专题7.10 随机变量及其分布（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列

【人教A版（2019）】一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P解.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(AiB).(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.称X为随机变量.②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.空数集到非空数集的一一对应.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…,xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=Xx1x2xnPp1p2pnpn=1.第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.1,A0,A对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P(A)=1-p，那么1,A0,AX01Pp发生,发生.我们称X服从两点分布或0—1分布.一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：Xx1x2xnPp1p2pn期望，它反映了随机变量取值的平均水平.①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.③均值与随机变量有相同的单位.若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称D(X)(xiE(X))2PI(X2E(X))2P2···(xnE(X))2pn量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为O(X).n(xiE(x))2pi为随机变i=1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX当b=0时，D(aX)=2D(x).一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.②各次试验的结果相互独立.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.若随机变量X服从超几何分布，则其均值Enp.②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.函数fx∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为x~N(u,o2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P