广西2025-2026学年高二数学上学期12月联合测试含解析新人教版

广西2025-2026学年高二上学期12月联合测试

数学试题（人教版）

一、单选题

1．直线3xy10的倾斜角为（）

πππ2π

A．B．C．D．

4633

2．已知平面内两个定点F1,F2之间的距离是6，动点P到这两个定点的距离之和是8，那么动点P的轨迹是

（）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

a

n

3．数列an满足a12,an1，则a6（）

an1

1221

A．B．C．D．

11111313

4．如图，在正三棱锥ABCD中，侧棱ABACAD2,BCD边长为3，则AD与底面BCD所成角为

（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

2

2y

5．已知双曲线x1b0的左右焦点分别是F1,F2,P是该双曲线上的一点，且F1PF260，若PF1F2

b2

的面积为33，则双曲线的焦距等于（）

A．2B．3C．4D．5

:2222

6．圆C1xy6x2y60与圆C2:xy2x4y50的位置关系是（）

A．外离B．内切C．外切D．相交

x2y2

7．已知双曲线C:1a0,b0的左右焦点分别为F1,F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，

a2b2

垂足为P,PF12PF2，则双曲线的渐近线方程为（）

323

A．yxB．yx

23

C．y2xD．yx

1

8．已知公比为负数的等比数列an前n项和为Sn，且满足a12,a1a26a3，若NSnM恒成立，

Sn

则MN的最小值为（）

11421

A．B．C．D．

12334

二、多选题

9．下列说法正确的是（）

A．数列2024，2025，2026与数列2026，2025，2024不是同一个数列.

B．数列an的通项公式为annn1，则110是该数列的项.

C．已知m是2和8的等差中项，则m5.

D．已知等比数列an满足a1a2a327，则a23.

10．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,M为棱CC1（包括端点）上的动点，在M的运动过程中，

下列说法正确的是（）

A．三棱锥MDD1A的体积始终为定值.

B．平面A1MD截正方体的截面不可能为等腰梯形.

C．恒有A1MD大于60.

D．B1MMD的最小值为5.

11．抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线

C:y22x的焦点为F，线段AB为抛物线C的弦，△SAB为抛物线C的“阿基米德三角形”.设线段AB的

中点为M，下列说法正确的是（）

A．若点N1,1，则ANAF的最小值为3.

B．点S与点M的纵坐标相等.

C．若点S在直线x2上，则直线AB过点2,0.

32

D．若直线AB过焦点F，且其倾斜角为锐角，则tan2AOBtan的最小值为.

9

三、填空题

x2y25

12．已知椭圆C:1ab0的长轴长为6，且离心率为，则椭圆C的标准方程为.

a2b23

5

9

13．已知数列an的通项公式为ann，则ak1ak.

nk1

x2y2x2y2

14．已知A，B是椭圆1(ab0)的左右顶点，P是双曲线1在第一象限上的一点，直线

a2b2a2b2

PA,PB分别交椭圆于另外的点M,N．若直线MN过椭圆右焦点F，且tanAMN2，则椭圆的离心率

为．

四、解答题

15．已知圆O:x2y24，点A1,2.

(1)线段AB的端点B在圆O上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程；

(2)若经过点A的直线l截圆O所得弦长为23，求直线l的方程.

π

16．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且a2bcosC0.

3

(1)求角B；

c

(2)若ABC为锐角三角形，求的取值范围.

a

17．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点M,N分别是边BC,CD的中点，AC与BD交于

点O1,AC与MN交于点G.沿MN将CMN翻折到PMN的位置，连接PA,PB,PD，得到如图2所示的五棱

锥PABMND.

(1)证明：MN平面PAG；

(2)若平面PMN平面MNDB，线段PA上是否存在一点Q，使得直线NM与平面QDN所成角的正弦值为

39？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

13

2

18．已知正项数列an的前n项和为Sn满足8Snan4an3,a11，数列bn满足b1a1且bn12bn1.

(1)证明：数列bn1是等比数列，并求数列bn的通项公式；

b1

n1

(2)若cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn；

bnbn13

(3)若anbn1对任意正整数n恒成立，求的取值范围.

x2y21

19．已知F是椭圆E:1ab0的右焦点，椭圆E的离心率e，斜率不为0的直线l经过点F

a2b22

且与椭圆E交于M,N两点.当直线l与x轴垂直时，弦MN的长为3.

(1)求椭圆E的方程；

k1

(2)设A,B分别为椭圆E的左､右顶点，设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2，求；

k2

(3)x轴上是否存在一个定点D，使得DMDN为定值？若存在，求定点D的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1．C

【详解】化直线3xy10为y3x1，所以直线的斜率k3，令直线的倾斜角为，则tan3，

π

0π，.

3

故选：C.

2．B

FF

【详解】因为F1，F2是两个定点，|12|6，而|PF1||PF2|86，

所以由椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆.

故选：B.

3．B

a1

1n11-1=

【详解】由题意1，1，又a12，

an1ananan+1an

111

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，

ana12

112n1

222

所以(n1)1，所以an，a6.

an222n126111

故选：B.

4．A

【详解】如图，因为在正三棱锥ABCD中，所以点A在平面BCD的投影O为正△BCD的重心，

延长DO交BC于点M，则M为BC的中点，且DMBC，

易知AO平面BCD，因为OD平面BCD，所以AOOD，

所以直线AD与平面BCD的所成角为ADO，

332

由勾股定理可得，DMBD2BM2，故ODDM3，

23

OD3

在RtAOD中，cosADO，则ADO，

AD26

π

即侧棱AD与底面BCD所成角为.

6

故选：A.

5．C

2

2y

【详解】由x1b0可得a1，PF1PF22a,F1F22c，

b2

222

由余弦定理得，F1F2PF1PF22PF2PF1cos60

2

PF1PF2PF1PF2，

22222

即4aPF1PF24c，所以PF1PF24c4a4b，

12

F1PF260,SPFPFsin603b33，

PF1F2212

b23,c2b2a24,c2，

则双曲线的焦距等于4.

故选：C.

6．D

22

【详解】把圆C1的方程化成标准方程，得(x3)(y1)4，

则圆C1的圆心是(3,1)，半径r12.

22

把圆C2的方程化成标准方程，得(x1)(y2)10，

则圆C2的圆心是(1,2)，半径r210.

22

圆C1与圆C2的圆心距为(31)(12)5.

圆C1与圆C2的两半径之和r1r2102，两半径之差r2r1102，

因为1025102，即r2r15r1r2，所以圆C1与圆C2相交.

故选：D

7．B

b

【详解】由题意知F(c,0)，一条渐近线方程为：yx，即bxay0.

2a

bc

设d为F到bxay0的距离，则dbPF2，PF2b，

2b2a21

bb24c24b2

在PF2O中cosPF2F1，在PF2F1中cosPFF，

c214bc

bb24c24b2

所以，化简得：4c27b2，由于c2a2b2，

c4bc

22223

所以4(ab)7b，即4a23b2，所以渐近线方程为yx.

3

故选：B.

8．A

【详解】由题可设等比数列an的公比为q，则q0，

111

因为a2，aa6a，所以21q12q2q或q，因q0，故q.

1123323

n

1

n121

1n

所以，331

an2S1

3n1

1()23

3

n

3143

当n为偶数时，Sn1关于n单调递增，此时Sn[,)

2332

n

313

当n为奇数时，Sn1关于n单调递减，此时Sn(,2]

232

4

故S最小为,最大为2.

n3

14

设函数gxx，因为当x0时，gx单调递增，且S最小为,最大为2，

xn3

1473

所以Sn的最小值为g，最大值为g2.

Sn3122

13711

故若NSnM恒成立，则MN的最小值为.

Sn21212

故选：A.

9．ABC

【详解】由数列的定义可知A正确；

B：令nn1110，解得n11或者n10(舍），所以110是该数列的项，故B正确；

C：由等差中项的定义可得2m28,m5，故C正确；

3

D：a1a2a3a227，a23，故D错误.

故选：ABC.

10．AD

【详解】

因为面CC1DD1面AA1DD1，且交线为DD1，棱CC1与DD1平行，所以

点M到面AA1DD1的距离为定值，

即三棱锥MDD1A的高为定值，而ADD1面积也为定值，所以三棱锥MDD1A的体积始终为定值，故A

对；

如图，当M点位于棱CC1中点时，平面A1MD截正方体的截面为等腰梯形，故B错；

当M运动到C1时，三角形A1C1D为等边三角形，故A1MD60，故C错；

展开图中，由三边关系B1MMDB1D，当B1,M,D三点共线时等号成立，所以最小值为5，故D对.

故选：AD

11．BCD

11

【详解】对于A，抛物线的焦点为F(,0)，准线为x，

22

3

由抛物线定义可知AFAD，则ANAFANADND

2

当且仅当D､A､N三点共线时取等号，故A错误；

对于B，设Ax1,y1,Bx2,y2，过点A的切线方程为xtyy1x1

222

（切线斜率不为0），联立抛物线方程y2x，化简并整理得，y2ty2ty12x10，又y12x1，

222

所以方程y2ty2ty12x10可变形为y2ty2ty1y10，

222

而Δ4t8ty14y14ty10，所以ty1，

2

所以过点A的切线方程为xy1yy1x1，结合y12x1，可得

过点A的切线方程为y1yxx1，同理可得过点B的切线方程为y2yxx2，

y1yxx122y1y2y1y2

联立，结合y12x1,y22x2，解得S,，

y2yxx222

xxyy

而线段AB的中点M的坐标为12,12，所以点S,M的纵坐标相等，故B正确；

22

对于C，可设直线AB:xnyt，联立y22x，

2

化简并整理得y2(nyt)0，显然y1y22t4t2，

直线AB方程为xny2过点2,0，故C正确；

1

对于D，依题意直线AB的倾斜角为锐角，设k且m0，

ABm

12

设直线AB方程为xmy，联立y2x，易得y1y22m,y1y21

2

yyyy4

kk12124

由题意知，OAOB22

x1x2y1y2y1y2

4

1

tanAOFk，tanBOFk，y20y1，tank，

OAOBABm

tanAOFtanBOF

则tanAOBtanAOFBOF

1tanAOFtanBOF

y1y2

2

2

kkxx2yy2y1y24y1y24m1

OAOB1221

1kOAkOB143y1y233

2

216m116132132

所以tanAOBtanmm，

9m9m9m9

1

当且仅当m，即m1时取等号，

m

32

所以tan2AOBtan的最小值为，故D正确.

9

故选：BCD.

x2y2

12．1

94

【详解】长轴长为6，2a6，a3，

5c5

离心率为，，a3，c5，

3a3

x2y2

b2a2c2954，b2，椭圆的方程为1.

94

x2y2

故答案为：1.

94

11

13．

2

9999

【详解】因为an，所以an1ann1n1，

nnn1nnn1

当n2时，an1an0，当n3时，an1an0，

5

则ak1aka1a2a2a3a4a3a5a4a6a5

k1

311

aaaa10666.

136322

11

故答案为：

2

1

14．/0.5

2

【详解】由题，Aa,0,Ba,0，设Px0,y0,Mx1,y1.

yyx2y2a2y2b2

0，0002220

则kPAkPB，又点P在双曲线上，则221x0a2y0kPAkPB222.

x0ax0aabbx0aa

yyx2y2a2y2b2

1，1112221

kMAkMB，又点M在椭圆上，则221x1a2y1kMAkMB222.

x1ax1aabbx1aa

，

注意到kPAkMAkPBkNB，则kPAkPBkMAkMBkPAkMBkNB0kMBkNB.

即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故MNAB.

222

设椭圆右焦点坐标为c,0，其中cab，因直线MN过椭圆右焦点F，则x1c，将其代入椭圆方程可

b2

得y.

1a

AFac

b222b2a2ac

则MF，AFac，又tanAMN2，则MFb2.

a

a

2

22222ccc2cc1

则2a2caac2caca0210110e.

aaaaa2

故答案为：1.

2

2

12

15．(1)xy11

2

(2)x1或3x4y50

x1

x0

2

【详解】（1）设点Mx,y,Bx0,y0，由点M是AB的中点，得，

y2

y0

2

所以x02x1,y02y2，故点B2x1,2y2，

因为B在圆O上运动，所以点B的坐标满足圆O的方程，

2

2212

所以2x12y24，化简得xy11，

2

2

12

故点M的轨迹方程是xy11.

2

（2）因为直线截圆所得弦长为23，

2

所以直线到圆心O0,0的距离为223，

ld21

2

①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x1，

此时O到l的距离为1，故直线x1符合题意；

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20，

k23

则圆心到直线的距离为1，解得k，

1k24

3

则直线l:y2x1，即为3x4y50，

4

综上所述，直线l的方程为x1或3x4y50.

π

16．(1)

6

323

(2),

23

【详解】（1）在ABC中，因为ABCπ，

所以sinAsinπ(BC)sin(BC).

π

因为a2bcosC0，

3

π

所以由正弦定理得sinA2sinBcosC0.

3

π

则sin(BC)2sinBcosC

3

ππ

sin(BC)2sinBcosCcossinCsin

33

sinBcosCcosBsinCsinBcosC3sinBsinC0，

化简得cosBsinC3sinBsinC，

因为C(0,π)，所以sinC0，

3

所以上式可化为cosB3sinB，即tanB.

3

π

又因为B(0,π)，所以B；

6

5π5

（2）由（1）可得AC，即CA，

66

5πππ31

所以sinCsinAsinπAsinAsinAcosA，

66622

31

sinAcosA

由正弦定理可得csinC31.

22

asinAsinA22tanA

因为ABC为锐角三角形，

ππ

0A0A

22ππ

所以，即，解得A，

π5ππ32

0C0A

262

33123

所以tanA3，所以，

222tanA3

c323

即的取值范围为,.

a23

17．(1)证明见解析

(2)存在，Q为PA上靠近P的三等分点

【详解】（1）证明：折叠前，四边形ABCD是菱形，所以ACBD，..

由于M,N分别是边BC,CD的中点，所以MN//BD，故MNAC，.

折叠过程中MNGP,MNGA,GPGAG，GP,GA平面PAG.

所以MN平面PAG.

（2）当平面PMN平面MNDB时，由平面PMN平面MNDBMN，GP平面PMN，MNGP，

所以GP平面MNDB，又AG平面MNDB，故GPAG，

建立如下图空间直角坐标系，

则G(0,0,0),A(33,0,0),P(0,0,3),D(3,2,0),N(0,1,0),M(0,1,0).

所以PA(33,0,3)，设PQPA(01),则Q(33,0,33).

DQ(333,2,33)，DN(3,1,0)，

设平面QDN的法向量为m(x,y,z)，

mDQ333x2y33z0

则，

mDN3xy0

取x1，则m(1,33,31)，而NM(0,2,0)，

设直线NM与平面QDN的夹角为，

mMN2323391

则sin，解得，

mMN24(1)2(31)2133

所以Q为PA上靠近P的三等分点，满足题设要求.

n

18．(1)证明见解析，bn21

(2)证明见解析

7

(3).

4

bn11

【详解】（1）由bn12bn1，得2

bn1

故bn1是公比为2的等比数列，

2

因8Snan4an3，令n1得(a11)(a13)0，又a11得a13.

故b1a13，bn1的首项为b112，

n1nn

故bn1222，所以bn21.

b12n11

n

（2）因为cnnn1nn1

bnbn1(12)(12)1212

11111111

故Tn=++

1+211+221+221+231+231+241+2n1+2n+1

11111

T

n12112n1312n13

22

（3）因8Snan4an3，故8Sn1an14an13,(n2)，

22

作差得8ananan14an4an1,(n2)

22

移项得anan14an4an10,(n2)

(anan1)(ana