复数的乘法与除法课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.2.2复数的乘法与除法北师大版（2019）必修第二册学习目标1.理解并掌握复数的乘法与除法法则，熟练进行复数的乘、除法运算，体现逻辑推理能力（重点）2.理解复数乘法的运算律和复数正整数指数幂的运算性质，并能熟练应用，体现数学计算能力（重难点）新课引入两个实数的乘法和加法满足分配律，即a,b,c∈R时，有(a+b)c=ac+bc而且，实数的正整数次幂满足aman=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn其中m,n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？新课学习复数的乘法的概念对任意两个复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2=-1，有(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i，因此，定义复数的乘法如下：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i新课学习例5：计算：(-2-i)(3+i).(-2-i)(3+i)=-2×3-2×i-3×i-i×i=-6-2i-3i-i2=-6-2i-3i+1=-5-5i新课学习例6：计算：(-2-3i)(-1+3i)(+i).新课学习复数的乘法的运算律1.结合律：(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)；2.交换律：z1·z2=z2·z1；对任意z1，z2，z3∈C，3.乘法对加法的分配律：z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.新课学习多个复数的乘法的概念对于复数z，定义它的乘方zn=z·z·…·z.n个根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)n=z1n·z2n.新课学习i的性质在复数的乘方运算中，经常要计算i的乘方，i的乘方有如下规律：i0=1，i1=i，i2=-1，i3=-i，…一般地，对任意自然数n，有i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n＋3=-i.新课学习例7:计算：(1)(1＋i)4；

(2)(2－i)2(2＋i)2.(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=-4；(2)(2-i)2(2+i)2=[(2-i)(2+i)]2=(4+1)2＝25.新课学习例8:计算：i21，i16，i27，i22.i21=i4×5+1=ii16=i4×4=1i27=i4×6+3=-ii22=i4×5+2=-1新课学习例9：求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证使用配方法容易得到(1)若b2－4ac≥0，则因此新课学习(2)若b2－4ac＜0，则因此即综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数范围内的根x1，x2都满足新课学习思考交流：计算下列各式，你能发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明.(1)(3+2i)(3-2i)；(3+2i)(3-2i)=9-(-4)=13(2)(2+i)(2-i)；(2+i)(2-i)=4-(-1)=5(3)；=8-(-1)=9(4)=3-(-2)=5规律：(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.新课学习共轭复数的乘积互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a，b∈R)，则新课学习例10：证明：对任意的两个复数z1，z2，若z1·z2＝0，则z1，z2至少有一个为0.设z1≠0，则|z1|≠0，z1的共轭复数

，将z1·z2＝0的左右两边同时乘

，得因为|z1|2≠0，所以z2=0.||2·z2=0新课学习思考一下：给定两个复数z和z2，如果这两个复数互为倒数，如何求出复数z？设z2=c+di≠0和z=x+yi(c,d,x,y∈R)，则z2·z=(c+di)(x+yi)=cx-dy+(cy+dx)i=1所以cx-dy=1，cy+dx=0，解得所以z2=c+di的倒数注意：这里要求c,d不同时为0，即z2≠0.新课学习思考一下：给定两个复数z1和z2，如何求出

？设z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R)，规定复数的除法：即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数，因此在实际计算

时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c-di，化简后就得到上面的结果：这种叫分母“实数化”新课学习例11：计算：(1)；(2)；(3)(1)

(2)(3)课程练习A课程