2026年高考全国卷数学函数与导数易错专题卷含解析

2026年高考全国卷数学函数与导数易错专题卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=lnx-2x的定义域为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,2)D.(-2,+∞)2.若函数g(x)=x^3-ax+1在x=-1处取得极值，则a的值为()A.-3B.-1C.1D.33.函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上是()A.单调递增且无最值B.单调递减且无最值C.单调递增且有最小值D.单调递减且有最大值4.已知函数f(x)=x^2+bx+1在区间(-1,1)上单调递增，则实数b的取值范围是()A.(-4,4)B.(-2,2)C.(-4,2)D.(-2,4)5.若曲线y=x^3-ax在点(1,0)处的切线与直线y=x平行，则a的值为()A.-1B.0C.1D.26.函数f(x)=x-lnx在区间(0,e)上的最大值是()A.0B.1C.eD.e-17.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则方程f(x)=0在区间(-2,0)内的根的个数为()A.0B.1C.2D.38.若函数h(x)=2ax^3-3x^2+1在x=1处的切线斜率为-3，则a的值为()A.-1B.0C.1D.29.函数y=x^3-3x+1的图象在点(1,-1)处的切线方程为()A.y=-3x-2B.y=-3x+2C.y=3x-4D.y=3x-210.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的导函数f'(x)在x=1处取得极小值，则实数k的值为()A.-1B.0C.1D.2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.函数f(x)=xlnx-x^2在区间(0,1)上的最大值为________。12.曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线与曲线y=-x^3+3x-2在x=-1处的切线相交于点(s,t)，则s+t的值为________。13.已知函数f(x)=x^3-3x+k在区间(-2,2)上存在唯一的一个极值点，则实数k的取值范围是________。14.若函数g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处的切线与直线y=-3x+5垂直，且g'(0)=2，则a+b的值为________。15.设f(x)=x^3-3x^2+2，若存在实数m，使得方程f(x)-mx=0在区间(1,3)内有解，则m的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=e^x-ax^2。(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。17.（本小题满分12分）已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值。18.（本小题满分12分）设函数f(x)=x^3-ax^2+bx，且f'(1)=1，f'(2)=0。(1)求实数a和b的值；(2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。19.（本小题满分12分）已知曲线C：y=x^3-ax^2+1在点(1,0)处的切线方程为y=-3x+4。(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)=x^3-ax^2+1的单调区间。20.（本小题满分13分）设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，g(x)=f'(x)-kx，其中k为实数。(1)求函数g(x)的零点；(2)讨论函数g(x)的单调性；(3)若函数g(x)在区间(0,2)上存在极值点，求实数k的取值范围。21.（本小题满分14分）已知函数F(x)=x^3-3x^2+2x。(1)求曲线y=F(x)在点(2,F(2))处的切线方程；(2)设直线l与曲线y=F(x)相切于点(m,m^3-3m^2+2m)，且直线l过点(0,1)，求实数m的值；(3)讨论关于x的方程F(x)=t在区间(1,3)内根的个数。试卷答案一、选择题1.A2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.A10.C二、填空题11.1/4e^(-2)12.113.(-6,0)14.-115.(-6,8)三、解答题16.解：(1)当a=1时，f(x)=e^x-x^2，f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得e^x-2x=0。令g(x)=e^x-2x，则g'(x)=e^x-2。令g'(x)=0，得e^x-2=0，解得x=ln2。当x∈(-∞,ln2)时，g'(x)<0，f'(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时，g'(x)>0，f'(x)单调递增。因为f'(ln2)=e^(ln2)-2ln2=2-2ln2>0，且f'(0)=1>0，f'(-1)=e^(-1)+2>0。所以f'(x)在x=ln2处取得最小值2-2ln2>0。又f'(0)=1>0。故f'(x)>0对所有x∈R恒成立。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)，无单调递减区间。(2)f'(x)=e^x-2ax。因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。代入得e-2a=0，解得a=e/2。此时f'(x)=e^x-ex。令h(x)=f'(x)=e^x-ex，则h'(x)=e^x-e。令h'(x)=0，得e^x-e=0，解得x=1。当x∈(-∞,1)时，h'(x)<0，f'(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，h'(x)>0，f'(x)单调递增。所以f'(x)在x=1处取得极小值。因此，函数f(x)在x=1处取得极小值。17.解：(1)g'(x)=3x^2-6x+2。令g'(x)=0，得3x^2-6x+2=0。解得x=3±√3/3。当x∈(-∞,3-√3/3)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(3-√3/3,3+√3/3)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(3+√3/3,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以函数g(x)的单调递增区间为(-∞,3-√3/3)和(3+√3/3,+∞)，单调递减区间为(3-√3/3,3+√3/3)。(2)由(1)知，函数g(x)在x=3-√3/3处取得极大值，在x=3+√3/3处取得极小值。g(3-√3/3)=(3-√3/3)^3-3(3-√3/3)^2+2(3-√3/3)+1=2√3-5/9。g(3+√3/3)=(3+√3/3)^3-3(3+√3/3)^2+2(3+√3/3)+1=-2√3-5/9。函数g(x)在区间[-2,4]上的端点值为：g(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)+1=-8-12-4+1=-23。g(4)=4^3-3(4)^2+2(4)+1=64-48+8+1=25。比较g(-2),g(3-√3/3),g(3+√3/3),g(4)的值：g(4)=25是最大值。g(-2)=-23，g(3-√3/3)=2√3-5/9≈2.598-0.556=2.042，g(3+√3/3)=-2√3-5/9≈-3.598-0.556=-4.154。所以g(-2)<g(3+√3/3)<g(3-√3/3)<g(4)。因此，函数g(x)在区间[-2,4]上的最大值为25，最小值为-23。18.解：(1)f'(x)=3x^2-2ax+b。由已知f'(1)=1，f'(2)=0。代入得f'(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=1，即2a-b=2。代入得f'(2)=3(2)^2-2a(2)+b=12-4a+b=0，即4a-b=12。解这个方程组：{2a-b=2{4a-b=12两式相减得2a=10，解得a=5。将a=5代入2a-b=2，得10-b=2，解得b=8。所以a=5，b=8。(2)由(1)知f(x)=x^3-5x^2+8x，f'(x)=3x^2-10x+8。令f'(x)=0，得3x^2-10x+8=0。解得x=5±√(25-4*3*8)/(2*3)=5±√1/6=5±1/6。x1=5-1/6=29/6，x2=5+1/6=31/6。函数f(x)在区间[-1,3]上的端点值为：f(-1)=(-1)^3-5(-1)^2+8(-1)=-1-5-8=-14。f(3)=3^3-5(3)^2+8(3)=27-45+24=6。极值点为x1=29/6，x2=31/6。但31/6≈5.17，不在区间[-1,3]内，舍去。只需考察端点和x1=29/6处的函数值：f(29/6)=(29/6)^3-5(29/6)^2+8(29/6)=(29/6)(29/6-15)=(29/6)(29-90)/6=(29/6)(-61/6)=-29*61/36=-29*61/(6*6)=-29*61/36。计算f(-1),f(3),f(29/6)：f(-1)=-14f(3)=6f(29/6)=-29*61/36=-29*61/(6*6)=-29*61/36比较f(-1),f(3),f(29/6)的值：f(-1)=-14，f(3)=6，f(29/6)=-29*61/36。-29*61/36≈-29*1.69=-48.81。所以f(-1)<f(29/6)<f(3)。因此，函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为6，最小值为-29*61/36。19.解：(1)曲线C：y=x^3-ax^2+1在点(1,0)处的切线方程为y=-3x+4。因为切点为(1,0)，所以切线过点(1,0)。将x=1,y=0代入切线方程y=-3x+4，得0=-3(1)+4=-3+4=1。此条件满足，切点正确。切线的斜率为-3。函数f(x)=x^3-ax^2+1的导数为f'(x)=3x^2-2ax。在点(1,0)处，切线的斜率即为f'(1)。f'(1)=3(1)^2-2a(1)=3-2a。令f'(1)=-3，得3-2a=-3。解得a=3。(2)由(1)知a=3，f(x)=x^3-3x^2+1，f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x^2-6x=0，即3x(x-2)=0。解得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)=3x(x-2)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)=3x(x-2)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)=3x(x-2)>0，f(x)单调递增。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。20.解：(1)g(x)=f'(x)-kx=3x^2-6x-kx=3x^2-(6+k)x。g(x)=0等价于3x(x-(6+k)/3)=0。解得x=0或x=(6+k)/3。所以函数g(x)的零点为0和(6+k)/3。(2)g'(x)=6x-(6+k)。令g'(x)=0，得6x-(6+k)=0，解得x=(6+k)/6=k/6+1。当x∈(-∞,k/6+1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(k/6+1,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以函数g(x)的单调递减区间为(-∞,k/6+1)，单调递增区间为(k/6+1,+∞)。(3)方程f(x)=t在区间(1,3)内有解，等价于直线y=t与函数F(x)=x^3-3x^2+2x的图象在区间(1,3)内有交点。设交点为(x0,t)，则x0∈(1,3)，且t=x0^3-3x0^2+2x0。t是x0在区间(1,3)上的函数值f(x0)。所以问题转化为：求函数f(x)在区间(1,3)上的值域。f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0，得x=1±√1/3=1±√3/3。x1=1-√3/3，x2=1+√3/3。当x∈(1,3)时，f'(x)=3(x-1)^2-1>0，f(x)在(1,3)上单调递增。函数f(x)在区间(1,3)上的值域为(f(1),f(3))。f(1)=1^3-3(1)^2+2(1)=1-3+2=0。f(3)=3^3-3(3)^2+2(3)=27-27+6=6。所以值域为(0,6)。因此，实数m的取值范围是(-6,8)。21.解：(1)F(x)=x^3-3x^2+2x。F'(x)=3x^2-6x+2。F(2)=2^3-3(2)^2+2(2)=8-12+4=0。F'(2)=3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2。曲线y=F(x)在点(2,0)处的切线方程为：y-F(2)=F'(2)(x-2)。y-0=2(x-2)。即y=2x-4。(2)设曲线y=F(x)在点(m,m^3-3m^2+2m)处的切线方程为y-(m^3-3m^2+2m)=F'(m)(x-