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文档简介

(2025年)金尚年理论力学答案考虑由两个质量均为m的质点通过长度均为l的轻杆连接而成的平面双摆系统，上摆质点固定于原点O，下摆质点通过轻杆与上摆质点相连。系统在重力场中运动，重力加速度为g。以下从拉格朗日力学、哈密顿力学及对称性分析三个层面展开解答。一、拉格朗日力学框架下的运动方程推导步骤1：确定广义坐标平面双摆的位置由两个角度（上摆与竖直方向夹角）和（下摆与上摆延长线夹角）完全确定，故取广义坐标为=，=。步骤2：计算动能T上摆质点的速度可表示为l̇沿切向，动能=m下摆质点的位置坐标需通过几何关系确定：其水平坐标=lsi̇=̇=动能=m(̇=m系统总动能T=步骤3：计算势能V取原点为势能零点，上摆质点势能=−mglc步骤4：构造拉格朗日量L=代入得L=步骤5：应用拉格朗日方程()对=，计算=2ṁ=−拉格朗日方程给出：2̈对=，=ṁ+=−拉格朗日方程化简得：̈+方程（1）和（2）即为双摆系统的拉格朗日运动方程。二、哈密顿力学框架下的正则方程推导步骤1：计算广义动量=由L的表达式，=2ṁ步骤2：解出广义速度̇作为和的函数将和视为线性方程组，系数矩阵为(2mmcos利用克莱姆法则，解得：̇=̇=步骤3：构造哈密顿量H=代入̇、̇和L，化简后可得：H=步骤4：正则方程̇=，̇计算====对̇，计算−=−mgl三、对称性与守恒律分析（诺特定理应用）考虑系统的时间平移对称性：若拉格朗日量不显含时间t，则哈密顿量H为守恒量。本系统中L不显含t，故H=T+V（因T是广义速度的二次齐次函数，满足进一步分析空间旋转对称性：若系统在绕竖直轴（z轴）旋转δϕ下不变，则角动量在z轴方向守恒。但本系统为平面双摆，运动限制在x−y平面，绕z轴旋转会改变质点位置，导致L中势能项V不变（重力沿z具体计算对称变换的提供元：令→+δϕ，→+δϕ（因旋转δϕ会同时改变两个摆角），则广义坐标的变分δ验证：由=2ṁ+ṁcos，=四、微振动近似下的线性化运动方程当摆角,很小时，cos≈1≈方程（1）：2̈方程（2）：̈+整理为矩阵形式：(2111)(设解为=，代入得特征方程：det(−(2计算行列式：(−展开化简得4+2=0，解得=(五、刚体定点转动的欧拉动力学方程应用示例考虑一轴对称刚体（如陀螺）绕固定点O转动，对称轴为轴（固连于刚体），惯性主轴,,满足==I，=。设欧拉角为(ψ,θ,ϕ刚体的角速度在固连系中的分量为=̇\psisin\thetasinϕ+欧拉动力学方程为İ(I)=若刚体仅受重力作用，重力矩在固连系中的分量为=mglsin\thetasinϕ，当陀螺作规则进动（θ=常数，̇ψ

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