勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用

第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时勾股定理的逆定理第二十章勾股定理知识点

勾股定理的逆定理及其证明勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.a2

b2

AB

1

1

≌SSS＝＝直角

知识点

根据三边判断能否构成直角三角形典例2

(教材P35例1∙改编)下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c)(1)a＝15，b＝8，c＝17；解：(1)∵152＋82＝289，172＝289，∴152＋82＝172.根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且

∠C是直角.典例2

(教材P35例1∙改编)下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c)(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(2)∵132＋142＝365，152＝225，∴132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理.∴这个三角形不是直角三角形.变式2如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝15，

D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝9，判断△ABD的

形状，并说明理由.解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵AC＝15，CD＝3，∴AD＝AC－CD＝15－3＝12.∵AB＝15，BD＝9，又∵92＋122＝225，152＝225，∴92＋122＝152，即BD2＋AD2＝AB2.∴△ABD是直角三角形.

判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较

小边长的平方和是否等于最大边长的平方.知识点

勾股数：满足a2＋b2＝c2，并且a，b，c都

是正整数.典例3下列各组数中，不是勾股数的是(

A

)A.6，7，8B.8，15，17C.7，24，25D.9，12，15A变式3下列各组数中，是勾股数的是(

B

)B

常用勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③6，8，

10；④8，15，17；⑤7，24，25；⑥9，12，15.

1.

下列各选项中，不是勾股数的是(

C

)C2.

将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个

直角三角形，其中正确的是(

C

)C3.

如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13.求

证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.证明：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.4.

下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角

形？如果是，那么哪一个角是直角？(△ABC中，

∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c)(1)a＝9，b＝41，c＝40；解：(1)∵92＋402＝1681，412＝1681，∴92＋402＝412，即a2＋c2＝b2.∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.解：(1)∵92＋402＝1681，412＝1681，∴92＋402＝412，即a2＋c2＝b2.∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.4.

下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角

形？如果是，那么哪一个角是直角？(△ABC中，

∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c)(2)a＝8k，b＝15k，c＝17k(k＞0).解：(2)∵(8k)2＋(15k)2＝289k2，(17k)2＝289k2，∴(8k)2＋(15k)2＝(17k)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.解：(2)∵(8k)2＋(15k)2＝289k2，(17k)2＝289k2，∴(8k)2＋(15k)2＝(17k)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

5.

如图，每个小正方形的边长都为1个单位长度，

△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，证明

△ABC是直角三角形.证明：∵每个小正方形的边长都是1，∴AB2＝32＋22＝13，BC2＝62＋42＝52，AC2＝12＋82＝65.∵13＋52＝65.∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形.

6.

【思想方法∙配方法】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，试判断△ABC的形状.解：∵a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，∴a2＋b2＋c2＋200－12a－16b－20c＝0.∴(a2－12a＋36)＋(b2－16b＋64)＋(c2－20c＋100)＝0.∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0.∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0.解得a＝6，b＝8，c＝10.∵a2＋b2＝62＋82＝102＝c2，∴△ABC是直角三角形.解得a＝6，b＝8，c＝10.∵a2＋b2＝62＋82＝102＝c2，∴△ABC是直角三角形.20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用第二十章勾股定理知识点

方位角问题典例1如图，小圆家(点C)和小方家(点B)相距2.6km，他们同时从学校(点A)放学回家，5min后同时到家.已知小方沿东北方向每分钟骑车480m，小圆每分钟步行200m，请求出小圆家在学校的哪个方向上.解：由题意，得AB＝5×480＝2400＝2.4(km)，AC＝5×200＝1000＝1(km).∵BC＝2.6km，∴∠CAB＝90°.由题意可知，∠DAB＝45°，∴∠DAC＝45°.∴小圆家在学校北偏西45°方向上.∴2.42＋12＝2.62，即AC2＋AB2＝BC2.变式1如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？解：由题意，得BM＝8×2＝16，BP＝15×2＝30.在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝342＝1156，∴BM2＋BP2＝PM2.∴∠MBP＝90°.∵甲船在B港北偏东60°方向，∴180°－90°－60°＝30°.故乙船沿南偏东30°方向航行.知识点

求四边形的面积典例2

(教材P37习题T3∙改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.(1)判断△ACD的形状，并说明理由；解：(1)∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∵CD＝12，AD＝13，∴AC2＋CD2＝52＋122＝169，AD2＝132＝169.∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形.(2)求出四边形ABCD的面积.解：(2)由(1)可知，S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

＝36.∴四边形ABCD的面积为36.典例2

(教材P37习题T3∙改编)如图，在四边形ABCD

中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.变式2由四条线段AB，BC，CD，DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m.现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？解：如图，连接AC.

答图∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，

∵AB＝13m，BC＝12m，∴52＋122＝132，即AC2＋BC2＝AB2.∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝SRt△ABC－SRt△ACD

∴200×24＝4800(元).答：在该空地上种植草皮共需4800元.

1.

测得一块三角形花坛的三边长分别为1.5m，2m，

2.5m，则这个花坛的面积为

m2.1.52.

(教材P38习题T3)刘伟先向东走了80m，然后换了一

个方向走了60m，再换第三个方向走了100m，此时恰

好回到原地.刘伟向哪个方向走了60m？请说明理由.解：刘伟