数值积分法在系统仿真中的应用

3.1连续系统仿真中惯用数值积分法…………….3.2刚性系统特点及算法………….3.3实时仿真法……….3.4分布参数系统数字仿真……….3.5面向微分方程仿真程序设计….本章小结……………….第三章数值积分法在系统仿真中应用第1页3.1连续系统仿真中惯用数值积分法1.数值积分法假如已知某一系统一阶向量微分方程为对式子(3.1),数值积分可写成统一公式（3-1）（3-2）第2页几个惯用积分法欧拉法欧拉法几何意义改进欧拉法亚当斯法(隐式)龙格-库塔法亚当斯法(显式)第3页误差

t

欧拉法即使计算精度较低，实际中极少采取，但器推倒简单，能说明旧够数值解法普通计算公式基本思想。（3-3）图3.1矩形近似及其误差0欧拉法第4页t

图3.2欧拉折线欧拉法几何意义十分清楚。称为欧拉折线法。欧拉法几何意义第5页图3.3梯形近似及其误差在推导时用图中阴影面积来近似式(3.3)时，因为梯形公式中隐含有待求量，通常可用欧拉法开启初值，算出近似值，然后带如微分方程，最终利用梯形公式求出修正。为提升精度，简化计算，只迭代一次。这么可得改进欧拉公式：t0（3-8）第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。改进欧拉法第6页龙格-库塔（RK）法普通形式为（3-10）（3-9）式中泰勒级数龙格-库塔法第7页（3-11）而4阶龙格-库塔法式使用较多一个方法，其公式以下第8页在处理积分问题时，采取亚当斯-贝喜霍斯显示多步法，简称亚当斯法。依据牛顿后插公式（3-25）（3-26）亚当斯法(显式)第9页亚当斯多步法计算公式是（3-27）（3-28）其中（k=1时可得欧拉公式）第10页当k=2时，得到亚当斯多步法计算公式，(3-28)式各系数为（3-29）第11页故可得三阶亚当斯公式整理上式得（3-30）第12页牛顿前插公式为（3-32）（3-31）亚当斯法(隐式)第13页（3-35）（3-34）惯用四阶亚当斯预测-校正法计算公式为

仿照显式多法推倒过程，得亚当斯-摩尔顿隐式多步法计算公式（3-33）第14页3.2刚性系统特点及算法一个刚性系统能够这么描述，对于n阶微分方程组作为系统刚性程序度量。（3-36）第15页

当时，系统为刚性系统，或称为stiff系统。对与这么系统作做数字仿真，其最大迷惑是：积分步长由最大特征值来确定，最小特征值决定数值求解总时间。

刚性系统在时间中普遍性和主要性已得到广泛重视，这种方程数值解已成为常微分方程数值研究重点。当前解刚性方程数值方法基本分为：显式公式隐式公式预测校正第16页

显式公式惯用雷纳尔法。其中着眼点是，在确保稳定前提下，尽可能地扩大稳定区域。这一方法优点是，它是显式，所方便于程序设计。对普通好方程设计。对普通条件好方程，它就还原为四阶龙格-库塔方法，而对刚性方程它又有增加稳定性好处。

众所周知，隐式公式都是稳定，故都大于解描述刚性系统方程组，如隐式龙格-库塔法。但这种方法每计算一步都要进行迭代，故计算量大。在工程上使用又一定捆年。所以在解刚性方程时，常Rosenbrock提出半隐式龙格-库塔法。

预测-校正型中惯用解刚性方程方法式Gear算法。Gear首先应引进刚性稳定性概念，它能够满足稳定型，而减低对h要求。Gear方法是一格通用方法，它不但使用于解刚性方程组，而且也适合用于解非刚性方程组。第17页3.3实时仿真法假设仿真连续动力学由非线形常微分方程描述为：（3-37）（3-38）对(3-37)式采取二阶龙格-库塔公式求解，其递推方程可写为F为函数，外部输入为u(t)。第18页图3.6RK-2计算流程第19页

（1）选择Adams多步法。（2）合理地选择龙格-库塔法计算公式中系数，使之适合用于实时仿真。

为了适合用于实时仿真计算，普通经常采取以下方法：（3-39）第20页1图3.6实时RK-2计算流程其流程图如图3-7：第21页（3-40）下面为一个高阶龙格-库塔法计算公式第22页（3）利用已经取得值进行外推。（3-41）采取外推算法不但会带来附加误差，还要增加计算量，所以比较下来还是选择实时算法为佳。第23页本章小结(2)在系统仿真中，惯用微分方程数值积分发有欧拉法、龙格-库塔法和线性等分法等。数值积分法分类方式很多，常见有：单步法和多步法，显式和隐式分法。使用这些解法时，要注意其特点。(1)系统动态特征通常是用高阶微分方程或一阶微分方程组来描述。普通讲