专题1 指对幂函数比较大小（讲义）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题1指对幂函数比较大小指数、对数与幂函数比较大小的常用方法：（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

题型1：直接法比较大小例1．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】，，．故选：．例2．（2023·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.例3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（

）A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c【答案】A【解析】令，则，∴在上单调递增，，即，∴，又，，∵，，，故，∴．故选：A．例4．（2024·安徽淮北·统考一模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三角函数的单调性和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为，注意到，.又，所以.故选：A.1．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，，，故选：．2．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故选：D.3．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的知识求得正确答案.【详解】，，，函数在上单调递增，所以，综上所述，.故选：B4．（2023·陕西商洛·统考一模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断的范围，即可得答案.【详解】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数，故，所以,故选:D

题型2：利用指数、对数与幂的性质的化简比较大小例5．（2022•天津）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为是定义域上的单调增函数，所以，即；因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；因为是定义域上的单调增函数，所以，即；所以．故选：．例6．（2021·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用分数指数幂计算，对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得.【详解】，又，所以a，b，c的大小关系是.故选：A例7．（2023·全国·模拟预测）设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：将已知数转化为指数、对数的形式，然后利用指数函数或者对数函数的单调性比较大小；解法二：将已知数转化为同一结构的形式，然后构造新的函数，利用函数的单调性求解.【详解】解法一：由题可知a，b，c均为负数，设，则，所以，（根据函数与的图象知，当时，，故）由得；，由得.所以，故选：D.解法二：设，则，所以，设，则，当时，，故在上单调递增，又易知，所以，所以，又，所以，故选：D.例8．（2023·江西赣州·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性，结合媒介数比较大小即得.【详解】依题意，，，而，所以.故选：D1．（2024·全国·模拟预测）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．【详解】由，则，又，且，所以．故选：A．2．（2023·四川成都·校联考一模）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据指对函数的单调性可得，，，再作商比较的大小，从而可求解.【详解】因为，，令，而，即，所以，又因为，所以.故选：D3．（2023·吉林·统考一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】由单调递减可知：，即；由单调递增可知：，即所以.故选：D.4．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为在R上单调递增，且，所以；因为在R上单调递减，且，所以；因为在上单调递增，且，所以．综上所述，，故选：A．

题型3：作差法与作商法例9．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用作差法，结合基本不等式判断大小，再构造函数判断与的大小关系即可.【详解】对，因为，即，所以，即；对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.故选：C例10．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【解析】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D例11．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系.【详解】因为，所以；又因为，所以；综上所述：.故选：C.1、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，所以，，即，则，，因此，.故选：D.2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故选：D．3．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.【详解】因为函数在R上单调递增，所以．又，所以．因为，故在上单调递减，所以，所以，所以实数的大小关系为，故选：B．

题型4：构造函数比较大小例12．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（

）A．b＞c＞a B．a＞b＞cC．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】D【分析】由对数函数的性质可比较出的大小，再构造函数，利用导数求出其单调区间，从而可比较出的大小和的大小，从而可得结果【详解】，，由于，所以，设，则，当时，，当时，，所以f（x）在单调递增，在上单调递减，所以，即，即，所以，得：，即，又，所以，得：，即，综上：，故选：D例13．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增，在处取最小值（1），，且，，，；，，，；设，则，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，当时，，单调递增，，，，．故选：．例14．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考期中）已知，则的大小为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.例15．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对b放缩可得，构造，利用导数讨论单调性可得，再构造，，利用二次导数研究其单调性可比较a，c，然后可得答案.【详解】因为，所以．构造函数，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即．构造函数，，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，即．综上，．故选：B．【点睛】本题难点在于函数得构造，构造函数时经常需要利用同构函数、放缩法，构造差函数等，然后利用导数研究单调性，由单调性比较即可.1、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数及，再利用单调性可求解【详解】由，，可得，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，所以，所以在上单调递减，从而，所以，即，从而可知.由，,可得，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，所以，所以在上单调递减，从而，所以，即，从而可知.综上可得.故选：C2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）设，，，则（

）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】D【解析】由，，，得，，，构造函数，则，当时，x＝1，时，，单调递减；时，，单调递增，在x＝1处取最小值，时，，即，取，得，，，即；设，则，令，，因为当时，令，，单调递减，又时，，则，即，所以，因为当时，，所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，所以当时，函数单调递增，所以，即，，即，.故选：D3．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造、利用导数研究单调性，即可