2026年甘肃省清水一中、六中、张家川一中等学校高考数学二诊试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年甘肃省清水一中、六中、张家川一中等学校高考数学二诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−1,1,3}，B={x|x3=x}，则A∩B=A.{−1,0,1} B.{−1,1} C.{1} D.{−1}2.“α是锐角”是“α是第一象限角”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.函数y=(sinx)lnx2+1A. B.

C. D.4.设a=4.1−0.5，b=log1514，c=cos1，则a，A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b5.下列叙述不正确的是(

)A.已知a，b是空间中的两条直线，若a∩b=⌀，则直线a与b平行或异面

B.已知l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l∩α≠⌀，则l⊂α或l与α只有一个公共点

C.已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠⌀，则α，β必相交于一条直线

D.已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α6.下列说法中，不正确的是(

)A.已知变量x和变量y的四对随机观测数据为(1,8)，(2,7)，(3,5)，(4,4)，则y关于x的经验回归直线一定经过点(2.5,6)

B.在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到χ2=56.632，根据小概率值α=0.001(χ0.0012=10.828)的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001

C.若随机变量X～N(3,σ2)，P(0<X<3)=0.4，则P(3<X<6)=0.6

D.在1，4，7，7.已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球O的球面上，则该圆锥与球O的体积之比为(

)A.16 B.14 C.138.已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为圆x2+y2=a2+b2A.5 B.3 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12后，再将所得图象向右平移π4个单位长度得到函数A.φ=π10

B.g(x)=3cos(2x−2π5)

C.f(x)图象的对称轴方程为x=−π10.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交双曲线C于A.顶点坐标为(2,0)，(−2,0) B.虚半轴长为4

C.离心率为2 D.渐近线方程为y=±11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点PA.BP⊥B1D B.点P的轨迹长度为π

C.线段BP长度的最小值为66三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i是虚数单位，复数1z=2+i，则z⋅z−=13.若(a−x)(x+1)5的展开式中x4的系数是20，则实数a的值为

14.把5个相同的乒乓球放入编号为1−7号的盒子里，其中编号为1−5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6−7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax−lnx，且f(x)在x=1处的切线方程是x−y+b=0．

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间和极值．16.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF//AB，且EF=1，S为线段AD的中点．

(1)求证：SE//平面ACF；

(2)若AB⊥BF，FB=FC=2，求平面BDE与平面CDE17.(本小题15分)

甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为13，给出科学题的概率为23.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为12,34，乙答对文学题与科学题的概率均为12，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲、乙的概率各为12．

(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；

(2)求第18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上的点P(4,t)(t>0)到F的距离为5．

(1)求p和t的值；

(2)A，B为C上两点，△PAB的重心在直线y=−43上.

①证明：直线AB的斜率为定值；

②设直线AB与x轴交于点Q，线段AB的中点为T，线段PQ的中点为R，过点P向直线TR作垂线，垂足为H.证明：点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−a(x2+1)．

(1)x=1是否可以为f(x)的极值点？请说明理由；

(2)若函数g(x)=f(x)x有三个极值点x1，x2，x3．

(i)求参考答案1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】1513.【答案】6

14.【答案】98

15.【答案】解：(1)因为f(x)=ax−lnx，所以f(x)=a−1x，

又f(x)在x=1处的切线方程为y=x+b，

所以f′(1)=a−1=1，f(1)=a=1+b，

解得a=2，b=1．

(2)由(1)可得f(x)=2x−lnx定义域为(0,+∞)，则f′(x)=2−1x=2x−1x，

当x∈(0,12)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，

当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，则f(x)在x=116.【答案】(1)证明：设AC∩BD=O，连SO，则SO//AB，

因为S为线段AD的中点，所以SO=12AB,SO//AB，

又AB/​/EF，EF=1，AB=2，所以EF//AB，EF=12AB，

故SO//EF，SO=EF，所以四边形SEFO为平行四边形，

所以SE//FO，而FO⊂平面ACF，SE⊄平面ACF，故SE//平面ACF．

(2)解：延长SO交BC于G，则G为BC的中点，连GF，EO，

由FB=FC=2，BC=2，所以FB2+FC2=BC2，故BF⊥FC，

而G为BC的中点，故FG⊥BC，

由(1)知SO//EF，SO=EF，故OG=EF，OG/​/EF，

所以四边形EOGF为平行四边形，所以EO//FG，

因为AB⊥BF，AB⊥BC，BF∩BC=B，BF，BC⊂平面BCF，所以AB⊥平面BCF，

又AB⊂平面ABCD，所以平面BCF⊥平面ABCD，

因为平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊥BC，FG⊂平面BCF，所以FG⊥平面ABCD，

又EO//FG，所以EO⊥平面ABCD.而OC⊂平面ABCD，故EO⊥OC，

由正方形ABCD可得CO⊥BD，而EO∩OD=O，EO，OD⊂平面BDE，故OC⊥平面BDE．

过点O作OH⊥DE，连接CH，

因为OC⊥平面BDE，DE⊂平面BDE，所以OC⊥DE，

而OC∩CH=C，OC，CH⊂平面CHO，故DE⊥平面CHO，

因为CH⊂平面CHO，所以DE⊥CH，则∠OHC即为平面BDE与平面CDE的夹角，

17.(1)由题意及相互独立事件的概率公式，

可得甲答对题目的概率为13×12+23×34=23；

(2)记“第i次答题的人是甲”为事件Ai，

“第i次答题的人是乙”为事件Bi，

由题意P(B2|B1)=13×12+23×12=12，

所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)

=P(A118.解：(1)抛物线C：y2=2px的准线方程为x=−p2，

根据抛物线定义，|PF|=5=4+p2，所以p=2，

因此，抛物线C的方程为y2=4x，

将P(4,t)代入抛物线方程：t2=16，又t>0，故t=4；

(2)证明：①设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则△PAB的重心为(x1+x2+43,y1+y2+43)，

由题意知，y1+y2+43=−43，则y1+y2=−8，

所以直线AB的斜率kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2=4−8=−12为定值；

②因为直线AB的斜率不为零，

所以设直线AB的方程为x=−2y+n.设A(19.解：(1)由题意知，f′(x)=ex−2ax，

若x=1为f(x)的极值点，则f′(1)=e−2a=0，解得a=e2，

当a=e2时，f′(x)=ex−ex，

令m(x)=ex−ex，则m′(x)=ex−e，

易知m′(x)=ex−e为增函数，且m′(1)=0，

当x∈(−∞,1)时，m′(x)<0，故f′(x)在(−∞,1)上单调递减，

当x∈(1,+∞)时，m′(x)>0，故f′(x)在(1,+∞)上单调递增，

故f′(x)≥f′(1)=0，

因此f(x)=ex−a(x2+1)在R上单调递增，此时函数无极值点，

与x=1为f(x)的极值点矛盾，

因此x=1不可以为f(x)的极值点；

(2)(i)由题意知g(x)=ex−a(x2+1)x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

则g′(x)=(ex−2ax)x2−[ex−a(x2+1)]xx2=(x−1)(ex−ax−a)x，

因为函数g(x)=f(x)x有三个极值点x1，x2，x3，

则其中一个极值点为1，且方程ex−ax−a=0有两个根，这两个根都不能等于0或1，

令h(x)=ex−ax−a，x∈R，即函数h(x)有两个零点，这两个零点都不能等于0或1，

则h′(x)=ex−a，

当a≤0时，h′(x)≥0，

因此函数h(x)=ex−ax−a为增函数，

此时h(x)至多一个零点，不符合题意；

当a>0时，令h′(x)=ex−a=0，解得x=lna，

当x∈(−∞,lna)时，h′(x)<0，故h(x)在(−∞,lna)上单调递减，

当x∈(lna,+∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(lna,+∞)上单调递增，

若函数h(x)=ex−ax−a有两个零点，

则h(lna)=elna−alna−a<0，解得a>1，

当a>1时，h(−1)=1e>0，则函数h(x)在(−1,lna)上有一个零点，

当x→+∞，h(x)→+∞，则函数h(x)在(lna,+∞)上有一个零点，

若x=0是函数h(x)=e