广东省汕尾市2025-2026学年度第二学期教学质量监测九年级数学试题（含答案）

★启用前注意保密2025—2026学年度第二学期教学质量监测九年级数学试题本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个数中，最小的数是（）A．－2 B．|－4| C．－（－1） D．02．从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期9天（2月15日至23日），全市累计接待游客2540700人次，较2025年春节假期8天增长18.2%，实现旅游收入25.51亿元、增长27.6%．数据2540700用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（）A．（3，2） B．（2，－3） C．（－3，－2） D．（3，－2）4．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如题图所示是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（）A． B． C． D．5．下列各式中，错误的是（）A． B．±＝±3 C． D．6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140° B．130° C．110° D．100°7．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为（）A． B． C．2 D．9．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：15.3分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度．冰冰：庆庆：方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（）A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间10．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接BD，CD， 以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算：＝______．12．写出一条抛物线共有的性质：______．13．如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______．14．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为______cm．15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为______cm．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为．（1）求出曲线CD所在的函数关系式；（2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？17．下面是两位同学解方程组的做法：善善的做法：由方程①，得x＝y＋4③．将方程③代入②，得：3（y＋4）＋2y＝7，解得y＝－1．把y＝－1代入③，得x＝3．∴方程组的解为美美的做法：由①×2，得2x－2y＝4③．由②＋③，得5x＝11，解得．把代入①，得．∴方程组的解为请认真阅读并完成下面的问题：（1）善善的消元方法是______；美美的消元方法是______．（2）判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点P．（1）用尺规作图法作线段BC的中点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，连接PD．求证：PD是⊙O的切线．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．90≤x≤100，B．80≤x＜90，C．70≤x＜80，D．60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息．八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88．八、九年级被抽取的学生测试得分统计表年级平均数众数中位数八年级88a90九年级8894b根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中的a＝______，b＝______，m＝______．（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可）（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？20．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．命题1：BE＝DF．命题2：连接DE，BF，若AC＝2BD，则四边形DEBF是矩形．命题3：连接DE，BF，若AB＝BC，则四边形DEBF是菱形．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．21．现有一台红外线理疗灯（如－1图所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成．A，B，C三点在同一直线上．－2图是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．（1）填空：∠1＝______°，∠2＝______°；（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：）五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．22．－1图、－2图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你解答：（1）【问题一】如－1图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．交AB于点E．交BC于点F．则AE与BF的数量关系为________．（2）【问题二】受－1图启发，兴趣小组画出了－3图：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n．若正方形ABCD的边长为8，试猜想四边形OEAG的面积，并写出解答过程．（3）【问题三】受－2图启发，兴趣小组画出了－4图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．23．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．【举例】例如：点A（1，3）在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2．函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1．当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．【理解与运用】根据定义，解答下列问题：（1）点B（－6，2）的“纵横值”为______；若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5，则c的值为______．（2）若二次函数的顶点在直线上，且“最优纵横值”为5，求m的值．（3）若二次函数的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．2025—2026学年度第二学期教学质量监测九年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．A2．A3．D4．D5．A6．A7．C8．B9．B10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．0 12．顶点是（0，0）（或对称轴是y轴）（答案不唯一）13． 14．3.615．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．解：（1）设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0）．把点C（25，40）代入，得k＝1000．∴曲线CD所在的函数关系式为．（2）当时，．当时，．∵，∴第30min时学生的注意力更集中．17．（1）代入消元法加减消元法（2）解：美美正确解答如下：由①×2，得2x－2y＝8③．由②＋③，得5x＝15，解得x＝3．把x＝3代入①，得y＝－1．∴方程组的解为18．（1）解：如－1图，点D即为所求．（2）证明：如－2图，连接PD，OP，BP．∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°．∴∠CPB＝90°．∵点D为BC的中点，∴PD＝CD＝BD．∴∠DPB＝∠DBP．∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP．∴∠OPD＝∠OPB＋∠DPB＝∠OBP＋∠DBP＝∠ABC＝90°．∵OP为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．（1）9387.530（2）解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高．理由如下：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，八年级的中位数高于九年级（答案不唯一，合理即可）．（3）解：根据题意，得（人）．答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人．20．解：命题1、命题2、命题3都是真命题．具体证明如下：命题1：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC．∴∠BAE＝∠DCF．∵E，F分别是OA，OC的中点，∴AE＝OA，CF＝OC．∴AE＝CF．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴BE＝DF．命题2：如图，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC．∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OA，OF＝OC．∴OE＝OF．∴四边形DEBF是平行四边形．∵AC＝2BD，∴EF＝BD．∴四边形DEBF是矩形．命题3：如上图，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，OD＝OB，OA＝OC．∴AC⊥BD．∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OA，OF＝OC．∴OE＝OF．∴四边形DEBF是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形．（判断命题是真命题得1分，正确证明一个命题得4分）21．（1）6453（2）解：如图，延长AC交l于点G，延长ME交l于点H．∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，∴∠HED＝37°．在Rt△EDH中，DE＝30cm，，∴EH＝DE·cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）．∵EM＝50cm，∴MH＝EM＋EH≈50＋24＝74（cm）．∴AG＝MH≈74cm．∵AC＝AB＋BC＝12＋26＝38（cm），∴CG＝AG－AC≈74－38＝36（cm）．在Rt△CGD中，∠GCD＝90°－∠1＝26°，，∴（cm）．答：此时理疗灯灯帽D的高度约为74cm，伸缩杆CD的长度约为40cm．（直接写出伸缩杆的长度即可得2分）五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．22．（1）AE＝BF（2）猜想四边形OEAG的面积为16．如－1图，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R．∵点O是正方形ABCD的对称中心，∴AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD．又∵∠A＝90°，∴四边形ATOM是正方形．∴．易证△OME≌△OTG（ASA）．∴．（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形．①当∠AFP＝90°时，如－2图，延长EF，AD相交于点Q．∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°．∴四边形ABEQ是矩形．∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E