北师大版小学五年级数学下册《分数乘法》教学设计

北师大版小学五年级数学下册《分数乘法》教学设计

一、教材与学情深度分析

（一）教材内容解构与核心地位剖析

本课内容选自北师大版小学数学五年级下册第三单元“分数乘法”，在数与代数领域具有承上启下的关键地位。

纵向知识脉络：学生在此前已经系统掌握了整数乘法的意义与计算、分数的意义与基本性质（包括真分数、假分数、带分数）、分数与小数的初步互化，以及简单的同分母分数加减法。本单元“分数乘法”的引入，首次将乘法的运算意义从“整数倍”和“同数连加”拓展至“求一个数的几分之几是多少”这一更为抽象的核心模型。它不仅是分数四则运算体系的基石，更是后续学习分数除法、比、百分数、比例以及解决复杂分数、百分数实际问题不可或缺的认知工具。本单元的学习质量，直接关系到学生代数思维的发展和解决现实世界数学问题能力的形成。

横向单元结构：北师大版教材对本单元的编排体现了“循序渐进、螺旋上升”的原则。通常以“分数乘整数”为起点，理解“几个相同分数相加”的直观模型；进而深入到“一个数乘分数”，核心是构建“求一个数的几分之几是多少”的数学模型；最后解决“分数连乘”和简单的“倒数”认识问题。教材注重通过丰富的几何直观（如长方形图、线段图、面积模型）和现实情境，引导学生从具体到抽象，自主发现并理解分数乘法的算理与算法。

核心数学思想：本课蕴含了数形结合思想（用图形表征运算）、模型思想（建立分数乘法数学模型）、转化思想（将新知识转化为旧知识）和归纳思想（从特例中总结一般法则）。这些思想的渗透，是培养学生数学核心素养的关键。

（二）学情精准诊断与认知难点预判

认知基础：五年级学生已具备较强的整数运算能力和初步的抽象逻辑思维。对分数的意义有基本理解，能进行简单的分数加减运算。他们习惯于整数乘法“越乘越大”的朴素认知，这对理解分数乘法中“乘一个真分数，积比乘数小”的现象构成潜在冲突，这种认知冲突恰恰是教学的重要契机。

潜在学习障碍与难点：

1.意义理解的抽象性：从“求几个几是多少”的整数乘法意义，跨越到“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义，是一次质的飞跃。学生容易机械记忆算法，但对运算的“为什么”理解不深。

2.算理与算法的割裂：部分学生可能满足于记住“分子乘分子，分母乘分母”的算法口诀，而无法将其与分数单位、分数意义以及面积模型联系起来，导致算理不清，在解决复杂或变式问题时容易出错。

3.几何直观的运用困难：虽然教材提供了直观图，但学生独立运用画图（如长方形面积图）来表征和解释分数乘法运算过程的能力有待培养。

4.计算中的约分处理：在计算过程中进行“交叉约分”或“先约分再计算”是提高计算效率与准确性的高级技能，学生需要教师引导才能发现并掌握这一优化策略。

学习心理与动机：五年级学生好奇心强，乐于探究，对生活中的数学问题有兴趣。他们开始追求思维的逻辑性和结论的确定性。教学设计应充分利用其心理特点，创设富有挑战性和现实意义的问题情境，引导他们在“探究-发现-验证-应用”的过程中获得深度的学习体验和成就感。

二、基于核心素养的教学目标设计

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段“数与运算”主题的要求，结合本课内容与学生实际，制定如下三维整合的教学目标：

1.知识与技能

1.理解分数乘法的意义，特别是“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算的算理。

2.掌握分数乘整数、分数乘分数的计算方法，能够正确、熟练地进行计算，并能在计算过程中灵活运用约分。

3.能解决简单的有关分数乘法的实际问题。

2.过程与方法

1.经历分数乘法计算方法的探索过程，通过观察、操作、比较、归纳、概括等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。

2.学会运用数形结合（如画长方形图、线段图）的方法分析和理解分数乘法问题，发展几何直观和空间观念。

3.在解决实际问题的过程中，体会分数乘法与现实生活的紧密联系，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观

1.在探索分数乘法计算方法的活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

2.感受数学知识之间的内在联系（如与整数乘法、分数意义的联系）和数学的严谨性，培养实事求是的科学态度。

3.体会数学在解决实际问题中的价值，增强应用意识。

核心素养聚焦：本课教学着重发展学生的运算能力、推理意识、几何直观和模型意识。运算能力不仅指算得对、算得快，更强调理解算理、选择合理算法；推理意识体现在对计算法则的归纳与解释中；几何直观是理解抽象算理的桥梁；模型意识则贯穿于从实际问题抽象出分数乘法算式的全过程。

三、教学重难点及突破策略

1.教学重点：分数乘法的意义和计算法则。

2.教学难点：理解分数乘分数的算理。

3.突破策略：

1.4.情境激活，意义先行：创设“分蛋糕”、“粉刷墙壁”、“土地规划”等一连串有梯度、有意义的情境，让学生在解决实际问题的迫切需求中，体会学习分数乘法的必要性，并初步构建其意义。

2.5.数形结合，化抽象为直观：充分利用图形（单位正方形、长方形、线段）的涂色、分割、叠加过程，将抽象的“分子相乘、分母相乘”算法，可视化地展现为面积或长度的变化过程，使算理“看得见”。

3.6.操作探究，自主建构：设计“折一折”、“画一画”、“算一算”、“说一说”等系列探究活动，让学生在手脑并用中，亲身经历法则的发现过程，实现从“被动接受”到“主动建构”的转变。

4.7.对比沟通，形成网络：将分数乘整数、分数乘分数、整数乘法的意义与计算进行系统对比，引导学生发现其内在一致性（都是求“几个计数单位”的累积），完善认知结构。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含动态演示分数乘法几何模型的动画）、交互式电子白板、用于板书的结构化思维导图框架。

2.学生准备：每人一张A4纸（用作操作探究）、直尺、彩笔。

3.环境准备：教室桌椅按4-6人合作学习小组摆放，便于讨论与展示。

五、教学过程实施与评析

第一课时：分数乘整数——意义的初步建构与算法探究

（一）创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

1.故事引入：“同学们，欢迎来到‘奇妙的分数世界’。今天是智慧老人的生日，他做了一个大大的长方形蛋糕（课件出示长方形蛋糕图）。他决定把蛋糕的3/7

分享给第一组小朋友。如果第一组有4位同学，每人分得的蛋糕应该同样多，那么每位同学能分到整个蛋糕的几分之几呢？”

2.问题转化：引导学生分析，“把3/7

的蛋糕平均分给4个人”就是“求3/7

的1/4

是多少”。但此时不急于列式，而是先回到更基础的问题。

3.衔接旧知，制造冲突：“我们换个简单问题：如果每人分到1/7

个蛋糕，3个人一共分到多少？怎么列式？”（1/7+1/7+1/7

，1/7×3

或3×1/7

）复习整数乘法的意义（求几个相同加数的和）。

4.提出核心问题：“那么，3/7×4

又表示什么意义呢？它的结果怎么计算？这就是我们今天要探险的第一个关卡。”

【设计意图】从贴近生活且蕴含数学结构的情境出发，既复习了整数乘法与分数加法的联系，又自然引出了分数乘整数的新知。问题的提出带有故事性和挑战性，能有效激发学生的探究欲望。

（二）探究新知，理解算理（预计时间：20分钟）

活动一：探究分数乘整数的意义与计算方法

1.独立思考与尝试计算：出示问题串：

1.2.问题1：1/7×3

等于多少？你是怎样想的？（预设：根据意义，1/7×3=1/7+1/7+1/7=3/7

）

2.3.问题2：3/7×4

等于多少？你能尝试用学过的知识解决吗？鼓励学生用画图、加法、语言描述等多种方式探索。

4.小组合作交流：学生在小组内分享自己的方法。教师巡视，收集典型方法（加法计算、画线段图、画长方形图等）和典型困惑。

5.全班汇报，聚焦算理：

1.6.方法A（加法）：3/7×4=3/7+3/7+3/7+3/7=(3+3+3+3)/7=12/7

2.7.方法B（分数单位）：3/7

是3个1/7

，乘4就是(3个1/7

)×4=(3×4)个1/7

=12个1/7

=12/7

。

3.8.方法C（直观图）：请学生在白板上或用课件展示：画一条线段表示单位“1”，平均分成7份，取其中的3份表示3/7

。3/7×4

就是画4段这样的长度，总共是12小份，即12/7

。

9.引导观察，归纳算法：引导学生观察3/7×4=(3×4)/7=12/7

的计算过程。提问：“比较分数乘整数和同分母分数加法，计算时有什么相同和不同？”（相同：分母不变，都表示分数单位没变；不同：乘法是分子与整数相乘，加法是分子相加）。

师生共同归纳初步算法：分数乘整数，用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。

10.处理计算结果的格式：讨论12/7

还可以写成什么形式？（假分数与带分数的互化，12/7=15/7

）。强调在计算过程中，通常先保留假分数形式，便于后续计算，最终结果可根据题目要求或习惯写成带分数。

【设计意图】本环节是学生构建分数乘整数算法的关键。通过开放性的探究任务，让学生调用已有知识（分数加法、分数意义）进行“再创造”。汇报环节重在沟通不同方法背后的共同本质——都是计数单位（1/7

）个数的累加。算法的归纳是学生观察、比较后的自然生成，而非机械灌输。

（三）巩固练习，深化理解（预计时间：10分钟）

1.基础应用：计算2/9×3

，5/12×6

，8×3/4

。要求写出过程，并说说是怎样想的。特别关注8×3/4

，可将整数8看作分母为1的分数，即8/1×3/4

，沟通整数与分数乘法算法的一致性。

2.变式与辨析：

1.3.4/5×2

和2×4/5

意义相同吗？结果呢？（讨论乘法交换律在分数中的适用，意义不同但结果相同，初步感受运算律的延伸）。

2.4.判断：3/10×5=3/(10×5)=3/50

（错误，突出分母不变的道理）。

5.简单实际问题：“一瓶饮料3/4

升，3瓶这样的饮料共有多少升？”“一只袋鼠每次能跳17/5

米，连续跳3次能跳多少米？”

【设计意图】练习设计层次分明。基础题巩固算法；辨析题澄清常见错误，深化对算理的理解；实际问题引导学生将算法应用于情境，体会数学有用。强调“说思路”，将内隐的思维外化，促进知识的内化。

（四）课堂小结，拓展引新（预计时间：2分钟）

引导学生回顾：“今天我们学习了什么？（分数乘整数）我们是怎样学习的？（从意义出发，借助图形和旧知识，找到了计算方法）它的计算法则是怎样的？”

抛出悬念：“我们解决了‘几个几分之几相加’的问题。那课一开始提出的‘求3/7

的1/4

是多少’这类‘一个数的几分之几’的问题，又该怎么解决呢？下节课我们将继续探险。”

第二课时：分数乘分数——算理的深度理解与算法概括

（一）复习导入，直击核心（预计时间：5分钟）

1.快速口算：2/3×3

，5/8×4

，7×2/5

。回顾算法。

2.呈现核心问题：再次出示第一课时的遗留问题：“智慧老人蛋糕的3/7

，它的1/4

是多少？”列出算式：3/7×1/4

。提问：“这个算式与我们上节课学的有什么不同？（分数乘分数）它表示什么意义？（求3/7

的1/4

是多少）这个结果会比3/7

大还是小？为什么？”

【设计意图】快速激活旧知，并直接引出本课核心挑战——分数乘分数。通过比较乘数的大小，引发学生对“一个数乘真分数，积小于它本身”的思考，为探究做好心理铺垫。

（二）操作探究，破解难点（预计时间：25分钟）

活动二：借助几何直观，探究分数乘分数的算理

1.初次猜想：让学生先猜一猜3/7×1/4

大概是多少？鼓励大胆猜测。

2.提供“脚手架”——单位正方形纸：发给每位学生一张代表整个蛋糕（单位“1”）的正方形纸。

1.3.第一步（表示3/7

）：提问：“怎样在这张纸上表示出3/7

？”（引导学生将正方形纸纵向平均分成7份，涂出其中的3份）。教师统一指导，规范操作。

2.4.第二步（表示3/7

的1/4

）：提问：“现在我们要取已经涂色部分（3/7

）的1/4

。又该怎么办？”（引导学生将涂色部分看作一个整体，将其横向平均分成4份，涂出其中的1份，可以用另一种颜色或斜线阴影表示）。

5.观察与发现：

1.6.学生操作后，引导他们观察：现在这张纸被平均分成了多少份？你是怎么知道的？（纵向7份，横向4份，一共是7×4=28份）

2.7.双重涂色（即最终表示3/7×1/4

结果）的部分占了多少份？（纵向3份与横向1份的重叠部分，是3×1=3份）

3.8.因此，3/7×1/4

就等于多少？（3/28

）

9.建立算式与图形的联系：板书对应关系：

3/7×1/4=(3×1)/(7×4)=3/28

引导学生将算式的每一部分与图形对应：分母“7×4”对应总份数（长方形被平均分成的总格子数），分子“3×1”对应双重阴影的格子数。

10.举一反三，验证推广：

1.11.提出新问题：“如果取3/7

的2/4

（即1/2

）是多少？”让学生在不重新折纸的情况下，通过想象和推理得出：3/7×2/4=(3×2)/(7×4)=6/28=3/14

。

2.12.更进一步：“如果取4/5

的2/3

是多少？”鼓励学生独立画图（画一个长方形表示单位“1”，先平均分5份取4份，再将这4份平均分3份取2份）来验证猜想：4/5×2/3=(4×2)/(5×3)=8/15

。

13.归纳算法，提炼本质：

引导学生观察以上几个例子，小组讨论：分数乘分数，应该怎样计算？

师生共同总结：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

深入追问：“为什么是分子乘分子，分母乘分母？”（回归几何模型：分子相乘求的是“重叠部分”的分数单位个数；分母相乘求的是“新的分数单位”，即把单位“1”平均分成的总份数。）

【设计意图】这是本课乃至本单元的“攻坚”环节。通过折纸、画图这一不可替代的动手操作和观察过程，将极其抽象的“分数乘分数”的算理，转化为可见的“面积模型”。学生亲历了“总份数”和“重叠份数”的形成过程，真正理解了算法中“分母相乘”、“分子相乘”的几何意义。从特殊到一般的归纳过程，培养了学生的推理能力和概括能力。

（三）算法优化与综合应用（预计时间：15分钟）

1.教学“先约分，再计算”：

1.2.出示：计算8/9×3/4

。学生按法则计算：(8×3)/(9×4)=24/36=2/3

。

2.3.引导观察：“在计算24/36

后我们进行了约分。能不能在计算过程中就让数字变小，算得更简便呢？”课件动态演示或将算式写成：

8/9×3/4=(8×3)/(9×4)=(2×1)/(3×1)=2/3

解释：在用分子8和分母4相乘时，可以先用它们的公因数4约分（即8÷4=2

,4÷4=1

）；同样，分子3和分母9可以用公因数3约分。这个过程叫做“交叉约分”或“先约分，再计算”。

3.4.强调：约分是让计算变简便的利器，要约到最简后再相乘。

5.综合练习：

1.6.计算（要求能约分的先约分）：5/6×9/10

，7/8×4/21

，14/15×5/7

。

2.7.解决问题：

①一块长方形黑板，长4/5

米，宽1/2

米。它的面积是多少平方米？（复习长方形面积公式，并应用分数乘法）

②一壶油重3/2

千克。用去了它的2/3

，用去了多少千克？还剩几分之几？（区分“具体数量”与“分率”）

8.对比沟通：将分数乘整数、分数乘分数的法则并列展示。提问：“分数乘整数可以看成是分母为几的分数相乘？”（分母为1的分数）从而将两者统一起到“分数乘分数”的法则之下，形成完整的知识结构。

【设计意图】“先约分再计算”是运算熟练化、智能化的体现，是提高运算能力和培养良好数感的重要步骤。综合练习将计算置于实际问题背景中，并引入易混淆的“量”与“率”问题，提升思维层次。最后的对比沟通，帮助学生构建系统化、结构化的知识网络。

第三课时：练习拓展、问题解决与单元梳理

（一）分层练习，巩固技能（预计时间：15分钟）

设计三个层次的练习卷或闯关活动：

1.基础关（巩固算法）：以直接计算为主，包含分数乘整数、分数乘分数，强调格式和约分。如：3/4×8

，5/12×9/10

，6×5/18

。

2.进阶关（理解应用）：

1.3.看图写算式并计算（提供长方形、线段等图示）。

2.4.在○里填上“>”、“<”或“=”：5/6×2/3○5/6

，4/7×8○8

，9/10×10/9○1

（渗透积与乘数大小关系的规律）。

3.5.解决一步计算的实际问题：涉及面积、工作效率、折扣等丰富情境。

6.挑战关（拓展思维）：

1.7.简算探索：(5/8+7/12)×24

（初步感受乘法分配律在分数中的应用，为后续学习埋下伏笔），17/13×7/9-4/13×7/9

。

2.8.开放性问题：根据算式2/3×4/5

编一个数学故事或实际问题。

3.9.探究规律：一个不为0的数，乘一个大于1、等于1、小于1的数，积分别有什么规律？你能举例说明并解释原因吗？

【设计意图】分层练习满足不同学生的学习需求，让每个学生都能在原有基础上获得发展。挑战关的设计，旨在激发学有余力学生的探究兴趣，渗透运算律和函数思想，培养思维的深刻性和灵活性。

（二）问题解决与数学建模（预计时间：15分钟）

呈现综合性稍强的实际问题，引导学生经历完整的“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”的解题过程。

例题：学校要粉刷一面墙壁。墙壁长8/3

米，宽3/4

米，门窗面积一共是3/5

平方米。如果每平方米需要涂料1/2

千克，粉刷这面墙至少需要多少千克涂料？

1.小组合作分析：这个问题需要几步解决？每一步求什么？用什么运算？

2.列式解答：学生独立或小组协作完成。

1.3.墙壁面积：8/3×3/4=2

（平方米）（注意约分）

2.4.需要粉刷的面积：2-3/5=10/5-3/5=7/5

（平方米）

3.5.需要涂料：7/5×1/2=7/10

（千克）

6.回顾反思：我们解决这个问题的步骤是什么？计算中有哪些技巧？结果7/10

千克合理吗？

【设计意图】通过多步实际问题，培养学生综合运用分数乘法和加减法解决复杂情境问题的能力。强调解决问题的策略和步骤，以及计算后的合理性检验，将运算能力的培养落脚于实际应用。

（三）单元梳理与反思（预计时间：10分钟）

1.构建知识网络图：师生共同梳理本单元核心内容。以“分数乘法”为中心，向外辐射：

1.2.意义：①求几个相同分数和的简便运算。②求一个数的几分之几是多少。

2.3.计算方法：分数乘整数→分数乘分数→统一法则（能约分的先约分）。

3.4.应用：解决实际问题。

4.5.联系：与整数乘法、分数意义、几何图形（面积模型）的联系。

6.分享学习收获与困惑：邀请学生用“我学会了……”、“我印象最深的是……”、“我还有一个问题是……”的句式进行分享。

7.教师总结升华：强调分数乘法不仅是新的计算方法，更是认识世界、解决问题的有力工具。其背后的数形结合思想、转化思想将在今后的数学学习中持续发挥威力。

六、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在操作、探究、讨论、汇报环节的参与度、思维活跃度以及合作交流情况。使用评价量规（如：能否清晰表达算理、能否有效运用直观图、能否提出有见地的问题或想法）。

2.3.练习反馈：通过课堂练习的完成速度、正确率以及书写规范性，即时诊断学生对知识的掌握程度。

3.4.学习单分析：设计包含探究过程记录、算法归纳、错例分析等内容的学习单，从中分析学生的思维过程。

5.阶段性评价：

1.6.设计单元小测验，涵盖计算、意义理解、问题解决等各个方面，重点考察算理掌握和知识应用能力。

2.7.布置实践性作业，如“寻找生活中的分数乘法问题”，并撰写简单的数学日记或制作小报。

8.评价主体多元化：结合学生自评（“我能清楚地解释分数乘分数的道理吗？”）、同伴互评（在小组活动中评价他人的贡献与思路）、教师评价，全面反映学生的学习状况。

七、板书设计（持续构建）

主板书（思维导图式）

分数乘法

|

|-------------|-------------|

意义计算方法

|