2024-2025学年江苏省宿迁市经开区七年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省宿迁市经开区七年级（下）期中数学试卷一、选择题1．（3分）中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）3＝﹣a6 C．a6÷a3＝a2 D．（2a）3＝8a33．（3分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y）4．（3分）如图，已知线段AB＝4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.55．（3分）若是方程3x+ay＝1的一个解，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB'，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为（）A．20° B．45° C．70° D．65°7．（3分）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（）A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b38．（3分）如图，锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（）A．15° B．30° C．45° D．90°二、填空题9．（3分）航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于0.00000002m，将数据用科学记数法表示为．10．（3分）若□×3xy＝6x3y2，则□内应填的单项式是．11．（3分）计算：42025×（﹣0.25）2024＝．12．（3分）已知（m﹣4）x+3y|m﹣3|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝．13．（3分）若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k＝．14．（3分）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝．15．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若∠1＝44°，则∠DCB的度数为．16．（3分）若M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则MN（填“＞”“＜”或“＝”）．17．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是．18．（3分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4⋯）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若（2x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+⋯+a2024x2+a2025x+a2026，请根据上述规律，写出a1﹣a2+a3﹣⋯+a2025的值是．三、解答题19．计算：（1）；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2．20．解方程组：（1）；（2）．21．先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x+3）+2（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣1．22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A对应点为点A1，请画出△A1B1C1；（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（3）已知△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，则该点为．23．计算：（1）已知2×8x×16＝223，求x的值；（2）已知4m＝5，8n＝3，求24m﹣6n的值．24．规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：52﹣32＝2×8；132﹣112＝6×8．验证：212﹣192是“如意式”；证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．25．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由．（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．26．观察下列各式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…（1）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯x3+x2+x+1）＝；（2）利用（1）中的猜想计算：25+24+23+22+2+1＝；（3）计算3100+399+398+⋯+352+351+350；（4）若x3+x2+x+1＝0，求x2025的值．27．【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：；根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是．【应用】（2）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC＝16米，求种草区域的面积和．【拓展】（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为a，宽为b）拼成如图所示的大长方形，记长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2.若不论AB的长为何值时，S1﹣S2永远为定值，求a、b之间的数量关系．28．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？

2024-2025学年江苏省宿迁市经开区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDCDCCBC一、选择题1．（3分）中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；B不是中心对称图形，不符合题意；C是中心对称图形，符合题意；D不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3）3＝﹣a6 C．a6÷a3＝a2 D．（2a）3＝8a3【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，同底数幂的除法法则对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴A选项的运算不正确，不符合题意；∵（﹣a3）3＝﹣a9，∴B选项的运算不正确，不符合题意；∵a6÷a3＝a3，∴C选项的运算不正确，不符合题意；∵（2a）3＝8a3，∴D选项的运算正确，符合题意．故选：D．3．（3分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）A．（x+2）（x+2） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（2x﹣y）（2x+y） D．（﹣x﹣y）（x+y）【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，找出整式中的a和b，进行判定即可．【解答】解：A、（x+2）（x+2）＝（x+2）2，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；C、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，符合平方差公式的特点，故C选项正确；D、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2不符合平方差公式的特点，故选项D错误．故选：C．4．（3分）如图，已知线段AB＝4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】设CD与AB的交点为O，连接AC，如图，利用基本作图得到CD垂直平分AB，OA＝2，利用垂线段最短得到m＞2，从而得到正确选项．【解答】解：设CD与AB的交点为O，连接AC，如图，由作法得CD垂直平分AB，∴CD⊥AB，OA＝OB＝2，∴AC＞OA，即m＞2．故选：D．5．（3分）若是方程3x+ay＝1的一个解，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值．【解答】解：把代入方程3x+ay＝1得：﹣3+2a＝1，∴a＝2．故选：C．6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB'，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为（）A．20° B．45° C．70° D．65°【分析】由旋转得∠CA'B'＝∠B，AC＝B'C，∠ACB'＝90°，可得∠CAB'＝∠AB'C＝45°，则∠A'B'C＝∠AB'C﹣∠A′B′A＝20°，∠CA'B'＝180°﹣∠A'CB'﹣∠A'B'C＝70°，即可得∠B＝70°．【解答】解：由旋转得，∠CA'B'＝∠B，AC＝B'C，∠ACB'＝90°，∴∠CAB'＝∠AB'C＝45°．∵∠A′B′A＝25°，∴∠A'B'C＝∠AB'C﹣∠A′B′A＝20°，∴∠CA'B'＝180°﹣∠A'CB'﹣∠A'B'C＝70°，∴∠B＝70°．故选：C．7．（3分）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（）A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b，∴a+1＝3b．故选：B．8．（3分）如图，锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（）A．15° B．30° C．45° D．90°【分析】根据△ABC的平移过程，分点B′在BC上和点B′在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，∵△A′B′C′由△ABC平移得到，∴AB∥A′B′，∵CG∥AB，AB∥A′B′，∴CG∥A′B′，①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，∴2x+x＝45°，解得：x＝15°，∴∠ACA′＝2x＝30°，②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′x，∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，∴xx＝45°，解得：x＝30°，∴∠ACA′x＝15°，第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∥AB，∵△A′B′C′由△ABC平移得到，∴AB∥A′B′，∵CG∥AB，AB∥A′B′，∴CG∥A′B′，①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG，∴2x＝x+45°，解得：x＝45°，∴∠ACA′＝2x＝90°，②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况，综上所述，∠ACA′＝15°或30°或90°，故选：C．二、填空题9．（3分）航天员的宇航服加入了气凝胶，可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，其颗粒尺寸通常小于0.00000002m，将数据用科学记数法表示为2×10﹣8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．故答案为：2×10﹣8．10．（3分）若□×3xy＝6x3y2，则□内应填的单项式是2x2y．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：根据运算法则可得：2x2y•3xy＝6x3y2，故答案为：2x2y．11．（3分）计算：42025×（﹣0.25）2024＝4．【分析】先变形为42024×（﹣0.25）2024×4，再根据积的乘方法则计算，最后算乘法即可．【解答】解：42025×（﹣0.25）2024＝42024×（﹣0.25）2024×4＝[4×（﹣0.25）]2024×4＝（﹣1）2024×4＝1×4＝4，故答案为：4．12．（3分）已知（m﹣4）x+3y|m﹣3|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝2．【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．【解答】解：∵（m﹣4）x+3y|m﹣3|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，∴|m﹣3|＝1且m﹣4≠0，解得m＝2，故答案为：2．13．（3分）若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k＝5或﹣7．【分析】根据完全平方式的特征进行作答即可．【解答】解：﹣（k+1）x＝2x•（±3）＝±6x，k＝5或﹣7．故答案为：5或﹣7．14．（3分）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝﹣1．【分析】根据二元一次方程组的解法得出x+y，再根据方程组的解互为相反数得到x+y＝0即可求出k的值．【解答】解：，①+②得，3x+3y＝k+1，∴x+y，∵方程组的解满足x，y互为相反数，即x+y＝0，∴k+1＝0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若∠1＝44°，则∠DCB的度数为68°．【分析】方法一：根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠BD′C＝∠D′CF＝44°，再根据折叠的性质，即可得到∠DCB＝∠D′CB，最后根据平角的性质即可得解；方法二：根据折叠可得∠ABC＝∠A′BC，求出∠ABC＝112°，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：方法一：∵四边形ADFE是长方形纸片，∴AE∥DF，A′B∥D′C，∴∠1＝∠BD′C＝∠D′CF＝44°，由题意知∠DCB＝∠D′CB，∴2∠DCB+∠D′CF＝180°，∴∠DCB＝68°；方法二：由题意知∠ABC＝∠A′BC，∵∠ABC+∠A′BC＝∠1+180°，∠1＝44°，∴∠ABC＝112°，∵AE∥DF，∴∠DCB＝180°﹣∠ABC＝68°．故答案为：68°．16．（3分）若M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M＝N（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】将M，N分别利用平方差公式及完全平方公式计算后比较大小即可．【解答】解：M＝20252﹣2024×2026＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1）＝20252﹣20252+1＝1，N＝20252﹣4050×2026+20262＝20252﹣2×2025×2026+20262＝（2025﹣2026）2＝1，则M＝N，故答案为：＝．17．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是9．【分析】直线m与AB的交点为P，此时△APC的周长有最小值为AB+AC．【解答】解：直线m与AB的交点为P，∵直线m是BC边的垂直平分线，∴BP＝CP，∴AP+PC＝BP+AP＝AB，此时AP+PC值最小，∴△APC的周长＝AP+PC+AC＝AB+AC，此时△APC的周长有最小值为AB+AC，∵AB＝5，AC＝4，∴△APC周长的最小值为9，故答案为：9．18．（3分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4⋯）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若（2x+1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+⋯+a2024x2+a2025x+a2026，请根据上述规律，写出a1﹣a2+a3﹣⋯+a2025的值是2．【分析】根据题意，将x＝0代入所给等式，得出a2026的值，再将x＝﹣1代入所得等式，结合整体思想即可解决问题．【解答】解：由题知，将x＝0代入所给等式得，12025＝a2026，所以a2026＝1．将x＝﹣1代入所给等式得，（﹣2+1）2025＝﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2025+a2026，所以a1﹣a2+a3﹣⋯+a2025＝2．故答案为：2．三、解答题19．计算：（1）；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2．【分析】（1）根据幂的运算公式进行化简，然后进行有理数的加减法运算即可；（2）首先化简乘方部分，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）＝﹣1+1+4＝4；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6﹣9x6＝﹣16x6．20．解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组运用加减消元法求解即可；（2）方程组运用加减消元法求解即可．【解答】解：（1），①×2得：10x﹣2y＝6③，①+③得：13x＝13，解得：x＝1，把x＝1代入①得：5﹣y＝3，解得：y＝2∴原方程组的解为；（2），把①化简得：x﹣1﹣6＝2（2﹣y），得：x+2y＝11③，把②移项得：2x+y＝13④，③×2﹣④得：3y＝9，解得：y＝3，把y＝3代入③，x+6＝11，解得：x＝5，∴原方程组的解为．21．先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x+3）+2（x+2）（x﹣2），其中x＝﹣1．【分析】先通过整式的乘法及乘法公式对原式进行去括号，然后通过合并同类项进行计算即可化简原式，再将x代入即可得解．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣x2﹣3x+2x2﹣8，＝2x2﹣5x﹣7，把x＝﹣1代入得：2×（﹣1）2﹣5×（﹣1）﹣7＝0．22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A对应点为点A1，请画出△A1B1C1；（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（3）已知△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，则该点为N．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．（3）连接AA2，BB2，CC2相交于点N，则△A2B2C2与△ABC关于点N成中心对称，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接AA2，BB2，CC2相交于点N，∴△A2B2C2与△ABC关于点N成中心对称，∴该点为N．故答案为：N．23．计算：（1）已知2×8x×16＝223，求x的值；（2）已知4m＝5，8n＝3，求24m﹣6n的值．【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方的运算性质，同底数幂的乘法法则解答即可；（2）利用幂的乘方与积的乘方的运算性质，同底数幂的乘法法则求得22m，23n值，再利用积的乘方与幂的乘方的运算性质解答即可．【解答】解：（1）∵2×8x×16＝223，∴2×23x×24＝223，∴21+3x+4＝223，∴1+3x+4＝23，∴3x＝18，∴x＝6．（2）∵4m＝5，8n＝3，∴22m＝5，23n＝3，∴原式＝24m÷26n＝（22m）2÷（23n）2＝52÷32．24．规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：52﹣32＝2×8；132﹣112＝6×8．验证：212﹣192是“如意式”；证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．【分析】利用平方差公式解答即可．【解答】解：∵212﹣192＝（21+19）（21﹣19）＝40×2＝80＝10×8，∴212﹣192能被8整除，∴212﹣192是“如意式”；证明：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n×2＝8n，∴任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．25．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由．（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．【分析】（1）由方程组中x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1，说明该方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，即该方程组的解x与y具有“邻好关系”；（2）利用原方程组变形得：x﹣y＝5﹣m，再根据“邻好关系”的定义，即得出5﹣m＝±1，解出m的值即可．【解答】解：（1）具有“邻好关系”，∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1．∴方程组的解x，y具有“邻好关系”，（2）方程组，②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m，把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4，∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m．∵方程组的解x，y具有“邻好关系”，∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1，∴m＝6或m＝4．26．观察下列各式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；…（1）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）利用（1）中的猜想计算：25+24+23+22+2+1＝63；（3）计算3100+399+398+⋯+352+351+350；（4）若x3+x2+x+1＝0，求x2025的值．【分析】（1）由题干规律即可得解；（2）依据规律可构造上述等式，25+24+23+22+2+1＝（2﹣1）×（25+24+23+22+2+1），进而利用公式求解即可；（3）参考（2）思路构造等式即可得解；（4）根据x3+x2+x+1＝0可得，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1＝0，据此求解即可．【解答】解：（1）根据题干规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1；故答案为：xn+1﹣1；（2）25+24+23+22+2+1＝（2﹣1）×（25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63；故答案为：63；（3）3100+399+398+⋯+352+351+350＝（3100+399+398+⋯+33+32+3+1）﹣（349+348+347+⋯+33+32+3+1）（3﹣1）×（3100+399+398+⋯+33+32+3+1）（3﹣1）×（349+348+347+⋯+33+32+3+1）（3101﹣1）（350﹣1）；（4）∵x3+x2+x+1＝0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，∴x4﹣1＝0，∴x4＝1，∴x＝±1，当x＝1时，x3+x2+x+1＝4与题意不符，∴x＝﹣1，∴x2025＝﹣1．27．【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是12．【应用】（2）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC＝16米，求种草区域的面积和．【拓展】（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为a，宽为b）拼成如图所示的大长方形，记长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2.若不论AB的长为何值时，S1﹣S2永远为定值，求a、b之间的数量关系．【分析】（1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；然后根据题意得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝4，xy＝1代入求解即可；（2）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b，由题意得，a+b＝16，a2+b2＝218，根据S种草区域＝S△CDE+S△ABE＝ab代入计算即可；（3）根据长方形的面积得，S2＝a2+aCE结合S1﹣S2永远为定值，整理得S1﹣S2＝6b2﹣a2+（2b﹣a）CE，根据AB＝CE+3b，则2b﹣a＝0，即可作答．【解答】解：（1）通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为4ab，通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，∵图1和图2的面积相等，由此可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵x+y＝4，xy＝1，根据题意得，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，∴42﹣（x﹣y）2＝4×1，∴（x﹣y）2＝12，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，12；（2）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b，得a+b＝AE+CE＝AC＝16，∴S△AED+S△BECa2b2＝109，即a2+b2＝218，∴S种草区域＝S△CDE+S△ABE＝ab