上海市黄浦区2026届高三二模考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市黄浦区2026届高三二模考试数学试卷一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。1.若a，b是空间中的两条直线，则“a//b”是“存在平面α，使a⊂α，b⊂α”的(    )．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.变量x，y之间的一组相关数据如表所示：若x，y之间的线性回归方程为y=bx+12.28，则bx4567y8.27.86.65.4A.−0.92 B.−0.94 C.−0.96 D.−0.983.设函数y=f(x)的定义域为R，则下列结论： ①若y=f(x)是奇函数或偶函数，且在区间[0,+∞)上严格增，则对任意的x1，x2∈R，f(x1)>f(x2)⇒x12>x22或A. ①和 ②均正确 B. ①正确， ②错误

C. ①错误， ②正确 D. ①和 ②均错误4.若无穷数列{an}的首项为1，且对任意的n∈N∗，{an}的前n项和都可以表示成{an}的两项之差，则称{anA.任意一个T数列均不是等差数列 B.任意一个T数列均不是等比数列

C.T集中含有且仅含有有限个等差数列 D.T集中含有无穷多个等比数列二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.若A=[−1,1]，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=

．6.若直线3x+y−2=0与x−ay+1=0垂直，则a的值为

．7.底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为

．8.在公比q为正数的等比数列{an}中，a2+a4=60，9.在(x−2)6的展开式中，含x4项的系数为

10.如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图(茎为十位，叶为个位)，则这些测验分数的第80百分位数是

．11.已知tanα<0，且cos(π2+α)=212.在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知|z|=3，|w|=5，u=z+w，且|u|=7，则向量OP与OQ的夹角为

．13.某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为

．14.已知曲线Γ1:y2=2px(p>0)与曲线Γ2:y2a2−x2b2=1(y>0)交于两点P，Q15.在空间直角坐标系O−xyz中，将点集{(x,y,z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}，所表示的立方体的表面满足z<1的部分记为S，同时满足“|OP|≤3”与“{Q|OQ=λOP,λ∈[0,1]}∩S=⌀或16.如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处.现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施(其占地大小忽略不计)，将△OCD的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为

．

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车.根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8;若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4.假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．(1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率;(2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率;(3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望E[X]和方差D[X]．18.(本小题14分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D(1)求证：平面ADE⊥平面BC(2)若△ABC是正三角形，BC=CC1，且三棱柱ABC−A1B1C1的体积是三棱锥E−ADC19.(本小题14分)已知fx(1)求函数y=fx(2)将函数y=fx的图象上的所有点沿向量n=θ,10≤θ≤π2平移，得到y=gx的图象．若y=gx同时满足：①图象关于点A−3π20.(本小题18分)已知点F1、F2分别是曲线Γ:x26+y22=1的左、右焦点，动直线l过点(1)求点F1、F(2)若F2P⋅(3)设直线l1过点F1且与l垂直，直线l2:x=m与l1的交点为T，求证：存在唯一的常数m，使得点T与Γ的中心的连线平分线段21.(本小题18分)对于公共定义域为D的函数y=fx与y=gx，定义集合(1)若fx=x2−(2)若fx=ex，gx(3)已知y=fx是定义在0,+∞上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数x0，使得fx0>0.若gx=−fx，hx=参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.[0,1]

6.3

7.2π38.129.60

10.76

11.1312.π313.2314.315.20+216.7501517.解：在本周某天，设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B．

(1)由P(B|A)=0.8，P(B|A)=0.4，P(A)=0.25，P(A)=0.75，

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.25×0.4+0.75×0.8=0.7，

故小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7．

(2)由P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=0.75×0.80.7=67，

故小明出发时不下雨的概率为67．

(3)由题意知X∼B(3,0.7)，

则P(X=0)=C30·0.18.(1)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，

又AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，

又AD⊥DE，CC1与DE为平面BCC1B1内的两条相交直线，

∴AD⊥平面BCC1B1，

又AD⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCC1B1．

(2)解：由AD⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，可知AD⊥BC，

又因为△ABC是正三角形，所以BD=DC．

设BC=CC1=2，

由VABC−A1B1C1=12VE−ADC，S△ABC=2S△ADC，

可得2S△ADC⋅2=12⋅13⋅S△ADC⋅CE，故CE=1，

以A为原点，以过A且与BC平行的直线为x轴，AD，AA1分别为y19.解：(1)因为fx所以函数y=fx的最小正周期为2π由2kπ−π2≤2x+所以函数y=fx的单调增区间为kπ−(2)由(1)知fx将函数y=fx的图象上的所有点沿向量n=θ,1所以gx由y=gx的图象关于点A−3π所以−π2−2θ=kπ又0≤θ≤π2，可知θ=π当x∈0,a时，2x−由②知5π2<2a−π故a的取值范围是11π8

20.解：(1)椭圆Γ的半焦距c=6−2=2，故F(2)由题意可知直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x=ty−2，设Px1,将x=ty−2代入x26+y2故y1+y又F2P=F=t2+1所以直线l的方程为x+y+2=0或x−y+2=0．(3)设线段PQ的中点为Nx0,y0，由(2)直线ON的斜率k1易知直线TF1的方程为将x=m代入直线TF1的方程tx+2直线OT的斜率k2因为直线OT平分线段PQ，则k1=k2，所以则m+2m=1故存在唯一的常数m，使得OT平分线段PQ．此时PQ=TF1=令1+t2=z，则z∈1,+∞，故PQ所以PQTF1

21.解：(1)由题意，fx因为x−12≥0，所以当x=1

时，等号成立．故Ef−g(2)令φx由题设可知，φx的值域为非负实数集，从而其最小值为0设x=t

时取到最小值，则t>p，且φt=0因为φ′x=e又由φt=0，得et从而q−p=e由et=1t−p

令u=t−p>0，则q−p=u+1u≥2.当且仅当此时t−p=1，由et=1t−p

得t=0，于是p=−1，又q=e0−ln(3)法一：由Ef−h={0}可知，对任意x∈(0,+∞)，都有而hx=12已知存在正数x0，使得f对任意整数k，令lk由式(1)可得12k+1f所以l(k)为常量，即对任意k∈Z，都有lk于是f2k下面证明f(0,+∞)先证f(x)>0对任意x>0都成立．

任取x>0，必存在k∈Z，使2k因为f在(0,+∞)上为增函数，所以fx故对任意x>0，都有fx>0.再由式(2)知fx02由于f的图像是连续曲线，且f在(0,+∞)上单调递增，因此f的值域为0,+∞．又因为gx=−f当f(x)取遍(0,+∞)时，2f(x)也取遍(0,+∞)．

故Ef−g法二：由Ef−h={0}

可知，对任意x>0，都有而hx=12已知存在正数x0，使得f先证明：对任意整数n，都有f2n当n∈N∗时，由式(1)反复应用可得当n=0时，显然f2当n<0时，设n=−m(m∈N∗)，则由式(1)故f2反复使用上式可得f2所以式(2)对任意整数n都成立．由式(