2025-2026学年四川省成都市香山中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省成都市香山中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，则-0.5的倒数是（）A. B.-2 C.2 D.2.下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A. B. C. D.3.眼下，全面推进乡村振兴、加快建设农业强国，是党中央着眼全面建成社会主义现代化强国作出的战略部署，而巩固脱贫成果是乡村振兴的前提，2023年中央财政衔接推进乡村振兴补助资金1485亿元已经提前下达.数据“1485亿”用科学记数法表示为（）A.148.5×1010 B.1.485×103 C.1.485×1011 D.14.85×1094.下列运算正确的是（）A.a6÷a3=a2 B.（a2）3=a5

C.（-2a2b）3=-8a6b3 D.（2a+1）2=4a2+2a+15.如图，直线l1∥l2，分别与直线1交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放.若∠1=35°，则∠2的度数是（）A.145°

B.135°

C.125°

D.115°6.在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（）A. B. C. D.7.为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：废旧电池数/节45678人数/人9111154请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（）A.样本为40名学生 B.众数是11节 C.中位数是6节 D.平均数是5.6节8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＜0；②当x＞-1时，y随x增大而减小；③a+b+c＞0；④若方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0.其中正确结论的个数是（）A.2个

B.3个

C.4个

D.5个二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.分解因式：4a2-1=______．10.若代数式3amb2n与-2a2bn+1是同类项，则m-n=

.11.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，要得到△ABC≌△DEF，添加的一个条件可以是______．（写出一个即可）

12.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB=______．13.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是

.14.a2+ab=3，ab-b2=6，则a2+3ab-2b2=

.15.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0的两个实数根互为倒数，则k=

.16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形BMPE内的概率为______．

17.如图，已知一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的图象与x轴相交于点A（3，0），若正比例函数y=mx（m为常数，且m≠0）的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式组的解集为

.

18.如图，Rt△ABC中，∠C=60°，斜边BC=4，以边AB为直径在△ABC另一侧作半圆，点P为半圆上一点，将半圆沿AP所在直线翻折，翻折后的AP与BC边相切于点D，与AB边相交于点E，则BE的长为

.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

（1）计算：.

（2）化简：.20.(本小题8分)

为了帮助学生提升艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动，学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A书法；B绘画；C摄影；D泥图；E剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了下面两幅不完整的统计图.根据统计图信息完成下列问题：

（1）张老师调查的学生人数是______，其中选择“D泥塑”选修课的人数是______，“E剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为______；

（2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修“A书法”的概率.21.(本小题8分)

如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD=3m,数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离.测角仪支架高AE=BF=1.2m,小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB=5m,依据他们测量的数据求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？（结果保留1位小数）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）22.(本小题10分)

如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD交BC于点E，且AB=BE，连接OD.

（1）求证：∠ABC=∠COD；

（2）若⊙O的半径为2，E是OC的中点，求AC和AD的长.23.(本小题10分)

综合与探究

如图1，已知正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数的图象交于点A，B，且点A的横坐标为-2，点B的纵坐标为-3.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）如图2，将直线AB向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点C，D，若P是x轴上的一个动点，分别连接PA，PC，求PA+PC取得最小值时点P的坐标.

（3）如图3，以点A和点B为顶点作矩形AEBG，使得AG∥x轴，AE∥y轴，边AE交x轴于点F，M是AF的中点，直线GM交x轴于点N，交y轴于点H，在第二象限内是否存在点Q，使得△HNQ为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(本小题8分)

某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为x（10≤x≤90）件，线下销售的每件利润为y1（元），线上销售的每件利润为y2（元）．如图中折线ABC、线段DE分别表示y1，y2与x之间的函数关系．

（1）分别求出当10≤x＜70和70≤x≤90时，y1与x之间的函数表达式；

（2）当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？25.(本小题10分)

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B.当x＞0时，抛物线最低点的纵坐标为-4；当x≤0时，抛物线最低点的纵坐标为-3.

（1）求a,b的关系式（用含b的代数式表示a）；

（2）若OA=OB，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C，D两点，E为线段CD的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F.探究是否存在定点M，使得CD=4EF总成立.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.26.(本小题12分)

在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G．

（1）如图1，当点E恰好落在边CD上时，求EC的长；

（2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设AE与CD相交于点H，求DH的长；

（3）如图3，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，BE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】（2a+1）（2a-1）

10.【答案】1

11.【答案】BC=EF（答案不唯一）

12.【答案】105°

13.【答案】m＜6且m≠2

14.【答案】15

15.【答案】-1

16.【答案】

17.【答案】-3＜x＜0

18.【答案】3

19.【答案】解：（1）

=-2×+2-（-1）

=-+2-+1

=；

（2）

=•

=•

=．

20.【答案】50人，12人，57.6°；

．

21.【答案】点D到地面的距离DH的长约为13.2m．

22.【答案】（1）证明：如图，连接CD，

∵AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵，

∴∠BAE=∠OCD，

在△ABE中，∠ABC=180°-∠BAE-∠BEA=180°-2∠BAE，

在△OCD中，∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-2∠OCD，

∴∠ABC=∠COD；

（2）解：∵⊙O的半径为2，E是OC的中点，

∴OE=CE=1，BC=4，

∴BE=OB+OE=2+1=3，

∵AB=BE，

∴AB=3，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

由勾股定理得；

由（1）知∠BAE=∠BEA=∠OCD=∠ODC，

∵∠CED=∠BEA，

∴∠CED=∠ODC，

∴△CED∽△CDO，

∴，

即CD2=OC•CE=2×1=2，

∴，

∵∠CED=∠OCD，

∴，

∵∠BAE=∠DCE，∠BEA=∠DEC，

∴△BAE∽△DCE，

∴，

∴，

∴，

∴．

23.【答案】解：（1）由函数的对称性知，点A、B的坐标分别为：（-2，3）、（2，-3），

则m=-2×3=-6，

则反比例函数的表达式为：y=-；

（2）作点C关于x轴的对称点E（0，-4），连接AE交x轴于点P，则PA+PC取得最小值，

理由：PA+PC=PA+PE=AE为最小，

由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y=-x-4，

则点P（-，0）；

（3）存在，理由：

由点A、B的坐标得，点G（2，3），

∵M是AF的中点，点A（-2，3）、F（-2，0），

则点M（-2，），

由点G、M的坐标得，直线GM的表达式为：y=x+，

则点H、N的坐标分别为：（-6，0）、（0，），

当∠QNH为直角时，则QN=HN，如下图：

过点Q作QT⊥x轴于点T，

∵∠QNT+∠HNO=90°，∠HNO+∠NHO=90°，

∴∠QNT=∠NHO，

∵∠QTN=∠NOH=90°，QN=HN，

则△QTN≌△NOH（AAS），

则QT=ON=6，TN=OH=，

则OT=TN+ON=6+=，

则点Q（-，6）；

当∠NHQ=90°时，

同理可得：点Q（-，）；

当∠NQH=90°，则QN=QH，如下图：

设点Q（x,y），

同理可得：△NRQ≌△QTH（AAS），

则点Q（-，）；

综上，点Q（-，6）或（-，）或（-，）．

24.【答案】解：（1）当10≤x＜70时，设y1与x之间的函数表达式是y1=kx+b，

∵点（10，160），（70，130）在线段AB上，

∴，

解得，，

即当10≤x＜70时，y1与x之间的函数表达式是y1=-0.5x+165；

当70≤x≤90时，设y1与x之间的函数表达式y1=ax+c，

∵点（70，130），（90，110）在线段BC上，

∴，

解得，，

即当70≤x≤90时，y1与x之间的函数表达式y1=-x+200；

（2）设总的利润为w元，

当10≤x＜70时，w=x（-0.5x+165）+100×（100-x）=（x-65）2+12112.5，

∴当x=65时，w取得最大值，此时w=12112.5；

当70≤x≤90时，w=x（-x+200）+100（100-x）=-（x-50）2+12500，

∴当x=70时，w取得最大值，此时w=12100；

∵12112.5＞12100，

∴当线下的销售量为多65时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是12112.5元．

25.【答案】解：（1）由题意得，

c=-3，=-4，

∴b2=4a；

（2）∵OA=OB=3，

∴A（3，0），

∴9a+3b-3=0，

∵b2=4a,a＞0，-＞0，

∴b1=-2，b2=（舍去），

∴a=1，

∴y=x2-2x-3；

（3）存在M（1，-），使得CD=4EF总成立，理由如下：

过点M的直线与抛物线交于C、D两点,

设该直线解析式为y=kx+b.

由(2)得,抛物线的对称轴为直线x=1,

设M(1,m),

k+b=m,

即b=m-k,

该直线的解析式为y=kx-k+m.

将y=kx-k+m代入y=x2-2x-3,

整理,得x2-(k+2)x+k-m-3=0.

设C(,),D(,),

=-4(k-m-3)=+4m+16>0,

+=k+2,=k-m-3.

设E的横坐标为XE,

E是CD的中点,

-=-