2)13．已知α,β∈(0,2π)，且cos14．《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为ai与bi，若对任意i(i=1,2,⋯,8)，aibi=32且a115．记[x]表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数①对于任意的x1,x2，若②存在正整数a，b，使得曲线y=③设a=2,④设a=2,b=其中，所有正确结论的序号是_________．三、解答题16．已知△ABC的面积S(1)求C的大小；(2)记△ABC的周长为f17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB⊥AC(1)求证：AB(2)若PA=AB=1,条件①：CD条件②：AE条件③：△A注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（ab读者类型调查人数年人均借阅量（册）某类读者图书借阅量分类占比情况文学类科技类教辅类社科类其他在职人员60018.535%25%10%20%10%大学生80024.330%40%13%ab中学生50015.225%20%40%cd假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率．(1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由：(2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率；(3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差M=1ni=1nxi−x19．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆E的方程；(2)设圆W的切线l与椭圆E相交于C，D两点，点QxQ,yQyQ>0在直线l上，且满足O20．已知函数f(x)=x2lnx，直线(1)求函数f((2)设g(x)(3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且△OAB21．对任意无穷数列an，定义从ai起连续k项的和Sk(i)为：Sk(i)=ai+ai+1+(1)设bn=sinnπ2，其中(2)已知数列an具有性质T（i）求集合u∣（ii）证明：存在正整数l，对任意k∈1,答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学》参考答案题号12345678910答案CDBCDBABCA1．C【详解】A=xx故A∪2．D【分析】根据复数的乘法运算可得(2【详解】因为复数(2所以其在复平面内对应的点为3,故选：D.3．B【详解】设等比数列的公比为q,由a2a1q=4a则a84．C【分析】根据题意得(2【详解】由于x(则(2令x=1，得又因为a5所以a15．D【详解】由圆锥曲线C:x2则−x2m所以焦距为2c解得−m=3所以离心率e=6．B【分析】根据fx,f(-【详解】由题意得f(x)故f-又其定义域为R，故f(又y=sin2且y=sinx的最小正周期为2π，则且fx故f(x)综上所述：f(x)7．A【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性.【详解】因为a,b为非零向量，若对任意λ∈R都有根据不等式a−b≤若a−b<a+则a−b=此时存在λ=2，使得综上，a,b为非零向量，“对于任意λ∈8．B【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案【详解】x2<|x|+2设fx=x2−由对称性可知s+又P⊆(−因为f12=−1由图可知，要使P=s,t⊆9．C【详解】初始时，上方沙堆高度为h，体积为V0∵体积比等于高度比的立方，∴经过10分钟后上方沙堆的高度降为12h，上方剩余沙堆的体积∵经过t(t≤∴经过10分钟后上方剩余沙堆的体积V1∴18V0=V0∵经过10分钟后上方剩余沙堆的体积为V1∴下方容器内的体积为V0∴将沙漏上下颠倒，此时上方容器内的沙堆体积为78设此时上方容器的高度为H，∴78V0=∴倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为12h时，上方容器剩余沙堆的体积为设从倒置后到高度再次降为12h需要的时间为则18V0=V∵k=310．A【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得CM⊥M【详解】圆C的方程变形为(x−1)2又CM⋅C所以CPcos<CM,C所以CM⊥MP，又则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，又直线x+ay所以CQ则P到直线x+ay11．6【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】由抛物线C:y2=8x，可得焦点为因为P(4,根据抛物线的定义，可得点P到准线l距离为4−12．4【详解】已知a=−1,2得：b−所以∣b当t=213．π8（答案不唯一，满足题意即可）π【详解】sinαcosβ结合cos⁡(两边同除cos(α+即α+β=故取α=π814．6.63.5【分析】根据等差数列的定义，结合已知条件求解即可.【详解】因为a1,a2,a3又a3−a因为对任意i(i=1,2,因为b4,b5,b6又a5b5=3因为a6,a7,又a7b7综上，a5=6.615．①③【分析】根据题意，结合x表示不超过实数x的最大整数，函数f(x)【详解】对于①，因为x表示不超过实数x的最大整数，由a,b为正整数，若x1<x两式相加得ax1+bx对于②，当x=0时，取a=b=对于任意x∈R，可得当x∉Z时，−x而−fx=对于任意正整数a,b，取x=可得ax=a又由−x=−可得f−x=所以不存在正整数a,b，使得曲线y=对于③，当a=2,设x=n+所以fx令fx=10，可得5当t∈[0,1当t∈[13,当t∈[12,当t∈[23,设m=2t+3当m=0时，可得n=2∈当m=2时，可得n=85所以当x=2+t且t∈对于④，当a=2,b=所以2x当x∈[0,1当x∈[13,当x∈[12,当x∈[23,所以fx在x∈[0,16．(1)π3/(2)f(A【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得解；（2）利用正弦定理表示出fA【详解】（1）由余弦定理和面积公式得：a2+b代入S=34a2又因为在三角形中，0<C<（2）设R为三角形外接圆半径，则由正弦定理可得：asinA=所以b=2R则三角形周长为：f其中A+B+π3f(===23所以π6<A+π6<所以f(17．(1)证明见解析(2)条件①不符合要求，条件②和条件③下平面PAE与平面AEC夹角的余弦值为6【分析】（1）由面面垂直得AB⊥平面PA（2）条件①思路：先由CD⊥平面PAC得条件②思路：由AE=PE且E为中点得条件③思路：由全等证PA⊥A【详解】（1）因为平面PAC⊥平面ABC又AB⊂平面ABCD，A因为PA⊂平面PA（2）由题意，AB=1，AC⊥底面ABCD为平行四边形，故CD=若选条件①：C由（1）知AB⊥平面PAC，故CD若CD⊥P故条件①无法使四棱锥P−若选条件②：AE已知E为PD中点，且AE=所以△PAD为直角三角形，且∠由（1）知PA⊥AB，又AD∩AB=因为AC⊂平面ABCD以A为原点，AB,A则A(0,0,0)，BE为PD中点，故E设平面PAE的一法向量n→，A设n→=(取y1=1，得x设平面AEC的法向量m→：A设m→=(得y2=0，取x2=设两平面夹角为θ，则两平面夹角θ的余弦值为：cosθ若选条件③：△A由AB=1，AB⊥由△ABC≅△故PA2+又平面PAC⊥平面ABCD，平面PA由面面垂直的性质定理，得PA⊥平面以A为原点，AB、AC、AP分别为x、yA(0,0,0)，B(E为PD中点，故EAP=(设平面PAE的一法向量n→：A设n→=(取y1=1，得x设平面AEC的法向量m→：A设m→=(得y2=0，取x2=设两平面夹角为θ，则两平面夹角θ的余弦值为：cosθ18．(1)在职人员借阅的文学类图书量更大(2)32(3)M【分析】（1）先根据“总借阅量=调查人数×年人均借阅量×对应类别占比”的公式，分别列出在职人员文学类、中学生教辅类的借阅量计算式，再代入数据比较大小；（2）先根据大学生各类借阅占比和为100%，求出a+b的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为100（3）根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”，可得答案.【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量：600×中学生借阅教辅类图书总量：500×因为3885>（2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为0.4，中学生借阅科技类的概率为0.2，三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况：①2名大学生均借科技，中学生不借科技：P1②仅1名大学生借科技，中学生借科技：P2③3人均借科技：P3总概率：P=（3）在职人员的5个占比分别为：35%,25i==0.15+0.05大学生的已知占比为：30%因此未知占比满足a+由题设abcd>0得a即a,b都小于均值0.2，因此∣ai==0.1因此：M2中学生的已知占比为：25%因此未知占比满足c+同理，由c>0,d>因此∣c−0.2i==0.05因此：M3综上：M19．(1)x2(2)证明见详解.【分析】（1）根据已知直接求出a,（2）将问题转化为证明yQ=233，设出直线方程，结合O【详解】（1）因为圆W:x2+y2又∠F1BF2所以椭圆E的方程为x2（2）由（1）知F1要证AP∥BF1，只需证k又yQ=y设Cx1,y1当直线l的斜率不存在时，易知其方程为x=1，则因为yQ>0，将x=1代入x24+y2当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx则xQ=yQ−整理得x2又圆W与直线l相切，所以mk所以x2=−因为点D在椭圆上，所以ky整理得k2又m2−1由k≠0，yQ综上，yQ

20．(1)f(x)单调递减区间为：0(2)g((3)面积S=【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间.（2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点.（3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积.【详解】（1）定义域：x>0，函数f(令f′(x当x∈0,e−当x∈e−12综上所述,f(x)单调递减区间为：0（2）由题可知g(x所以研究函数g(x)h′(x)=x∈0,e−x∈e−1,所以函数h(x)故h(x)（3）函数f(x)所以f′(x0)化简得y=所以由题可知分别令y=0,x=△OAB为等腰直角三角形，且O即x0因为x0>0若lnx0+代入：左边OA=0此时A,若lnx0+1令t=lnx0,则情况1:2t+1≥设φt=t≥−12时,2t因为φ0=1⋅1−1=0等腰直角三角形面积S=情况2:2t+1<设ψt=t∈t∈−32,函数ψt有极大值同时也为最大值ψ所以ψt<0综上,方程只有唯一解x0=1,A1,21．(1)具有，理由见解析(2)（i）4；（ii）证明见解析【分析】（1）首先分析数列bn为周期数列，再根据性质T（2）（i）分别取取n=1,（ii）利用（i）中的结论证明得存在n，t，满足A(n)=A(n+t【详解】（1）数列bn具有性质T理由如下：数列bn满足b4k即bn所以对任意n∈N*和l∈N故数列bn具有性质T（2）（i）取n=1,l=1，由性质同理，取n=m,l=1，由性质以此类推，得数列an中任意连续4项中，必有一项的值等于a同