2025-2026学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则a10=（）A.14 B.15 C.16 D.182.已知数列{an}满足，则a2026的值为（）A.2 B.1 C. D.-13.已知数列{an}为等比数列，若a1=2，a5=32，则a3的值为（）A.±8 B.8 C.16 D.±164.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S6=14，则S4=（）A. B.4 C.6 D.-4或65.设函数f（x）在x=x0附近有定义，且有（其中a,b为常数），则有（）A.f′（x）=a B.f′（x）=b C.f′（x0）=a D.f′（x0）=b6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题，其中正确的是（）A.d＞0 B.S11＞0

C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S117.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，根据图中的规律，第2021行从右至左第1010个数为（）A.3030

B.1010×2021

C.1010×2022

D.2020×20228.定义“下凹数列”满足下列2个条件：①；②an+1-an＜an+2-an+1.设Sn为下凹数列{an}的前n项和，已知a1=1，a2=2，若Sn≤100，则n的最大值为（）A.7 B.8 C.9 D.10二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（）A.当n=1时，命题的左边为1+1

B.当n=k时，命题的左边为1+2+3+⋯+k2

C.当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上增加的部分是（k+1）2

D.当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+⋯（k+1）210.下列叙述正确的是（）A.若等差数列{an}的公差d＞0，则数列{an}为递增数列

B.若等比数列{bn}的公比q＞1，则数列{bn}为递增数列

C.若b2=ac,则a、b、c成等比数列

D.若S2n-1是等比数列{cn}的前2n-1项和，则S2n-1=0无解11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列{an}满足a1=0，，则（）A.a3=4 B.a2024=1012×2024

C.此数列的前n项和为Sn=n（n-1） D.数列{（-1）nan}的前60项和为930三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=f（x）=3x+1在点x=2处的瞬时变化率为

.13.已知数列{an}满足a1=2，，则数列{an}的通项公式为an=

.14.数列{an}满足an+2+（-1）nan=3n-1，前16项和为540，则a1=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设等比数列{an}其前n项和为Sn，满足a1+a2=4，a3-a1=8.

（1）求S8的值；

（2）记Tn为数列{log3an}的前n项和，若Tm+Tm+1=Tm+3，求m.16.(本小题15分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）记，求数列{cn}前n项和Kn.17.(本小题15分)去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.（1）求数列和数列的通项公式；（2）为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）18.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n.

（1）求证：数列{an-2}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若不等式2λ-λ2＞（2n-3）（2-an）对任意的正整数恒成立，求实数λ的取值范围.19.(本小题17分)

给定正奇数n（n≥5），数列{an}：a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，定义E（a1，a2，…，an）=|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|为数列{an}：a1，a2，…，an的位差和．

（Ⅰ）当n=5时，求数列{an}：1，3，4，2，5的位差和；

（Ⅱ）若位差和E（a1，a2，…，an）=4，求满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数；

（Ⅲ）若位差和E（a1，a2，…，an）=，求满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】AD

11.【答案】ABD

12.【答案】3

13.【答案】

14.【答案】7

15.【答案】解：（1）设等比数列{an}的公比为q,

根据题意，有，解得，

所以；

（2）由（1）知，，令，

所以，

根据Tm+Tm+1=Tm+3，可得，

整理得m2-5m-6=0，

因为m＞0，所以m=6，

16.【答案】an=2n-1

17.【答案】解：（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，

所以数列{an}是以20（1+5%）为首项，1+5%为公比的等比数列，

数列{bn}是以6+1.5=7.5为首项，1.5为公差的等差数列，

则，bn=6+1.5n；

（2）设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn，

则Sn=（a1-b1）+•••+（an-bn）

=（a1+a2+•••+an）-（b1+b2+•••+bn）

=（20×1.05+20×1.052+•••+20×1.05n）-（7.5+9+•••+6+1.5n）

=

=，

当n=5时，Sn≈63.5，

所以今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．

18.【答案】证明详见解答；

an=-（）n-1+2；

实数λ的取值范围（，）．

19.【答案】解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；

（II）若数列{an}：a1，a2，…，an的位差和E（a1，a2，…，an）=4，有如下两种情况：

情况一：当ai=i+1，ai+1=i，aj=j+1，aj+1=j，且{ai，ai+1}∩{aj，aj+1}=∅，其他项ak=k（其中k∉{i，i+1，j，j+1}）时，有种可能；

情况二：当ai，ai+1，ai+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项ak=k（其中k∉{i，i+1，i+2}）时，有3（n-2）种可能；

综上，满足条件的数列{an}：a1，a2，…，an的个数为．

例如：n=5时，

情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；

情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；

形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；

形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4．

（III）将|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|去绝对值符号后，所得结果为±1±1±2±2±3±3±…±n±n

的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明：

=，

=．

此不等式成立是因为前面为减号的n个数最小为：2个1，2个2，…，2个和1个．

上面的讨论表明，题中所求的数列{an}：a1，a2，…，an是使得E（a1，a2，…，an）最大的数列，这样的数列在n=2k+1时，要求从1，2，…，n中任选一个数作为

ak+1，将剩余数中较大的k个数的排列作为a1，a2，…，ak的对应值，较小的k个数的排列作为ak+2，ak+3，…，a2k+1的对应值，

于是所求数列的个数为（2k+1）（k!）2．

综上，满足条件的数列的个数为

例如：n=5时，

E（a1，a2，a3，a4，a5）=．≤2（5+4）+3-3+2（2+1）=2[（5-2）+（4-1）]===

此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3．

若E（a1，a2，a3，a4，a5）=12，n=2k+1=5，此时k=2时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为a3，将剩余数中较大的2个数的排列作为a1，a2的对应值，

较小的2个数的排列作为a4，a5的对应值，于是所求数列的个数为5•（2!）2=2