小学五年级数学（下）期中思维进阶与核心素养融合教学设计

小学五年级数学（下）期中思维进阶与核心素养融合教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）教材与学情定位

本教学设计基于课程改革核心理念，针对小学五年级下学期学生设计。此时的学生正处于从具体形象思维向初步逻辑抽象思维过渡的关键期【核心素养·关键期】。他们已经掌握了因数与倍数、长方体与正方体、分数的意义与性质等基础知识【基础】，但面对综合性、灵活性强的思维训练题时，往往暴露出概念理解不深、空间观念薄弱、建模能力不足等问题【高频错点】。本设计旨在通过期中卷C卷的思维训练，不局限于解题本身，而是以题为载体，深挖知识背后的数学思想与方法，实现知识的纵向深挖与横向关联，打通“数与代数”与“图形与几何”两大领域的壁垒【跨学科视野·数形结合】。

（二）设计理念与目标

本课件设计遵循“以思维发展为中心”的原则，将期中复习定位为“思维的再建构”而非“知识的简单再现”。通过精选的典型例题与变式练习，引导学生经历“操作体验—猜想验证—建模应用—反思迁移”的完整思维过程【教学流程·高阶设计】。不仅关注学生对C卷试题的正确解答，更关注其“分析、综合、评价与创造”的高阶思维能力培养【重中之重】。同时，巧妙融入数学文化，激发学生的内在学习动机，力求实现“会解一道题，通晓一类题，建构一个模”的教学效果【教学目标·三维融合】。

二、教学目标设计

1.知识与技能【基础·核心】

1.2.系统梳理因数与倍数的概念，能灵活运用其性质解决最大公因数与最小公倍数的实际问题，尤其是生活中的“分东西”、“铺地砖”、“间隔问题”【高频考点】。

2.3.深化对长方体与正方体特征的认识，熟练掌握表面积与体积的计算方法，并能解决等积变形、拼割引起的表面积变化等复杂问题【难点·拉分题】。

3.4.准确理解分数的意义，掌握分数与除法的关系，能熟练进行假分数与带分数的互化，并能运用分数的基本性质解决分数大小比较及实际应用问题【必考点】。

5.过程与方法【思维核心】

1.6.通过“数形结合”的方法，将抽象的分数问题、公倍数问题转化为直观的图形或线段图，培养几何直观能力【重要思想】。

2.7.运用“转化思想”解决不规则物体的体积测量问题，以及复杂的表面积计算问题【重中之重】。

3.8.通过“分类讨论”与“模型思想”，对C卷中的开放性问题、最值问题进行多角度思考，建立数学模型，提升思维的深刻性与灵活性【高阶思维】。

9.情感态度与价值观【育人价值】

1.10.在挑战思维难题的过程中，培养学生不畏困难、勇于探索的精神，体验数学思考的乐趣与成就感。

2.11.感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的实用价值，增强应用意识。

三、教学重难点

1.教学重点：运用最大公因数与最小公倍数的知识解决实际问题；掌握长方体与正方体表面积与体积在拼、割、沉、浮情况下的变化规律；理解分数意义在实际情境中的灵活运用。

2.教学难点：建立解决复杂空间图形问题的数学模型；理解并应用“等积变形”思想；在具体情境中准确辨析是求最大公因数还是最小公倍数【高频混淆点】。

四、教学准备

教师准备：多媒体PPT课件（内含C卷题目解析、动态演示、变式训练题）、实物投影仪、若干个相同的长方体/正方体学具、水槽及不规则石块、彩色粉笔。

学生准备：C卷试题、尺规作图工具、若干小正方体学具、草稿纸。

五、教学实施过程

（一）整体感知，导入思维场域

上课伊始，教师开门见山：“同学们，我们已经完成了期中卷C卷的解答。这张卷子不仅仅是对知识的考查，更是一次思维的旅行。今天，我们不只看答案的对错，更要深入探索题目背后的数学奥秘，把解题的经验提炼成解决问题的策略。”教师通过简短有力的开场，迅速将学生带入“深度思考”的课堂氛围，明确本节课的思维进阶目标。

（二）模块一：数的世界——因数与倍数的生活密码（C卷对应题型深度剖析）

1.核心题例回放与变式【重要·高频考点】

教师利用课件呈现C卷中关于最大公因数与最小公倍数的典型应用题，例如：“把一张长36厘米、宽24厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，且纸没有剩余。剪出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以剪多少块？”

1.第一步：审题建模。引导学生抓住关键词“同样大小”、“没有剩余”、“边长最大”，明确这是求长和宽的最大公因数问题。教师板书建模过程：问题转化为求36和24的最大公因数。

2.第二步：方法回溯。复习求最大公因数的方法：列举法、短除法、分解质因数法。此处重点演示短除法【核心技能】，强调书写规范及算理。

3.第三步：计算求解。师生共同用短除法求出（36,24）=12。进而求出块数：（36÷12）×（24÷12）=3×2=6（块）。

4.第四步：思维拓展【重中之重】。教师提问：“如果题目改为‘可以剪成边长多少厘米的正方形？’（不加最大），会有几种情况？这些正方形的边长与36和24有什么关系？”引导学生思考得出：边长既是36的因数，又是24的因数，即公因数。所有的公因数都是最大公因数的因数。这一问，将题目从“封闭”引向“开放”，训练了思维的全面性。

5.第五步：变式训练【举一反三】。教师呈现变式题：“用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木拼成一个正方体，至少需要多少块这样的积木？”引导学生对比分析，此题与上一题有何不同？从“二维”的剪正方形变为“三维”的拼正方体，关键词从“最大公因数”转变为“最小公倍数”。师生共同探讨，明确：拼成的正方体棱长必须是长方体长、宽、高的公倍数，问“至少”，所以是求最小公倍数。求出长、宽、高的最小公倍数[6,4,3]=12，再求块数：（12÷6）×（12÷4）×（12÷3）=2×3×4=24（块）。通过二维与三维的对比，强化了学生对公因数与公倍数本质的理解。

2.难点攻坚——隐含的“公倍数”问题【难点·思维陷阱】

教师出示C卷中关于“公交车站发车”或“路灯光”的问题，如：“1路和2路公交早上6点同时从始发站发车。1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班。请问下一次同时发车是什么时候？从6点到7点，它们同时发车几次？”

1.第一步：建立时间轴模型。引导学生在草稿纸上画出一条线段表示时间，标出6:00的位置。

2.第二步：抽象数学关系。明确“同时发车”的时间间隔必须是6和8的公倍数，第一次同时发车的时间就是它们的最小公倍数。6和8的最小公倍数是24，所以下一次同时发车是6:24。

3.第三步：范围求解【高频考点】。解决“从6点到7点同时发车几次”的问题，关键在于厘清范围。6:00本身就是第一次，然后每隔24分钟一次。6:00,6:24,6:48，到7:12已经超出7点，所以共有3次。教师强调：在求“次数”或“总人数”时，一定要注意是否包含起始的那一次，即“植树问题”的数学模型在这里的应用。

4.第四步：模型拓展。教师将“时间间隔”替换为“步长”、“月季花与兰花的种植间距”等问题，引导学生发现，这些生活情境不同，但数学模型完全一致，都是公倍数的周期性问题【数学模型·统一之美】。

（三）模块二：空间的智慧——长方体与正方体的变与不变（C卷对应题型深度剖析）

1.基础夯实——棱长、表面积、体积的概念辨析【基础·必考点】

教师展示一个长方体的框架、展开图，以及一个注满水的长方体容器。通过提问串，快速辨析核心概念：

1.“做这个框架需要多少铁丝？”——求棱长总和。

2.“至少需要多少纸板才能糊起来？”——求表面积。

3.“这个盒子占多大空间？”——求体积。

4.“它能装多少水？”——求容积。

通过实物对应，强化对公式的理解，避免死记硬背。

2.能力提升——拼与割的表面积变化【重中之重·高频考点】

教师呈现C卷中的核心题：“把一个棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成一个长12分米，宽4分米的长方体钢材。这个长方体钢材的高是多少分米？”

1.第一步：核心思想揭示。抓住关键词“熔铸”，教师引导学生理解：虽然形状变了，但“体积不变”，这就是“等积变形”思想【核心素养·转化思想】。

2.第二步：计算推演。先求正方体体积：6×6×6=216（立方分米）。熔铸后长方体体积不变，已知长和宽，求高：216÷（12×4）=216÷48=4.5（分米）。

3.第三步：动态验证。利用多媒体课件动态演示钢坯由正方体“熔化”再“凝固”成长方体的过程，让抽象的等积变形思想变得可视化，加深理解。

4.第四步：变式延伸【思维挑战】。教师抛出更复杂的变式：“如果把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了72平方厘米。原来一个正方体的体积是多少？”此题逆向思维要求高。

1.5.思维引导：两个正方体拼成长方体，减少了几个面？引导学生拿出小正方体学具动手拼一拼，发现减少了2个正方形的面。

2.6.推理计算：减少的2个面总面积是72平方厘米，所以一个正方形面的面积是72÷2=36（平方厘米）。由此推出正方体棱长为6厘米（因为6×6=36）。最后求体积：6×6×6=216（立方厘米）。

3.7.对比总结：将“熔铸”（等积变形）与“拼割”（表面积变化）两种题型对比，前者体积不变，后者体积不变但表面积变。帮助学生构建清晰的认知结构，明确在解决此类问题时，紧紧抓住“不变”的量（如体积或一个面的面积）来突破“变”的量。

3.难点突破——水中浸物问题【难点·拉分题】

教师展示一个C卷中出现的“水中浸物”问题：“一个长方体玻璃缸，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面水深3分米。现将一个体积为20立方分米的假山石完全浸没在水中，水面上升多少分米？”

1.第一步：情境模拟。在讲台上用水槽和石块进行实物演示，让学生直观观察水位上升的现象。

2.第二步：原理探寻。引导学生思考：水位为什么会上升？因为石块占据了水的空间，把水“挤”上去了。上升的那部分水的体积就等于不规则物体（假山石）的体积【核心原理·重中之重】。

3.第三步：建立模型。明确公式：容器的底面积×水面上升的高度=不规则物体的体积。

4.第四步：列式求解。本题中，已知物体体积和底面积（5×4=20平方分米），求上升高度：20÷20=1（分米）。

5.第五步：变式挑战【思维进阶】。

1.6.变式1（求物体体积）：“将石头取出，水面下降了0.5分米，求石头的体积。”逆向运用公式：体积=底面积×下降高度。

2.7.变式2（水是否溢出）：“将一个高10厘米的圆柱形铁块放入一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米且装满水的长方体容器中，水会溢出吗？为什么？”引导学生考虑容器本身的高度限制，需要比较铁块高度与容器高度，初步渗透“排水法”与“容器容量”的综合考量，为后续学习复杂浸没问题奠定基础。

（四）模块三：分数的妙用——意义与性质的深度理解（C卷对应题型深度剖析）

1.概念辨析——分数的意义与分数单位【基础·核心】

教师呈现C卷中的判断题或填空题，如：“把3米长的绳子平均分成5段，每段长几分之几米？每段占全长的几分之几？”

1.第一步：对比辨析。强调“带单位”与“不带单位”的本质区别。每段长度是具体的量：3÷5=3/5米；每段占全长的分率是关系：1÷5=1/5。

2.第二步：动手操作。让学生在纸上画图表示，用一条线段表示3米，平均分成5份，指一指哪一部分表示3/5米，哪一部分表示1/5。通过“数形结合”，彻底厘清这一高频易错点【重要】。

2.高阶应用——分数的基本性质与最简分数【高频考点】

教师出示C卷中关于分数大小比较或互化的题目，例如：“比较5/8和4/7的大小。”

1.第一步：方法多样化。引导学生尝试不同方法：化成同分母分数（通分）、化成同分子分数、与1/2比较（中间数法）、化成小数。

2.第二步：优化策略。比较哪种方法对于给定的两个分数更简便。通过讨论，让学生明白解题策略需要灵活选择，不拘泥于单一方法。

3.第三步：引入“分数墙”。利用多媒体展示“分数墙”模型，将不同分母的分数用等长的彩色条块表示，让学生直观看到分数的大小关系和等价关系，深化对分数基本性质的理解——分数的大小不变，只是分的份数和取的份数变了【核心概念】。

3.思维拓展——生活中的分数问题【综合应用】

呈现C卷中的实际问题：“一杯果汁，小红喝了1/3杯后，觉得太甜，加满水，又喝了半杯。她一共喝了多少果汁？喝了多少水？”

1.第一步：情境还原。这是一个经典的分数混合问题，极具思维含量【重中之重】。引导学生一步一步分析，可以用画图法或总量不变法。

2.第二步：建模分析（总量不变法）：

1.3.初始：一杯纯果汁，总量为“1”。

2.4.第一次：喝了1/3杯果汁，此时剩下2/3杯果汁。

3.5.加满水：加入了1/3杯水。此时杯中：果汁2/3杯，水1/3杯。

4.6.又喝半杯：喝掉的半杯（1/2杯）里，既有果汁也有水。关键在于喝掉的果汁和水的比例与杯中果汁和水的比例一致。杯中果汁与水之比为2/3:1/3=2:1。所以，喝掉的半杯中，果汁占2份，水占1份。即喝掉的果汁为(2/3)×(1/2)=1/3杯？这里用比例法更清晰：半杯的2/3是果汁，所以第二次喝的果汁=(1/2)×(2/3)=1/3杯；第二次喝的水=(1/2)×(1/3)=1/6杯。

7.第三步：总量求和：总共喝的果汁=第一次1/3杯+第二次1/3杯=2/3杯。总共喝的水=第一次0杯+第二次1/6杯=1/6杯。

8.第四步：验证。检查总量：最后杯子里剩下的果汁为初始1减去喝掉的2/3，等于1/3杯；剩下的水为加入的1/3减去喝掉的1/6，等于1/6杯。杯中剩余总量1/2杯，与第二次喝掉半杯后还剩半杯吻合。此问题综合运用了分数的意义、分数的加减法以及比例思想，是训练学生逻辑推理能力的绝佳素材。

（五）综合与实践——跨学科视野下的数学建模

1.项目式学习任务【顶层设计·跨学科融合】

结合C卷中一道关于“设计包装”的题目，教师将其扩展为一个微型项目：“某糖果厂要为一种长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体糖果设计一个精美的包装盒。要求用一张长40厘米、宽20厘米的硬纸板，通过裁剪和折叠，制作一个能装下6块这样的糖果且最省材料的无盖长方体盒子。请画出设计草图，并计算出所用材料的面积（接缝处忽略不计）。”

1.第一阶段：数学分析。学生需要先计算6块糖果如何摆放。有多种摆法：一字排开、两排三块、三层两排等。不同的摆法会得到不同的长方体包装盒的长、宽、高。这是一个求组合体表面积（无盖）的优化问题。

2.第二阶段：美术设计。在设计草图上标注尺寸，并考虑包装盒的美观性，可以添加图案和色彩。这是数学与美术学科的融合。

3.第三阶段：动手操作。学生利用卡纸按照设计方案进行裁剪和折叠，制作出实物模型。

4.第四阶段：展示评价。在班级内展示各小组的作品，从“空间利用率”、“材料节省度”、“结构稳固性”和“外观设计”四个维度进行评价。这个综合实践活动，不仅巩固了长方体体积和表面积的知识，还培养了学生的优化意识、动手能力和团队协作精神，真正实现了知识的综合应用与创新【核心素养·实践创新】。

六、板书设计与作业布置

（一）板书设计

（主板书区）

五年级数学（下）期中思维训练

一、数的世界二、图形的奥秘三、分数的妙用

（因数倍数）（长、正方体）（意义与性质）

1.最大公因数1.等积变形1.量与分率

剪正方形V不变→求h画图辨析

2.最小公倍数2.拼割问题