2025-2026学年吉林省长春市榆树市部分学校九年级（下）段测数学试卷（四）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市榆树市部分学校九年级（下）段测数学试卷（四）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列立体图形中，主视图是圆的是（）A. B. C. D.2.若（+1）□（-2）的计算结果为正数，则“□”中的运算符号是（）A.+ B.- C.× D.÷3.下列运算正确的是（）A.3x+3y=6xy B.（xy2）3=xy6 C.3（x+8）=3x+8 D.x2•x3=x54.不等式3（x+1）＜6的解集表示在数轴上正确的是（）A. B.

C. D.5.在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（）A.（1，3） B.（7，7） C.（1，7） D.（7，3）6.将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（）

A.100° B.105° C.115° D.120°7.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A. B.

C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（）A.

B.

C.2

D.3

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.比较大小：-______-1（填“＞”、“=”或“＜”）10.分解因式：7m2-28=

.11.二次函数y=2x2+3x-2的图象与x轴有______个交点．12.圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为10cm,最大的张角为150°，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降

厘米.（脚的宽度忽略不计）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）13.如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为

°.

14.如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是

.三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题7分)

先化简，再求值÷（x-），其中x=．16.(本小题7分)

经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，当两辆汽车经过这个十字路口时，用画树状图（或列表）的方法求至少有一辆车向左转的概率.17.(本小题7分)

寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；

（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；

（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？18.(本小题7分)

在下面的正方形网格中按要求作图.

（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；

（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；

（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称.

19.(本小题7分)

如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．

（1）求证：四边形AEBO是菱形；

（2）若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．20.(本小题7分)

在第四个国际数学日（2023年3月14日）到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化.为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.乙校学生成绩数据的频数分布直方图如图所示（数据分为四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）

b.乙校学生成绩数据在80≤x＜90这一组的是：80，81，81，82，85，86，88，88；

c.甲、乙两校学生成绩的平均数、中位数、众数如下：学校平均数中位数众数甲79.27978乙79.7m76根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为p,q,则p______q（填“＞”，“＜”或“=”），理由是______；

（3）若乙校共有160名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有______人.21.(本小题7分)

甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米.甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米.两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示.

（1）a=______；

（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同.若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度.22.(本小题7分)

【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；

23.(本小题7分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t秒.

（1）线段AB的长为______.

​（2）当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围.

（3）当边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分时，求线段AP的长度.

​（4）当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值.​24.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，函数y=-x2+mx-m+2（x≤m）的图象记为G.

（1）当m=4时.

①求此函数的最大值.

②若点A（a,y1）、B（a+，y2）都在图象G上，且y1＞y2，则a的取值范围为______.

（2）已知M（5，0）、N（5，5）、P（-5，5）、Q（-5，0），若过图象G的最高点且垂直于y轴的直线将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，求m的值.

（3）若C（+1，0），过点C作CD⊥x轴，将图象G在直线CD上及直线CD左侧部分的图象记为M1，将M1沿直线CD翻折后得到的图象记为M2，M1和M2组成图象记为M.若图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】＜

10.【答案】7（m+2）（m-2）

11.【答案】2

12.【答案】7.4

13.【答案】43

14.【答案】①②④

15.【答案】解：原式=÷

=

=，

当x=，原式=．

16.【答案】．

17.【答案】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，

根据题意得：，

∴，

∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；

（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40-z）副，

根据题意得：16z+10（40-z）≤550，

∴z≤25，

∴最多可以购买25副围棋．

18.【答案】解：（1）如图，△CPQ为所作；

（2）如图，△MNC为所作；

（3）如图，△FGH为所作．

19.【答案】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四边形AEBO是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴OA=OB，

∴四边形AEBO是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴OA=OB=OC=DO，

∵OB=AB=2，

∴BD=4，

由勾股定理得：AD===2，

∵BO=DO，

∴S△AOB=S△AOD=S△BAD=AD×AB=×22=，

∵四边形AEBO是菱形，AB=AO，

∴AE=AO=BO=BE=AB=2，

∴△AEB≌△BOA（SSS），

∴△AEB的面积=△AOB的面积=，

∴四边形AEBO的面积是+=2．

20.【答案】＜

乙校的中位数在平均数以上，而甲校的中位数在平均数以下

880

21.【答案】10；

y=5+0.5x（0≤x≤10）；

乙弹簧的长度为9厘米．

22.【答案】解：（1）如图2，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，

∴设AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m,∠A=90°，

∴AB=AD=2m,，

∴，，

∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．

（2）如图3.1，

∵EG⊥FH，

∴a2=OF2+OE2，c2=OG2+OH2，

d2=OE2+OH2，b2=OF2+OG2，

∴a2+c2=b2+d2，

如图3.2，如图4，

结合图形变换可得：PA2+PC2=PB2+PD2；

（3）如图5，

∵将△PDC绕点P逆时针旋转，

∴D在以P为圆心，PD为半径的圆上运动，

∵A为圆外一个定点，

∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，

∴PD⊥AD，

∴AD2=AP2-PD2，

由（2）可得：AE=DF，

∵PE=8，PF=5，

∴AD2=AP2-PD2

=PE2+AE2-PF2-DF2

=82-52

=39，

∴．

23.【答案】解：（1）10；

（2）如图1-1，当点D落在AB上时，则CP⊥AB，

∵∠A=∠A，∠CPA=∠ACB=90°，

∴△APC∽△ACB，

∴，

∴，

∴AP=，

∴t==．

如图1-2中，当点D落在BC上时，则∠ACP=∠PCB=45°，

过点P作PT⊥AC于点T．则CT=PT，

设CT=PT=x,

∵PT∥CB，

∴，

∴，

∴x=，

∴AP===，

∴t==，

观察图象可知，满足条件的t的值为：＜t＜；

（3）如图2中，延长DP交AC于点K，过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥AC于点N，过点K作KS⊥AB于点S，设CD交AB于点J．

由翻折的性质可知，PA=PD，CA=CD，∠PCA=∠PCD，

∵PM⊥CD，PN⊥CA，

∴PM=PN，

∵∠A=∠P，PA=PD，∠APK=∠DPJ，

∴△APK≌△DPJ（ASA），

∵AK=DJ，

∵边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分，

∴DJ：CJ=1：4，

∴AK：CK=1：4，

∴CK：CD=4：5，

∵==，

设PK=4k,PD=PA=5k,

∵AK=AC=．

∴AS=AK•cosA=，KS=AK•sinA=，

在Rt△PSK中，PK2=PS2+SK2，

∴（4k）2=（5k-）2+（）2，

解得，k=，

∴AP=5k=2；

（4）如图3-1中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R．

则CJ⊥AB，CR=CJ==，

∴AR=AC-CR=6-=，

∴AP==2，

此时t=．

如图3-2中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，此时AP=AC=6，t=，

如图3-3中，当PD⊥AB时，过点操作CH⊥AB于点H．

∵∠CPH=∠CPD=45°，

∴PH=CH=，

∵AH=AC•cosA=，

∴AP