上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a､b∈R，则“lna>lnb”是“ea−bA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X∼Nμ1,σ12，乙班成绩Y∼NA.μ1<μ2且σ1<σ2 B.μ3.设ω>0，函数y=32cosωx+12sinA.0,12 B.13,124.设m∈R.定义点Pm,12m−1的t−相伴集合为AP−t=x,y∣①若m=0，则其1−相伴集合AP−1所对应平面图形的面积为2②设t0>0，若对任意实数m及任意t≤t0，集合AP−t则正确的选项是(

)A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题

C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式1x−2>0的解集为

．6.函数y=2x−1的零点是

7.计算：i=1+∞12i=8.若函数y=fx在x=x0处的切线方程为y=2x−1，则limh→09.若幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是严格减函数，则实数α的取值范围是

．10.若tanα−β=23,tanβ=111.若x+1xn的二项展开式中，第5项为常数项，则n=

12.已知向量a､b，其中b=3，a在b方向上的投影向量是29b，则a13.已知实数a1､a2､a3､a14.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)=13,P(B|A)=3515.已知复数w1,w2满足w1−w2=4w1−w2，记满足z−16.如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为θ的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为45∘的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为Lθ米的“农药条带”.当0∘≤θ≤15∘时，Lθ的最大值为

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，CD⊥AD,CD=4,AB=AD=2．(1)求证：PB⊥CD；(2)若四棱锥P−ABCD的体积为43，求直线PD与平面PBC18.(本小题15分)为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆(如健身房､体育中心)和社区公共运动场(如小区健身点､街心公园)两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组(≥18岁且<40岁)和中老年组(≥40岁)，从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的2×2列联表：青壮年中老年合计商业健身场馆60社区公共运动场50合计80170(1)请补充2×2列联表，并根据表中数据判断能否有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；(2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X的分布和数学期望．参考公式及数据：χ2=n(ad−bcP0.10.050.0250.010.0050.001χ2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(本小题15分)已知函数y=fx，其中fx=(1)设gx=2x，写出函数y=fx(2)设gx=log2x.若关于x的方程20.(本小题18分)已知无穷数列λn为严格增数列，且λn>0.双曲线Cn的方程为x2−y(1)若λ1=1，求双曲线(2)若λ1=1,λ2=2，且点T(3)已知直线AnBn过双曲线Cn+1的右顶点.若Bn在双曲线Cn的右支上，则称弦AnBn为双曲线Cn的“同支弦”，否则称其为双曲线Cn的“异支弦”.是否存在等差数列21.(本小题18分)已知函数y=fx与函数y=gx的定义域均为R，且在R上的导函数分别为f′x和g′x.若存在常数k，使得对任意实数x,g′x≥k⋅f′x(1)设fx=cosx,gx=2x.求证：(2)设fx=x2,gx=ex+bx.若存在实数(3)已知y=gx是y=fx的“1−调整函数”，函数y=gx的值域是一个闭区间，记作集合P，函数y=fx的值域记作集合Q.若P⊆Q，判断参考答案1.A

2.C

3.C

4.D

5.2,+∞

/x6.0

7.1

8.2

9.(−∞,0)

10.5

11.8

12.2

13.342514.7915.[0,8]

16.6.93

17.解：(1)取CD的中点E，连接PE,BE，因为AB//CD，CD=2AB=4，则DE=AB=2，所以四边形ABED是平行四边形，又CD⊥AD，四边形ABED是矩形，所以BE⊥CD，▵PCD为等边三角形，E为CD的中点，所以PE⊥CD，BE∩PE=E，BE,PE⊂平面PBE，所以CD⊥平面PBE，PB⊂平面PBE，所以CD⊥PB．

(2)梯形ABCD的面积为12设四棱锥P−ABCD的高为h，体积为13得h=2所以PE⊥平面ABCD，以EB,EC,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E−xyz，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2设面PBC的法向量为n=(x,y,z)，PB=(2,0,−23n取z=1,x=则n=(3,设直线PD与平面PBC所成角为θ，sinθ=直线PD与平面PBC所成角的大小为arcsin

18.解：(1)根据已知数据计算空缺值，得到完整2×2列联表如下：青壮年中老年合计商业健身场馆6040100社区公共运动场205070合计8090170χ2=17060×50−40×20因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关．(2)选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为1470因此抽取的样本中青壮年人数：20×15=4设抽取的7人中中老年人数为m，则青壮年人数为7−m，X=m−因为青壮年共4人，故7−m≤4，解得m≥3，又m≤7，因此m=3,4,5,6,7，对应X的可能取值为1,3,5,7．总情况数为C14X=1(对应m=3或m=4)时，PX=1X=3(对应m=5)时，PX=3X=5(对应m=6)时，PX=5X=7(对应m=7)时，PX=7因此，X的分布列为：X1357P4063355所以E

19.解：(1)由题意知：fx分母不等于0得：a−2解得：x≠log所以函数y=fx的定义域为x|x≠lo要使函数y=fx则log2a=0当a=1时，fx=1+此时f−x所以存在正数a=1，使得函数y=fx(2)由题意知：fx则fx=gx等价于2a−1+log2化简得：log令t=log2x原命题等价于：t2①方程有两相等实根，且不等于a，所以Δ=(1−a)化简得：a2解得：a=5±2验证根是否等于a，当a=5+25时，根当a=5−25时，根②方程有两不等实根，且其中一个根为a，则将t=a代入方程：a2当a=13时，此时方程为解得：t=13(舍)综上所述：正数a的取值为a=13或a=5−2

20.解：(1)当λ1=1时，双曲线C1的方程为x根据双曲线渐近线方程y=±bax根据c2=a2+b2(2)设A1x1,y1,A2在双曲线C2:已知点Tt,0为线段A1A因为x1≥1,x2≥2即实数t的取值范围是32(3)Cn的右顶点为若直线AnBn的斜率为0，此时Anλ若直线AnBn的斜率不为0，设直线AnB得t2当t2−1≠0设AnxAn设t2−1=a，则当AnBn为异支弦时，y1y所以AnBn当AnBn因为−λn+12所以同支弦长最小值为2λn+12−若λn是等差数列，设公差为d>0，则一定存在一个充分大的n，使此时2λn

21.解：(1)因为fx所以f′x所以2⋅所以y=gx是y=fx的“(2)由fx=x由于y=gx是y=fx的“k−调整函数”，那么存在常数k，使得即ex+b≥k2x因为存在实数b∈−2,−1，满足上式，所以−1≥2kx−1)若x=0，则ex2)若x<0，则2kx≤ex−1<0设hx=ex+2kx−1,x<0当−