新疆维吾尔自治区喀什地区普通高考5月适应性检测数学试题

喀什地区2025年普通高考5月适应性检测数学试题（卷面分值：150分；考试时长：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用交集定义可求得集合.【详解】因为，，故.故选：C.2.复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得.【详解】因为在复平面内对应的点为，又点关于直线对称的点为，所以，所以.故选：A3.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程.【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，则，，则，故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.又因，解得，故其轨迹方程为.故选：D.4.某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由排列数的计算以及古典概型概率计算公式即可得解.【详解】1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是.故选：A.5.已知向量，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由向量垂直的坐标表示求出，然后再由模长的计算可得.【详解】若，则，即又，.故选：D.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值.【详解】由.由.由.所以.故选：B7.已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可.【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合，正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为，记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，由正弦定理得：，而为的中点，则，所以该三棱锥的外接球的体积为.故选：A8.已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围.【详解】令，则方程可转化为.对进行因式分解可得，则，.所以或.

当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且.

当时，，对其求导，.令，即，解得（）.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极小值，也是最小值，.

对于：当时，，即，，解得，有个根.

因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根.结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根.

的取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.对于函数和，下列说法中正确的是（）A.与有相同的零点B.与有相同的最小值C.函数的图象与的图象有相同的对称轴D.的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到【答案】BD【解析】【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确.【详解】对于A，令中，可得，但，故A错误；对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；对于C，函数的对称轴方程为，即，所以，故C错误；对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；故选：BD10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（）A.直线与恰有两个公共点B.双曲线的离心率为C.当时，的面积为D.当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【答案】BC【解析】【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.【详解】对于A选项，联立可得，所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；对于B选项，对于双曲线，则，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，C对；对于D选项，设点、，线段的中点为，则，，则，由题意可得，所以，，则，D错.故选：BC.11.已知函数，则（）A.函数的定义域为B.当时，函数在定义域上单调递增C.曲线是中心对称图形D.若，且的最小值是0【答案】ABC【解析】【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误.【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确；对于B，当时，易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确；对于C，令，，因此的图象关于点中心对称，易知满足，可得的图象关于点中心对称，可得C正确；对于D，时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．有2个空的，第一个空做对得2分，第二个空做对得3分.12.等比数列中，，则的前4项和等于______．【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和.【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，因此，所以的前4项和等于5.故答案为：513.中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可.【详解】如下图所示：因为，为边的中点，所以，又三点共线，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.故答案为：.14.已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____．【答案】①；②.【解析】【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解.【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则；当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为；第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2.当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意；当时，显然无解；的判别式，设的两根为，则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意；当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解；，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增，则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点；综上：.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角.（2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高.【小问1详解】由正弦定理，得，又，所以，所以，整理，得，即，又，所以，所以，故.【小问2详解】由的面积为，得，所以.由余弦定理，得，所以，设边上的高，由，解得.16.已知函数，.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）试判断函数的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性．【小问1详解】当时，，则，所以，，，故当时，函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】函数的定义域为，，当时，，的减区间为，无增区间；当时，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为.17.如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，设，连接，可证得四边形为平行四边形，进而可得，利用线线平行可得平面；（2）当时，三棱锥的体积最大.，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，求得平面的一个法向量，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】如图，连接，设，连接.四边形为平行四边形，.为的中点，即.又平面平面，平面.【小问2详解】，而，当时，取最大值2，即当时，三棱锥的体积最大.又三棱柱为直三棱柱，.当时，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则.设平面法向量为，则，令，则.又平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.18.同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.（1）估计甲队每局获胜的概率；（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）两队积分相等的概率小于【解析】【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可；（2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望；（3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率.【小问1详解】由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，可得：，，，，所以的分布列为0123所以数学期望．【小问3详解】记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，因两队积分相等，所以，即，则，而，，，所以，因为，所以两队积分相等的概率小于19.已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.（1）求椭圆标准方程；（2）设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，，解方程求出，再结合，即可得出答案.（2）设，直线的