2026年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2026的相反数是（）A.-2026 B.2026 C. D.2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录.下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.3.株洲市2025年地区生产总值（GDP）达4063亿元，同比增长4%，其中4063亿用科学记数法表示为（）A.0.4063×1012 B.4.063×1011 C.4063×108 D.4.063×10124.下列运算结果正确的是（）A.a3•a2=a5 B.a2+a2=a4 C.（a3）3=a6 D.a-3=-a35.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（）

A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行

C.对顶角相等 D.两点确定一条直线6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.

C. D.7.如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（）A.参加测试的总人数为40人 B.人数最少的得分段的频数为2

C.得分在60～70分的人数最多 D.本次测试的及格（≥60分）率为90%8.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（

）

A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形

C.可能是轴对称图形 D.当AC＝BD时，它为矩形9.如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x,盘子摞在一起的厚度为ycm,则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（）A. B. C. D.10.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE=90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（）

①图中的全等三角形共有3对；

②AD=CE；

③∠CDO=∠BEO；

④OC=DC+CE；

⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍．A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为

．12.已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0.5m,则k=

.13.为培养学生运用AI的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“Kimi”“豆包”和“千问”四个主题.若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是

.14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是

.

15.我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成m×n,其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数A为“和九数”，并把数A分解成A=m×n的过程，称为“和九分解”.例如：因为1188=33×36，33和36的十位数字相同，个位数字之和为9，所以1188是“和九数”，1188分解成1188=33×36的过程就是“和九分解”.按照这个规定，最大的“和九数”是

.把一个“和九数”A进行“和九分解”，即A=m×n,若F（A）=m+n+1，G（A）=|m-n|，令，若H（A）能被3整除，则满足条件的自然数A的最大值为

.三、计算题：本大题共1小题，共3分。16.解分式方程：=.四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题9分)

计算：.18.(本小题9分)

先化简，再求值：，其中x=-4.19.(本小题9分)

某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°.（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）

（1）求直吊臂OB的长；

（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？

20.(本小题9分)

如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A，B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交BD的延长线于点E，连接AC，AD.

（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线.

（2）连接BC，若BC=4，，求⊙O的半径长.21.(本小题9分)

【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演.为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况.

【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：

方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；

方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；

方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析.

（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是______（填“A”“B”或“C”）.

【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；身高段（单位：cm）频数①153∼16310②163∼17350③173∼183m④183∼19310【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：

（2）填空：m=______；

（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段______（填“①”“②”“③”或“④”）；

（4）现需选拔身高达到183cm及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数.22.(本小题9分)

2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元.

（1）求A、B两种型号智能机器人的单价.

（2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1000万元.最多能买A型机器人多少台？23.(本小题9分)

综合与实践

【问题情境】

如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O.连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q.

【活动猜想】

（1）GD与GE的数量关系是______，位置关系是______；

【探索发现】

（2）证明（1）中的结论；

【实践应用】

（3）若AD=3，AE=1，求QF的长；

【综合探究】

（4）若AD=3，则当AP=______时，△DPG的面积最小.

24.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为（2，-8）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式；

（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E.若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】x≥3

12.【答案】100

13.【答案】

14.【答案】30°

15.【答案】89285544

16.【答案】x=-5．

17.【答案】2．

18.【答案】，．

19.【答案】解：（1）由题意得，BM⊥OM，

∵∠BOM=18.17°，BM=3米，

∴在Rt△BOM中，（米），

答：直吊臂OB的长为10米；

（2）如图，设旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，

则∠BEF=90°，

由题意得B′M′=BM=3米，OB′=OB=10

米，

∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°，

∴四边形EFMB为矩形，

∴BM=EF=3米，

在Rt△B′OF中，B′F=OB′×cos∠OB′M′=10×0.81=8.1（米），

∴M′F=B′F-B′M′=8.1-3=5.1≈5（米），

∴货物M上升了5米．

20.【答案】证明见解答；

⊙O的半径长为2．

21.【答案】C；

30；

②；

150

22.【答案】A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元

最多能买A型机器人5台

23.【答案】解：（1）相等，垂直；

（2）证明：过点G作GM⊥BC于M，过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于T、N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°，

∴∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM=90°，

∴四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形，

∴GN=GM=MC=CN=BT，∠CNT=∠BTG=90°，BM=GT，

∴∠DNG=∠GTE=90°，

∴DC-CN=BC-CM，

即DN=BM=GT，

∵FG⊥AC，∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠CFG=45°，

∴CG=GF，

∴CM=MF，

∴GN=GM=MC=CN=BT=MF，

∵AE=BF，

∴AB-AE-BT=BC-BF-MF，

∴ET=NG，

∴Rt△DNG≌Rt△GTE，

∴DG=GE，∠NDG=∠EGT，

又∵∠NDG+∠NGD=90°，

∴∠EGT+∠NGD=90°，

∴∠DGE=90°，

∴DG⊥GE；

（3）在正方形ABCD中，

由AB=AD，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，

∴Rt△DAE≌Rt△ABF，

∴∠ADE=∠BAF，AF=DE，

∴∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°，

∴∠AOE=90°，

∴AF⊥DE，

在Rt△DAE中，AD=3，AE=1，

得，

由等面积法得，

即，

∴AO=，

在Rt△OAE中，，

由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，

∴∠GED=45°，

∴△EOQ为等腰直角三角形，

∴，

∴；

（4）如图，构造△DGP的外接圆⊙H，连接DH，PH，GH，过点H作HR⊥AC于点R，

设⊙H的半径为r,过点D作DT⊥AC于T，

由（2）可知DG=GE，DG⊥GE，

∴∠GDP=45°，

∴∠PHG=2∠GDP=90°，

∵HP=HG，

∴△HPG是等腰直角三角形，，

∴，

∵正方形ABCD中，AD=3，△ACD是等腰直角三角形，，

∴，

∴当PG最小时，△DPG的面积最小，

∴当r最小时，△DPG的面积最小，，

∴当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由点到直线的最短距离可得，

当D、H、R依次共线，且DR⊥AC时，DH+HR最小，此时如图，点T与R重合，

则，

解得：，

∴，

∴．

24.【答案】解：（1）由题意得：y=a（x-2）2-8=ax2-4ax+4a-8=ax2+bx-6，

则4a-8=-6，则a=，

则抛物线的表达式为：y=x2-2x-6；

（2）∵ME∥y轴，AE平分∠CEM，

故∠DEC=∠AEM=∠CDE，即DC=CE，

由抛物线的表达式知，点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，-6），

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-6，设点E（m,m-6），