2025-2026学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（）A.-2 B.0 C.1 D.32.下列各组数为勾股数的是（）A.0.3，0.4，0.5 B. C.7，24，25 D.3.高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差s2=36.后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（）A.平均分不变，方差变大 B.平均分不变，方差变小

C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变4.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图，若y＜0，则x的取值范围是（）A.-1＜x＜4

B.-1＜x＜3

C.x＜-1或x＞3

D.x＜-1或x＞4

5.将直线y=2x+1向上平移3个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B.2 C.8 D.46.已知的整数部分为a,小数部分为b,则a2+b2的值为（）A.30 B. C. D.7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，则A′C的长度是（）A. B. C. D.8.一元二次方程（m-2）x2-4mx+2m-6=0有两个相等的实数根，则m等于（）A.1或-6 B.-6 C.1 D.29.某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件.若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（）A.涨价后每件工艺品的售价是（20+x）元

B.涨价后每件售出工艺品的利润是（10-x）元

C.涨价后每天销售工艺品的数量是（300-10x）件

D.可列方程为（30+x）（300-10x）=375010.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（-1，n），其中n＞0.

①当0＜c＜1时，则；

②若方程ax2+bx+c-n-k=0有两根，则k＜0；

③点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同的两个点，当|x1+1|＞|x2+1|＞3时，y1＜y2；

④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点.

以上结论正确的有（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.Rt△ABC中，三边分别为a,b,c,斜边c=2，则a2+b2+c2的值为

.12.等腰三角形的底和腰是方程x2-5x+6=0的两个根，则这个三角形的周长是______．13.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCO；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是

.14.将按右侧方式排列.若规定（m,n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是

.15.新定义：若抛物线y=f（x）与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为45°，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线y=f（x）的“半垂三角形”.

已知抛物线y=g（x）是“半垂抛物线”，且△ABC为该抛物线的“半垂三角形”，点A（0，3），点B（1，0），点C为“半垂点”.将抛物线y=g（x）先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线

.三、计算题：本大题共1小题，共10分。16.已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数．求整数n的值．四、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题7分)

已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若（x1-1）（x2-1）=11，求k的值.18.(本小题7分)

如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上.

（1）直接写出AB=______，BC=______，AC=______；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由.19.(本小题7分)

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF.

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积.20.(本小题9分)

某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的初中学生人数为______，图①中m的值为______；这组每天在校体育活动时间数据的众数是______和中位数是______；

（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数.

（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.21.(本小题9分)

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．①求点P的坐标；②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．22.(本小题9分)

根据以下素材，探索完成任务.探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题素材1龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱.素材2某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒.经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如图所示.

问题解决任务一求y与x之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）.任务二市场规定：该茶叶获利不得高于12.5%，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？23.(本小题13分)

综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动.

【操作判断】

（1）如图①，将边长为10cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方形ABCD折叠，使点D落在边BC上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q.打开铺平，连接PQ，PD，PH.若点P的位置恰好使得PH⊥AC.

（1）∠PDH=______°；

【探究提炼】

（2）如图②，若（1）中的P是BC上任意一点，求∠DPQ的度数；

【理解应用】

（3）如图③，某广场上有一块边长为80m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD=60°.现打算在草坪中修建步道AC和MN-ND-DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN=ND.请问：步道MN-ND-DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由.24.(本小题14分)

【基础知识】

将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形.

（1）如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥ED交于点D，过点B作BE⊥ED交于点E.直接写出AD与EC的数量关系______.

【基本技能】

（2）已知：直线y=kx+4（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.

①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角△ABE，∠ABE=90°，求直线BE的表达式；

②如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角△ABN，∠ABN=90°，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由.

【应用拓展】

（3）如图4，直线y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点C在x轴上，且∠ABC=45°，请直接写出点C的坐标.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】8

12.【答案】7或8

13.【答案】①④

14.【答案】

15.【答案】x=-2

16.【答案】解：原方程解得：

因为方程的根是整数，所以4n2+32n+9是完全平方数．

设4n2+32n+9=m2（m≠0且为整数）

（2n+8）2-55=m2

（2n+8+m）（2n+8-m）=55，

因55=1×55=（-1）×（-55）=（-5）×（-11）=5×11，

∴，

解得：n=10、0、-8、-18．

17.【答案】

k=2

18.【答案】5;10;5

△ABC是直角三角形，

由（1）知，AB2=52=25，BC2=102=100，AC2=（5）2=125，

则AB2+BC2=AC2，

∴△ABC是直角三角形

19.【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，且BC=2DE,

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF∥BC,

∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

又∵BE=FE，

∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF=∠BEF=120°，BE=BC，

∴∠EBC=180°-120°=60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴BE=BC=CE=4，

过点E作EG⊥BC于点G，

∴BG=2，

∴EG==2，

∴S菱形BCFE=BCEG=4×2=8．

20.【答案】40;25;1.5;1.5

1.5

该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为2430人

21.【答案】解：（1）∵直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=-x2+x+1，

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

由（1）知，抛物线解析式为y=-x2+x+1，

∵点P是第一象限抛物线上的一点，

∴设P（a,-a2+a+1），（a＞0），

∴S△POA=OA×Py=×2×（-a2+a+1）=-a2+a+1，

S△POB=OB×Px=×1×a=a,

∵△POA的面积