河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则的虚部为（）A.2 B.4 C.-2 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，则z的虚部为2.故选：A.2.若向量，则的取值集合为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，解得或0，即x取值集合为.故选：C.3.如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是，其中，所以与共面、与共面、与共面．故选：C.4.如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗将直观图还原为原图，如图，由，，所以，所以，则，即原平面图形的面积是．故选：D.5.向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，设，则．故选：D.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形〖答案〗A〖解析〗在中，由及正弦定理，得，于是，而，则，所以是等腰三角形.故选：A.7.已知正方形边长为，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，得，则，故．方法二：，故．故选：A.8.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（）A.200米 B.202米 C.204米 D.206米〖答案〗C〖解析〗设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，则米，因为在点处测得点的仰角为，所以米，由余弦定理得，即，解得．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行B.若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行C.已知两条相交直线，若平面，则平面D.已知直线，平面，若，则〖答案〗AB〖解析〗A：若平面，则直线与平面的无数条直线平行，故A正确；B：直线与平面相交，则直线与平面的任意直线不平行，故B正确；C：若两条相交直线，平面，则与平面的位置关系不确定，故C错误；D：若直线，平面，，则与平行或异面，故D错误．故选：AB.10.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意得，，所以，解得.故选：AD.11.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，是两条母线，是的中点，则（）A.圆锥的体积为B.面积的最大值为C.当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为D.圆锥的内切球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗A：因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为，设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，又，所以圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确；B：当轴截面时，在中，，因为，所以此时为钝角，又，当时，的面积最大，且最大值为2，故B错误；C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为，如图，在中，，由余弦定理得，故C正确；D：当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，设的内切圆半径为，则，所以，所以内切球的表面积为，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.若，则______.〖答案〗2〖解析〗由题意得，，则，解得．故〖答案〗为：2.13.如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______．〖答案〗〖解析〗该青铜器的容积约为．故〖答案〗为：.14.若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗依题意，不妨设，则，，因为的取值范围是，得，所以的取值范围是，又因为，当时，；当时，，综上，的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，其中．（1）若为纯虚数，求共轭复数；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．解：（1）由题意可得，解得，则，所以的共轭复数为．（2）由题意可得，即，解得，即的取值范围是．16.已知向量满足．（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求向量的夹角.解：（1）．（2）由，得，所以，故．（3）由题意得，即，得，所以，因为，所以，即向量的夹角为．17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若，求外接圆的半径，（2）若的面积为，求的大小及的周长．解：（1）因为，所以，即，又，所以．又，所以．（2）的面积，则，因为，所以或，当时，，得的周长为，当时，，得的周长为，综上，的周长为或.18.如图，在长方体中，E，F分别为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．解：（1）在长方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取BC的中点，连接，，因为E，F分别为的中点，所以，又平面平面，所以平面，由（1）知平面，得平面，又，平面EFG，所以平面平面，又平面，所以平面．（3）取的中点，连接，则要求作的截面为四边形，在矩形中，，所以，解得，所以截面的周长为.