2026年陈省身杯试题及答案国际青少年数学邀请活动

2026年陈省身杯试题及答案国际青少年数学邀请活动第一部分：选择题（共5题，每题4分，合计20分）1.某城市地铁线路呈环形分布，共设有12个站点。若任意两相邻站点间的运行时间均为3分钟，且每15分钟有一趟地铁从任意站点发车。现甲、乙两人分别从站点A和B出发，甲顺时针行驶，乙逆时针行驶，两人出发时间相差5分钟。则甲、乙两人相遇前最后一次同时到达某个站点的时间是（）。A.30分钟B.45分钟C.60分钟D.75分钟2.一个无盖的圆柱形水桶，底面半径为5厘米，高为10厘米。现用一张长方形铁皮（长为20厘米，宽为10厘米）围成该水桶的侧面，并焊接。若铁皮完全利用，则该水桶的容积约为（）。A.785立方厘米B.942立方厘米C.1278立方厘米D.1571立方厘米3.某校举行数学竞赛，参赛选手的平均分为85分，其中前30%的选手的平均分为95分，后30%的选手的平均分为75分。则中间40%的选手的平均分约为（）。A.82分B.88分C.92分D.96分4.一个正四面体的棱长为6厘米，其表面积与一个正方体的表面积相等。则该正方体的棱长为（）。A.3√6厘米B.4√3厘米C.6√2厘米D.9厘米5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）。A.1B.2C.3D.4第二部分：填空题（共5题，每题5分，合计25分）6.若方程x²-mx+24=0的两个根的差为5，则实数m的值为______。7.某班级有50名学生，其中男生比女生多10人。现随机抽取3名学生参加活动，则恰好抽到2名男生的概率为______。8.将一个边长为10的正方形沿对角线对折后，折叠部分的面积为______。9.一个数列的前n项和为Sn=n²+2n，则该数列的第5项为______。10.已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5，则其内切圆的半径为______。第三部分：解答题（共5题，合计55分）11.（10分）某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若工厂计划每月至少盈利20000元，则每月至少需要生产多少件产品？12.（10分）已知函数f(x)=ax²+bx+c，且f(1)=3，f(-1)=1，f(0)=-1。求a、b、c的值，并判断该函数的开口方向。13.（10分）一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米。现将其侧面展开，得到一个扇形。求该扇形的圆心角及面积。14.（15分）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_{n+1}=2n（n≥1）。求a₁₀的值，并证明该数列是等差数列。15.（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-ab=c²。求角C的大小。答案及解析第一部分：选择题1.D解析：甲、乙两人出发时间相差5分钟，且地铁每15分钟发车一次，因此甲、乙两人相遇前最后一次同时到达某个站点的时间应为15分钟的整数倍。甲顺时针、乙逆时针行驶，相当于每15分钟相遇一次。从出发到相遇前最后一次同时到达站点，需要经过3个15分钟（45分钟），再加上最后30分钟（共75分钟）。2.A解析：圆柱形水桶的侧面展开后为长方形，长为圆周长（2πr=2π×5=10π厘米），宽为10厘米。铁皮长20厘米，宽10厘米，刚好围成侧面。水桶底面半径为5厘米，高为10厘米，容积为πr²h=π×5²×10=250π≈785立方厘米。3.B解析：设总人数为100人，前30%为30人，平均分95分；后30%为30人，平均分75分；中间40%为40人，平均分x。则100人的总分为85×100=8500分。30×95+30×75+40x=85002850+2250+40x=850040x=3400x≈85分。4.A解析：正四面体的表面积为4×(√3/4)×6²=36√3平方厘米。正方体的表面积为6a²，令6a²=36√3，则a²=6√3，a=3√6厘米。5.B解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2时取得最小值，此时f(-2)=4-1=3；在x=1时取得最小值，此时f(1)=0+1=1。因此最小值为1。第二部分：填空题6.±7解析：设方程的两根为x₁、x₂，则x₁-x₂=5，且x₁+x₂=m，x₁x₂=24。由(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂，得25=m²-96，m²=121，m=±7。7.3/13解析：班级有40名男生、10名女生，抽取3人中有2名男生的概率为C(40,2)×C(10,1)/C(50,3)=(780×10)/(19600)=7800/19600=3/13。8.25解析：正方形对角线将正方形分为两个全等的直角三角形，折叠后面积为原面积的一半，即(10×10)/2=50平方厘米。9.13解析：a₅=S₅-S₄=(5²+2×5)-(4²+2×4)=35-24=11。10.1解析：三角形ABC为直角三角形，内切圆半径r=(a+b-c)/(2)=(3+4-5)/2=1。第三部分：解答题11.解：设每月生产x件产品，总收入为80x，总成本为10000+50x。利润=收入-成本=80x-(10000+50x)=30x-10000。30x-10000≥2000030x≥30000x≥1000。答：每月至少需要生产1000件产品。12.解：f(1)=a+b+c=3，f(-1)=a-b+c=1，f(0)=c=-1。联立方程：a+b-1=3→a+b=4a-b-1=1→a-b=2解得a=3,b=1,c=-1。函数为f(x)=3x²+x-1，开口向上。13.解：圆锥侧面展开为扇形，扇形半径为圆锥母线长，l=√(r²+h²)=√(3²+4²)=5厘米。扇形弧长为圆锥底面周长，L=2πr=6π厘米。圆心角θ=(L/r)=(6π/5)×180/π=216°。扇形面积S=(θ/360)×πr²=(216/360)×15π=9π平方厘米。14.解：a₁+a₂=2,a₂+a₃=4→a₃-a₁=2a₃+a₄=6→a₄-a₂=2数列相邻两项之差为常数，故为等差数列