小学五年级数学（北师大版）下册“用方程解决问题”单元复习课教案

小学五年级数学（北师大版）下册“用方程解决问题”单元复习课教案

一、教材与学情深度分析

（一）教材解析与定位

“用方程解决问题”是北师大版五年级下册数学教材中“第七单元”的核心内容，亦是整个小学阶段代数思维培养的关键节点与集大成者。本单元并非孤立存在，它向上承接了四年级用字母表示数、认识方程、等式的性质等基础知识，向下则为六年级学习比例、百分数等更复杂问题的方程解法奠定了坚实的思维与方法基础。教材编排遵循“实际问题—数学建模—求解检验—解释应用”的逻辑主线，旨在引导学生从算术思维向代数思维进行深刻的范式转换。

本单元所涉问题类型广泛，具有鲜明的层次性与结构性。主要包括：1.基于简单数量关系的直接建模问题（如ax±b=c类型）；2.涉及两个未知量且存在和、差、倍数关系的问题（如ax±bx=c类型，即和倍、差倍问题）；3.相遇、追及等典型行程问题；4.涉及图形周长、面积公式的几何应用问题；5.与分数、小数运算结合的综合性问题。这些问题的本质，是训练学生从纷繁复杂的现实或数学情境中，剥离出核心的等量关系，并用数学符号（方程）将其准确地表达出来。因此，期末复习课的任务，绝不仅是知识点的简单罗列与重复，而是要对这一整套建模思想、解题策略进行系统梳理、整合与升华，帮助学生构建起结构化、可迁移的“方程思维模型”。

（二）学情精准诊断

经过一个单元的学习，五年级学生已初步掌握了列方程解应用题的基本步骤（设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验作答），并能解决一些标准情境下的问题。然而，在期末复习阶段，通过前期作业、单元测试及课堂观察，我们发现学生普遍存在以下深层次的学习困境与分化点：

1.思维定势的顽固性：部分学生，尤其是算术思维较强的学生，仍习惯于逆向思考，寻找“算数解法”，对“正向设元、顺向列式”的代数思维接受度不足。在遇到复杂关系时，容易因无法直接列出算式而产生挫败感，而非转向寻找等量关系。

2.等量关系提取的脆弱性：学生能够识别标准表述（如“甲比乙的3倍多5”）中的等量关系，但在面对多条件交织、信息冗余或表述隐蔽的现实情境、图文结合情境时，提取核心、稳定等量关系的能力显著下降。例如，在行程问题中，对“同时出发、相向而行、相遇时间相同”这一隐含条件的挖掘与利用存在困难。

3.符号化表达与运算的熟练度不足：设未知数时，对直接设与间接设的策略选择不灵活；列方程过程中，易受算术列式习惯干扰，出现诸如将未知数单独置于等号一侧的错误倾向；解方程时，对等式性质的运用虽已掌握，但在处理含有小数、分数的方程时，计算失误率较高。

4.模型建构与迁移能力欠缺：学生往往孤立地记忆“行程问题公式”“和倍问题公式”，未能从更高层面理解这些问题共享的“A+B=C”、“Ax=B”等基本关系结构，导致题型稍有变化或多种模型复合时，便无从下手。

基于以上分析，本次复习课的起点应是学生真实的认知冲突与能力短板，终点应是构建一个清晰、稳固、可扩展的“方程解决问题”心智模型。

二、核心素养导向的教学目标

（一）知识与技能

1.系统回顾并牢固掌握列方程解决实际问题的基本步骤和书写规范。

2.能熟练识别、分析和表述不同类型问题（和差倍、行程、几何、一般复合关系）中的关键等量关系。

3.能根据问题特点，灵活选择直接设元或间接设元，正确列出方程并求解。

4.提升解含有分数、小数的方程的运算准确性与熟练度。

（二）过程与方法

1.经历“问题归类—策略提炼—模型建构”的复习过程，学会用思维导图、表格、关系图等工具梳理知识体系，发展归纳与结构化能力。

2.在对比“算术法”与“方程法”解决复杂问题的过程中，深刻体会方程思想的优越性，即思维的顺向性与建模的普适性。

3.通过综合性、变式性、开放性问题探究，提升分析、综合、评价等高阶思维能力，以及将现实问题抽象为数学问题的建模能力。

（三）情感态度与价值观

1.在克服复杂问题的挑战中，增强学习数学的自信心和克服困难的意志力。

2.感受方程作为强大数学工具在揭示数量关系本质、解决实际问题的威力，体会数学的理性精神与应用价值。

3.在小组合作与交流中，养成严谨、有条理的思维习惯和乐于分享、敢于质疑的科学态度。

三、教学重难点研判

（一）教学重点

1.系统梳理用方程解决问题的核心策略与一般步骤，形成清晰的知识网络。

2.精准、灵活地寻找和表达复杂情境中的等量关系。

3.促进代数思维（正向、建模）的巩固与内化。

（二）教学难点

1.突破算术思维定势，在复杂、非标准问题中自觉、有效地运用方程思想。

2.从多条件、多信息的实际问题中，剥离无关信息，构建有效的等量关系模型。

3.实现不同问题类型（如行程、和差倍）背后统一数学模型的理解与迁移。

四、教学准备

（一）教师准备

1.精心设计、制作多媒体课件，包含知识结构图、典型例题、对比分析图表、动态演示（如相遇问题过程）等。

2.设计并印制“课堂学习任务单”（含知识梳理框架、分层探究问题、自我评价表）。

3.准备实物投影仪，用于展示学生作品（思维导图、解题过程）。

4.设计分层次的、具有挑战性的课后作业。

（二）学生准备

1.自主复习第七单元教材及练习册，尝试整理本单元知识要点。

2.准备笔记本、彩色笔（用于绘制思维导图）。

3.回顾自己在本单元学习过程中遇到的典型错题和困惑。

五、教学实施过程（总计80分钟）

第一环节：情境激趣，揭示课题（约5分钟）

1.创设认知冲突情境：

1.2.课件出示一道改编的综合性问题：“学校科技节，五年级制作航模的总数是四年级的2倍少10个。已知五、四年级共制作了230个航模，且五年级比四年级多做40个。请问四、五年级各制作了多少个航模？”

2.3.让学生独立思考1分钟，尝试解决。

3.4.预设：大部分学生用算术法会感到思路繁杂，甚至无从下手。教师请一位感觉困难的学生简单说说他的思路卡点。

5.引发对比，凸显价值：

1.6.教师提示：“如果我们换个思路，不直接去求答案，而是先假设其中一个量为未知数x，用含有x的式子表示其他量，再根据题目中‘共制作了230个’或‘五年级比四年级多做40个’这样的关系来列一个等式，会不会更清晰？”

2.7.快速引导学生口述设元、列等量关系的过程，列出如“设四年级制作x个，则五年级制作(2x-10)个”，并根据总和关系列出方程：x+(2x-10)=230。

3.8.对比指出：这种“先假设未知，再建立等式”的方法，就是我们本学期攻坚克难的利器——方程。今天，我们就对这柄利剑进行一次全面的“大盘点”与“精打磨”。

第二环节：自主梳理，构建网络（约15分钟）

1.任务驱动，个体建构：

1.2.分发“课堂学习任务单”。第一部分任务：请以“用方程解决问题”为中心词，用思维导图或结构图的方式，梳理本单元的核心知识、方法、步骤和常见问题类型。要求尽可能详细、有条理，可以使用关键词、图形和简例。

2.3.学生独立完成，教师巡视，关注学生的梳理角度（是按步骤？按题型？还是按思想方法？），发现典型作品。

4.展示交流，互动完善：

1.5.利用实物投影，展示2-3份具有代表性的学生作品。请作者简要解说自己的梳理思路。

2.6.组织学生互评：“这份梳理图的优点是什么？”“有没有可以补充或调整的地方？”

3.7.教师在此基础上，展示并讲解经过优化的、体现“思维层级”的知识网络图（课件呈现）：

用方程解决问题

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核心思想：将未知看作已知，寻找等量关系

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操作流程（外显技能）问题模型（内化结构）

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1.审题，设未知数(直接设/间接设)1.简单基本关系型(ax±b=c,ax=b)

2.找等量关系(关键词、公式、不变量)2.和差倍问题型(ax±bx=c)

3.列方程(符号化表达)3.行程问题型(相遇：速度和×时间=路程和；

4.解方程(运用等式性质)追及：速度差×时间=路程差)

5.检验，写答句(代入原题情境)4.几何问题型(利用周长、面积公式)

5.综合应用型(多关系复合，含分数、小数)

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共同关键：准确“翻译”现实语言为数学等式

*引导学生对比自己的梳理图，进行二次修改和完善。强调：流程是“术”，模型是“道”，两者结合方能游刃有余。

第三环节：典例深析，策略提炼（约30分钟）

本环节采用“分类探究、对比深化、策略内化”的路径，选取最具代表性的四类问题，进行深度剖析。

探究一：和差倍问题的“关系主线”模型

1.基础对比：出示两道题。

1.2.A:果园里有桃树和梨树共120棵，桃树的棵数是梨树的2倍。两种树各有多少棵？

2.3.B:果园里桃树比梨树多40棵，且桃树的棵数是梨树的3倍少20棵。两种树各有多少棵？

4.小组讨论：

1.5.(1)两道题的等量关系有什么相同和不同？（都有倍数关系，但A是“和”关系，B是“差”关系与复杂倍数关系的复合）

2.6.(2)设谁为x更方便？为什么？（通常设“是”后面的量，即标准量为x，便于表达另一个量）

3.7.(3)列出B题的方程，并比较设“梨树为x棵”和设“桃树为x棵”两种方法，哪种列的方程更简单？

8.策略提炼：教师总结板书：和差倍问题核心策略：①定位“标准量”，常设为x；②用含x的式子表示“比较量”；③紧扣“和”、“差”、“倍数”等关键词建立主等量关系。

探究二：行程问题的“动态过程”模型

1.动态演示：课件动画演示“相遇问题”和“追及问题”全过程。

2.信息提取竞赛：出示一道相遇问题图文。“甲、乙从相距540千米的两地同时相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，几小时后相遇？”

1.3.提问：从题目中你能提取哪些“数学信息”？哪些是“显性”的？哪些是“隐性”的？（显性：路程和、各自速度；隐性：同时出发、时间相同、相向而行意味着速度和）

2.4.学生列方程解答。强调“速度和×相遇时间=总路程”这一模型。

5.变式挑战：将上题改为：“甲、乙从同一地点先后出发，乙先走2小时，甲再以原速追赶。甲几小时后能追上乙？”

1.6.引导学生通过画线段图，分析追及问题的核心：两人所行路程相等。找出等量关系：乙先走的路程+乙在甲追及期间走的路程=甲追及所走的路程。或更简洁地：甲的速度×追及时间=乙的速度×(先走时间+追及时间)。

7.策略提炼：教师总结板书：行程问题核心策略：①善用线段图，可视化过程；②抓住核心等量（相遇：路程和相等；追及：路程差相等）；③注意时间、速度、路程的对应关系。

探究三：几何问题的“公式依托”模型

1.问题呈现：“一个长方形的周长是30厘米，长是宽的2倍。求这个长方形的面积。”

2.引导分析：

1.3.第一步：问题最终求什么？（面积）求面积需要什么条件？（长和宽）

2.4.第二步：题目中哪些条件与长、宽有关？（周长是30厘米，长是宽的2倍）

3.5.第三步：选择哪个等量关系列方程更直接？（周长公式）

4.6.学生列方程求解宽和长，再计算面积。

7.错误预警：预设学生可能错误：设宽为x厘米，则长为2x厘米，错误方程：2x+x=30。引导学生辨析：周长公式是(长+宽)×2，正确方程应为：2(x+2x)=30。

8.策略提炼：教师总结板书：几何问题核心策略：①明确所求量，追溯所需已知量；②熟练依托几何公式（周长、面积、体积）建立等量关系；③注意公式的完整性和系数的准确性。

探究四：综合问题的“分层剥离”模型

1.呈现开课时的问题（四、五年级制作航模问题）。

2.引导“分层剥离”：

1.3.第一层：问题涉及几个量？（四年级数量、五年级数量）

2.4.第二层：这几个量之间有哪些关系描述？（关系1：五年级是四年级的2倍少10个；关系2：总和230个；关系3：五年级比四年级多40个）

3.5.第三层：这些关系都是等量关系吗？我们列方程需要几个等量关系？（都是等量关系，但列一个方程只需要一个核心等量关系，其他用于表达未知量或用于检验）

4.6.第四层：选择哪两个关系作为“设元依据”和“列方程依据”最简便？（通常选择用于表达未知量的关系（关系1）和用于列方程的关系（关系2或3））

7.学生完整解答，并尝试用另一个等量关系进行检验。

8.策略提炼：教师总结板书：综合问题核心策略：①分层梳理信息，厘清所有数量关系；②区分“表达关系”与“等量关系”；③合理选择与组合，化繁为简。

第四环节：分层演练，巩固迁移（约20分钟）

设计三个层次的练习，在任务单上完成。

A组：基础巩固（面向全体，巩固模型）

1.妈妈买了3千克苹果和2千克梨，共付款48元。已知苹果每千克9元，梨每千克多少元？（基本关系）

2.饲养场养鸡和鸭共350只，其中鸭的只数是鸡的1.5倍。鸡和鸭各有多少只？（和倍问题）

3.两地间的铁路长250千米。甲乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇。甲车每小时行60千米，乙车每小时行多少千米？（相遇问题）

B组：能力提升（面向大多数，灵活应用）

1.书架上层书的本数是下层的3倍，如果从上层搬60本书到下层，那么两层书的本数相等。原来上下层各有多少本书？（关系变化问题）

2.小华和小明绕一个周长为400米的环形跑道跑步。他们从同一地点同时出发，相背而跑，40秒后第一次相遇；如果同向而跑，200秒后小华第一次追上小明。求两人的速度。（环形行程综合）

3.一个直角三角形的面积是24平方厘米，其中一条直角边比另一条直角边短2厘米。求这个直角三角形的两条直角边的长度。（几何与差关系结合）

C组：挑战拓展（面向学有余力者，综合创新）

1.某次数学竞赛共10道题，评分标准是：基础分10分，答对一题得3分，答错一题扣1分，不答得0分。已知小华最终得了26分，且他答错的题数是不答题数的一半。请问小华答对了几道题？（多元关系，整数解约束）

2.设计问题：请根据方程“2x+3(x-5)=100”编一道符合实际情境的应用题。（逆向建模，开放创作）

1.实施方式：学生根据自身情况至少完成A、B两组。教师巡视，重点指导B、C组中遇到困难的学生。C组题可进行小组讨论。完成后，针对共性问题进行集中讲评，并展示优秀的自编题作品。

第五环节：反思总结，评价展望（约10分钟）

1.系统回顾：引导学生共同回顾板书上的知识网络与四大核心策略。提问：“经过今天的复习，你对‘用方程解决问题’最深的体会是什么？”让学生自由分享，可能聚焦于“方程让复杂问题变简单”、“找等量关系是关键”、“画图很有用”等。

2.自我评价：请学生根据任务单上的“学习效果自我评价表”进行打分或勾选。评价维度包括：知识梳理的清晰度、对各类问题策略的理解、练习完成情况、参与课堂讨论的积极性等。

3.课堂总结：教师进行高观点总结：“同学们，今天的复习，我们不仅仅是在回顾一种解题方法，更是在锤炼一种强大的数学思想——建模思想。方程，就是连接现实世界与数学世界的一座桥梁。它要求我们‘大胆假设，小心求证’，这是一种科学的思维方式。希望同学们在今后的学习中，能主动运用这把钥匙，去开启更多未知领域的大门。”

4.布置作业：（课后分层作业）

1.5.必做：完成复习练习册上“用方程解决问题”专题的所有基础题和部分提高题。

2.6.选做（二选一）：

1.3.7.(1)整理本单元的个人错题集，分析每题错误原因（审题、找等量关系、列方程、计算），并重做。

2.4.8.(2)寻找一个生活中的实际问题（如家庭购物预算、行程规划等），尝试用方程建立模型并求解，撰写一份简单的“数学建模报告”。

六、板书设计（计划性、生成性结合）

（左侧-预设主框架）

“用方程解决问题”期