小学数学五年级下册《用公因数解决简单问题》教学设计

小学数学五年级下册《用公因数解决简单问题》教学设计

一、教学内容分析

（一）【基础】教材定位与核心素养

本课“用公因数解决简单问题”隶属于小学数学“数与代数”领域，是“分数的意义和性质”单元的预备知识与实际应用延伸。它承接了因数、倍数、公因数与最大公因数的概念理解，是数论初步知识在现实生活中的具象化应用。本课的核心价值不仅在于掌握解题技能，更在于培养学生的数学模型意识、逻辑推理能力以及应用意识。通过对现实情境中“铺地砖”、“裁纸”、“分组”等问题的探究，引导学生经历“实际问题—数学抽象—模型建构—解释应用”的全过程，深刻体会数学与生活的紧密联系，感悟数学抽象的简约之美与数学应用的广泛性，是发展学生【非常重要】核心素养的关键载体。

（二）【重要】教学目标设定

1、知识与技能目标：学生能够结合具体情境，理解实际问题中“铺满”、“整块数”、“正好分完”等条件所蕴含的数学本质，即求两个数的公因数。能够熟练、准确地找出两个数的公因数和最大公因数，并用以解决简单的实际问题。

2、过程与方法目标：通过自主探究、合作交流、对比分析，经历将实际问题抽象为数学问题（求公因数）的过程，掌握用公因数知识解决实际问题的基本策略和方法，发展模型意识和几何直观。

3、情感态度与价值观目标：在解决问题的过程中，感受数学知识的价值，体验数学学习的乐趣，增强探索精神和应用意识，形成乐于思考、严谨求实的科学态度。

二、学情分析

【基础】五年级学生已经系统地学习了因数、倍数的概念，掌握了找因数以及求两个数的公因数和最大公因数的方法（列举法、筛选法、分解质因数法等）。他们具备了一定的抽象逻辑思维能力，能够进行简单的归纳和类比。然而，将生活中的实际问题（如铺地砖）与抽象的数学概念（公因数）建立起联系，对学生而言仍是一个思维上的【难点】。他们往往难以准确捕捉问题中的隐含条件（如“整块”、“正好铺满”意味着边长必须是整除关系），从而无法顺利实现从生活语言到数学语言的转化。因此，本课的关键在于搭建生活与数学之间的桥梁，引导学生深刻理解情境背后的数学结构。

三、教学重难点

（一）【非常重要】教学重点

理解并掌握将“正好铺满”、“正好分完”等现实问题转化为求两个数的公因数的数学问题，并能正确地找出具体情境下的公因数来解决实际问题。

（二）【难点】教学难点

准确理解实际问题的含义，抽象出问题的数学本质，即能够根据“整数块”、“没有剩余”等关键信息，判断出所求的量（如地砖的边长、小段的长度、每组的人数等）必须是相关两个数的公因数，并能够根据实际情况对结果进行取舍（是取最大公因数，还是取所有公因数）。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

坚持以学生为主体，以问题为导向，采用“情境创设—自主探究—合作交流—模型建构—拓展应用”的教学模式。通过直观演示、动手操作（或模拟操作）、小组讨论等方式，引导学生在解决具体问题的过程中，主动建构知识体系。

（二）教学准备

教师准备：多媒体课件（包含清晰的铺地砖动画、生活情境图）、实物投影仪。学生准备：方格纸（模拟墙面）、不同尺寸的小正方形纸片（模拟地砖）、学习单。

五、教学过程

（一）【基础】创设情境，提出问题

1、谈话引入：同学们，学校要为我们的小阅览室（出示一个长16分米、宽12分米的长方形墙面）重新装修，想用正方形的瓷砖把这面墙贴满（展示效果图）。为了美观且节省材料，要求使用的瓷砖必须是整块的，不能切割。工人师傅带来了几种规格的正方形瓷砖，分别是边长1分米、2分米、3分米、4分米、6分米、8分米的。你们能帮工人师傅判断一下，哪些规格的瓷砖可以正好铺满这面墙吗？

2、明确任务：这个问题看似是关于铺地砖的，其实里面藏着我们今天要研究的数学问题。让我们一起来探索一下，如何用数学的眼光来看待“铺地砖”这件事。

（设计意图：从学生熟悉且感兴趣的校园生活情境出发，激发学生的探究欲望。问题具有开放性，为后续的探究活动提供了明确的指向。）

（二）【重要】操作探究，初建模型

1、【基础】动手模拟，初步感知

（1）活动要求：请同学们以小组为单位，利用手中的方格纸（长16格，宽12格，每格代表1分米）和不同规格的小正方形纸片（边长分别为1、2、3、4、6、8格），动手摆一摆、试一试。看看哪些规格的纸片能正好铺满长方形，没有剩余。

（2）小组合作：学生动手操作，教师巡视指导，收集典型摆法。

2、汇报交流，聚焦本质

（1）展示成果：请小组代表上台，利用投影仪展示他们的操作结果。

（2）对比质疑：为什么边长1分米、2分米、4分米的瓷砖能正好铺满？而边长3分米、6分米、8分米的不能？

（3）引导思考：请同学们结合之前学习的因数、倍数知识想一想，“正好铺满”是什么意思？它和长方形的长和宽有什么关系？

（4）深度对话：

预设一：边长1分米，长边可以铺16块，宽边可以铺12块，因为16÷1=16，12÷1=12，都能整除。

预设二：边长2分米，长边可以铺8块，宽边可以铺6块，因为16÷2=8，12÷2=6，都能整除。

预设三：边长3分米，长边16÷3=5（块）……1分米，有余数，所以不能正好铺满。

（5）归纳小结：大家说得非常好！要使正方形瓷砖正好铺满长方形墙面，没有剩余，那么瓷砖的边长必须同时是长方形长的因数和宽的因数。也就是说，瓷砖的边长必须是长和宽的【重要】公因数。

3、揭示课题

今天我们就要运用这个重要的发现，也就是用公因数来解决一些生活中的简单问题。（板书课题：用公因数解决简单问题）

（三）【非常重要】深化理解，建构模型

1、问题一：选哪种规格？

（1）基于刚才的发现，我们再来看最初的问题。长16分米，宽12分米，它们的公因数有哪些？

（2）学生独立找出16和12的因数。

16的因数：1，2，4，8，16。

12的因数：1，2，3，4，6，12。

（3）找出公因数：16和12的公因数有1，2，4。

（4）对照结果：现在大家明白为什么只有边长1分米、2分米、4分米的瓷砖可以正好铺满了吗？因为只有它们才是16和12的公因数。而边长3、6、8分米，都不是16和12的公因数。

（5）【高频考点】追问：工人师傅想尽可能用大一点的瓷砖来铺，既美观又省事，你会推荐哪一种？为什么？

引导学生明确：推荐边长4分米的瓷砖。因为4是16和12的最大公因数。用最大公因数的瓷砖来铺，需要的块数最少，更省时省料。

2、问题二：可以裁成多长？

（1）变式练习：如果将这个长方形墙面看成是一张长16厘米、宽12厘米的长方形彩纸，现在要把它裁成同样大小的正方形，而且没有剩余。剪出的小正方形的边长最长可以是几厘米？能剪出多少个？

（2）【重要】对比辨析：这个问题和刚才的“铺地砖”问题有什么相同点和不同点？

相同点：都是将一个大长方形分成若干个同样大小的正方形，要求没有剩余。问题的本质都是求长和宽的公因数。

不同点：“铺地砖”是已知小正方形边长（公因数），判断能否铺满；而“裁纸”问题是要求出可能的小正方形边长（公因数），并且询问“最长”是多少，这指向的是最大公因数。

（3）学生独立解答，并展示汇报。

小正方形的边长最长是16和12的最大公因数，即4厘米。

沿长边可以剪：16÷4=4（个）；沿宽边可以剪：12÷4=3（个）。一共可以剪出4×3=12（个）。

（4）【难点】拓展提问：如果不要求“最长”，还有哪些剪法？一共可以剪出多少个？（引导学生思考所有公因数的情况，并体会在“所有公因数”和“最大公因数”之间的区别与联系。）

3、【非常重要】模型总结

同学们，无论是“铺地砖”还是“裁正方形”，这些问题的背后其实都藏着一个共同的数学模型。那就是：当我们要把一个长方形（或一个整体）平均分成若干份，且要求“正好分完”、“没有剩余”时，我们实际上就是在寻找这个长方形的长和宽的（公因数）。而当我们要求“最大”、“最少块数”时，我们就是在寻找它们的（最大公因数）。

（四）【高频考点】分层练习，巩固应用

1、【基础】基础练习

（1）五（1）班男生有24人，女生有18人。在体育课上，要把男、女生分别分成若干小组，使得每个小组的人数相同，且没有多余的人。每个小组最多可以有多少人？这时男、女生各分成了几组？

（2）【重要】分析：要使每组人数相同，且男女生各自分组没有剩余，那么每组人数必须是24和18的公因数。问题问“最多有多少人”，就是求24和18的最大公因数。

（3）学生独立完成，集体订正。24和18的最大公因数是6。男生分24÷6=4（组），女生分18÷6=3（组）。

2、综合练习

（1）小明的书房长36分米，宽28分米，现在要给书房地面铺上正方形地砖，要求地砖是整块的，且尽可能大，应该选边长多少分米的地砖？需要多少块？

（2）有两根钢管，一根长28米，另一根长42米。现在要把它们锯成同样长的小段，且每段都是整米数，没有剩余。每小段最长是多少米？一共可以锯成多少段？

（3）学生先独立思考，再进行小组交流，说一说自己是如何分析问题的。

3、【热点】拓展练习

（1）把一张长60厘米、宽45厘米的长方形纸，裁成若干个同样大小的正方形，而且没有剩余。正方形的边长可能是多少厘米？当边长最大时，可以裁成多少个正方形？

（2）变换问题：如果把一张长60厘米、宽45厘米的长方形纸，裁成边长为15厘米的小正方形，可以裁成多少个？（这个问题是已知边长，求数量，本质上也是对公因数知识的应用。）

（设计意图：通过层层递进的练习，让学生在解决不同类型问题的过程中，不断巩固和深化对“用公因数解决简单问题”这一数学模型的理解，提高灵活应用知识的能力，突出【高频考点】。）

（五）反思总结，拓展延伸

1、课堂总结

（1）今天我们一起研究了什么？你有哪些收获？

（2）引导学生从知识、方法、情感三个层面进行总结。

知识上：我们学会了用公因数和最大公因数来解决生活中“平均分”、“铺地砖”等问题。

方法上：我们经历了一个非常重要的数学学习过程——“问题情境—动手操作—抽象模型—解释应用”。

情感上：我们感受到了数学就在身边，数学真的很有用！

2、【基础】知识延伸

其实，公因数的应用远不止这些。比如在建筑学中，为了使建筑结构更加稳固、美观，设计师会利用公因数来确定砖块的尺寸和墙面的比例；在音乐中，不同音符时值的长短组合，也与公因数有着千丝万缕的联系；在编程中，寻找数据的公共周期也离不开它。希望同学们课后能用善于发现的眼光，去寻找生活中更多可以用公因数知识来解决的问题。

3、布置作业

（1）【基础】完成课后练习单上的必做题。

（2）【拓展】寻找一个生活中的实际问题，尝试用今天所学的公因数知识去解决它，并记录下来，下节课与大家分享。

六、板书设计

小学数学五年级下册《用公因数解决简单问题》

铺地砖问题：

墙面：长16分米宽12分米

瓷砖要整块、正好铺满

瓷砖边长必须既是长的因数，又是宽的因数

即：瓷砖边长是长和宽的（公因数）

16的因数：1、2、4、8、16

12的因数：1、2、3、4、6、12

16和12的公因数：1、2、4

最大公因数：4（铺的块数最少）

模型抽象：

“正好分完”、“没有剩余”—（寻找）→公因数

“最大”、“最少”—（寻找）→最大公因数

七、作业设计（导学案）

（一）【基础】基础巩固题

1、求出下面每组数的最大公因数。

15和2012和1824和3611和138和9

2、五（2）班有42人，五（3）班有48人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？

3、把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，且没有剩余。正方形的边长最长是多少厘米？可以剪多少个？

（二）【重要】能力提升题

1、有两根木料，一根长54米，另一根长36米。现在要把它们锯成同样长的整米数小段，且每段要尽可能长，那么每小段长多少米？一共可以锯成多少段？

2、学校买来两种图书，故事书有36本，科技书有48本。要将它们分别捆成若干捆（捆数大于1），要求每捆书的本数相同，且没有剩余。每捆最多有多少本书？最少有多少本书？（提示：考虑捆数大于1这个条件）

（三）【热点】拓展延伸题

1、明明家的厨房地面是长36分米、宽24分米的长方形。如果用边长是整分米数的正方形地砖把厨房地面铺满（使用的地砖都是整块），那么可以选择边长是多少分米的地砖？如果要求地砖的块数尽可能少，应该选择边长是多少分米的地砖？需要多少块？

2、用公因数知识解释：为什么有些年份的日历（非闰年），每个月的天数不尽相同，但每个月的星期数却总是整数个星期零几天？这背后体现了怎样的数学原理？

3、假期里，小红每隔3天去一次图书馆，小明每隔4天去一次图书馆。某天他们两人在图书馆相遇后，至少再过多少天他们又会再次在图书馆相遇？（此题涉及最小公倍数，旨在引导学有余力的学生进行前置思考，为后续学习作铺垫。）

八、教学反思与建议

（一）【非常重要】核心素养落实

本教学设计紧扣课程改革理念，将教学重心从单纯的知识传授转向学生核心素养的培养。通过“铺地砖”这一核心情境，引导学生经历完整的数学建模过程，有效发展了学生的抽象能力、模型思想和应用意识。在探究与交流环节，鼓励学生大胆质疑、清晰表达，培养了学生的逻辑推理能力和合作交流能力。

（二）【难点】突破策略

针对本课的教学难点——“将实际问题抽象为公因数问题”，教学设计采取了“动手操作—语言描述—符号表达”的递进策略。首先让学生通过直观操作获得感性经验，然后引导他们用自己的语言描述“正好铺满”的条件，最后引导学生用数学符号（因数和公因数）进行概括和表达。这种从具体到抽象、从感性到理性的过渡，有助于学生顺利跨越思维