江西新余一中宜春中学2024届第二学期高三年级期中考试数学试题试卷

江西新余一中宜春中学2023届第二学期高三年级期中考试数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．若数列满足且，则使的的值为()A． B． C． D．3．下列命题是真命题的是（）A．若平面，，，满足，，则；B．命题：，，则：，；C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（）A．0 B．1 C． D．5．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交6．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．8．已知不重合的平面和直线，则“”的充分不必要条件是（）A．内有无数条直线与平行 B．且C．且 D．内的任何直线都与平行9．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．10．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．11．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量满足，，则______________.14．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.15．已知向量，，，若，则______.16．等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的定义域为,求实数的取值范围．18．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求．19．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：市场：需求量（吨）90100110频数205030市场：需求量（吨）90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.（1）求的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.20．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．组别频数（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．附：，若，则，，.21．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.22．（10分）在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若的面积为，求的周长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．2．C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．3．D【解析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；命题“：，”的否定为：，，故B错误；为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.4．A【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.5．D【解析】

通过条件判断直线l与平面α相交，于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α，且l⊄α可知直线l与平面α相交，于是ABC错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.6．A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.7．A【解析】

化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。8．B【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行，则相交或，排除；B.且，故，当，不能得到且，满足；C.且，，则相交或，排除；D.内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.9．D【解析】

利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为，，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.10．B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.11．B【解析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．12．B【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.14．【解析】

根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.【详解】因为，又当时，，即.当时，显然成立；当时，由等价于，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，则，又，得，因此的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．-1【解析】

由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．【详解】由已知，∵，∴，．故答案为：－1．【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．16．4【解析】

根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意得:，则整理得，，所以故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)(2)【解析】

（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．【详解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集为．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可，又，当且仅当时取等，只需最小值，即．所以实数a的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．18．（1）;（2）．【解析】试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.试题解析：（1）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，又，即，∴，故．19．（1）；（2）吨，理由见解析【解析】

（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.【详解】（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则，，，，，，；（2）可取180，190，200，210，220，当时，当时，.，时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.20．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】（1）由题意可得，易知，，，；（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.21．（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理