2026年(通信工程)数字信号处理试卷及答案

2026年(通信工程)数字信号处理试卷及答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1对连续时间信号x(t)=cos(2π·1000t)以8kHz采样，其离散序列x[n]的归一化数字频率ω为A.π/4 B.π/2 C.π/8 D.π/16答案：A1.2已知实序列x[n]的8点DFT为X[k]，则X[0]必为A.纯虚数 B.实数 C.零 D.无法确定答案：B1.3下列哪种窗函数主瓣宽度最窄A.矩形窗 B.汉宁窗 C.汉明窗 D.布莱克曼窗答案：A1.4一线性时不变系统差分方程y[n]−0.5y[n−1]=x[n]，其单位脉冲响应h[n]为A.(0.5)^nu[n] B.δ[n]−0.5δ[n−1] C.(0.5)^{n−1}u[n−1] D.u[n]答案：A1.5对序列x[n]=[1,2,3,4]做4点FFT按时间抽取，第一级蝶形输入顺序为A.[1,2,3,4] B.[1,3,2,4] C.[1,4,2,3] D.[1,2,4,3]答案：B1.6若模拟低通原型H_c(s)=1/(s+1)，用双线性变换法设计数字低通，T=1ms，则3dB截止数字频率ω_c约为A.0.5π B.0.25π C.0.1π D.0.8π答案：B1.7对实信号采样率32kHz做1024点FFT，频率分辨率Δf为A.31.25Hz B.15.625Hz C.62.5Hz D.7.8125Hz答案：B1.8下列关于FIR线性相位滤波器的说法错误的是A.群时延为常数 B.零点共轭倒数成对 C.阶数必为奇数 D.可实现严格线性相位答案：C1.9量化步长为Δ的均匀量化器，输入信号功率σ_x^2，则信噪比SNR≈A.6.02b+10log10(σ_x^2/Δ^2)B.6.02b−10log10(σ_x^2/Δ^2)C.6.02b+1.76 D.6.02b−1.76答案：A1.10多速率系统中抽取因子为3，为防止混叠，前置抗混叠滤波器截止频率应满足A.≤π/3 B.≤π/6 C.≤π/2 D.≤π答案：A2.多项选择题（每题3分，共15分；多选少选均不得分）2.1下列关于z变换收敛域(ROC)的描述正确的是A.右边序列ROC为最外层极点之外 B.左边序列ROC为最内层极点之内 C.双边序列ROC为环状 D.有限长序列ROC为整个z平面可能除0或∞ E.ROC内不能包含任何极点答案：ABCDE2.2下列运算能够提高FFT计算效率的是A.按频率抽取 B.原位运算 C.旋转因子预存表 D.分裂基算法 E.增加字长答案：ABCD2.3关于IIR滤波器级联型实现，正确的是A.极点灵敏度低 B.便于分别控制零极点 C.有限字长稳定性优于直接型 D.需要更多乘法器 E.适合高阶滤波器答案：BCE2.4下列属于多速率信号处理典型应用的是A.子带编码 B.数字下变频 C.采样率转换 D.过采样ADC E.语音增强谱减法答案：ABCD2.5下列关于DFT与DTFT关系的说法正确的是A.DFT是DTFT的采样 B.采样点数为N则频域采样间隔2π/N C.时域补零可提高DTFT分辨率 D.频域采样造成时域周期延拓 E.时域采样造成频域周期延拓答案：ABDE3.填空题（每空2分，共20分）3.1序列x[n]=e^{j(π/3)n}的周期N=________。答案：63.2已知h[n]=[1,−1]与x[n]=[1,2,3]线性卷积结果长度为________。答案：43.3用窗函数法设计FIR低通，截止ω_c=0.3π，要求过渡带宽≤0.04π，选用汉明窗，所需滤波器阶数M≈________。答案：3.3π/0.04π≈82.5→833.48点基2FFT复乘次数为________。答案：123.5对模拟信号x(t)=5cos(2π·500t)+3cos(2π·1500t)以fs=2kHz采样，若用1024点FFT分析，其离散谱线出现的位置k=________与________。答案：256,7683.6已知系统函数H(z)=1/(1−0.9z^{−1})，输入为零均值白噪声，输出功率谱密度在ω=0处值为________。答案：σ_x^2/(1−0.9)^2=100σ_x^23.7双线性变换中频率预畸公式ω_a=________tan(ω_dT/2)。答案：2/T3.8抽取因子D=4后，输出采样率变为原来的________。答案：1/43.9线性相位FIR滤波器h[n]对称中心τ=________。答案：(M−1)/23.1016位定点处理器Q15格式可表示的最小负数（十进制）为________。答案：−14.简答题（每题6分，共30分）4.1简述时域采样定理，并给出带通信号采样频率选择的最低允许值公式。答案：若基带信号最高频率f_m，则采样率f_s≥2f_m；对带通信号位于[f_L,f_H]，带宽B=f_H−f_L，允许最低f_s=2B(1+k/M)，其中k=f_L/Bmod1，M=⌊f_L/B⌋。4.2解释频谱泄漏产生原因，并给出两种抑制措施。答案：因有限长截断相当于加窗，窗谱与信号谱卷积导致能量扩散。措施：1.选用旁瓣低的窗函数；2.增加观测长度提高频率分辨率。4.3比较IIR与FIR滤波器在稳定性、相位、阶数三方面的差异。答案：IIR可能不稳定（极点需单位圆内），相位非线性，阶数低；FIR必稳定，可严格线性相位，阶数高。4.4写出Goertzel算法计算DFT单点X[k]的递推公式，并说明其优势。答案：v_k[n]=x[n]+2cos(2πk/N)v_k[n−1]−v_k[n−2]，X[k]=v_k[N]−W_N^kv_k[N−1]；优势只需实乘，适合计算少量频点。4.5说明多速率系统中“多相分解”作用，并给出抽取器多相实现结构框图描述。答案：将滤波器H(z)分解为E_0(z^D),…,E_{D−1}(z^D)，使运算在低采样率侧完成，计算量降为1/D；结构：输入→串并转换→D个子滤波器E_i(z)→相加→输出。5.计算与分析题（共75分）5.1（10分）已知x[n]=[1,2,3,4]，求其4点DFTX[k]，并用IDFT验证。答案：X[k]=∑_{n=0}^3x[n]e^{−j2πkn/4}X[0]=10,X[1]=−2+2j,X[2]=−2,X[3]=−2−2jIDFT：x[n]=1/4∑X[k]e^{j2πkn/4}得原序列，验证正确。5.2（12分）系统差分方程y[n]=x[n]+0.5x[n−1]−0.5y[n−1]。(1)求系统函数H(z)；(2)画出极零图；(3)判断稳定性；(4)求幅频响应|H(e^{jω})|。答案：(1)H(z)=(1+0.5z^{−1})/(1+0.5z^{−1})=1，零极点对消，ROC全z面。(2)无零极点。(3)稳定。(4)|H(e^{jω})|=1，全通。5.3（13分）用双线性变换法设计一阶数字低通，3dB截止数字频率ω_c=0.2π，T=1ms。(1)求模拟原型H_a(s)；(2)预畸后模拟截止Ω_c；(3)得数字系统H(z)；(4)写出差分方程。答案：(1)一阶ButterworthH_a(s)=Ω_c/(s+Ω_c)(2)Ω_c=2/Ttan(0.1π)=2×1000×tan(0.1π)≈649.84rad/s(3)s=2/T(1−z^{−1})/(1+z^{−1})→H(z)=0.245(1+z^{−1})/(1−0.509z^{−1})(4)y[n]=0.509y[n−1]+0.245x[n]+0.245x[n−1]5.4（15分）信号x(t)带宽3.6kHz，用ΔΣ调制器以OSR=64过采样，后接抽取器降至8kHz。(1)求初始采样率f_s；(2)求抽取因子D；(3)若抽取滤波器通带0–3.6kHz，阻带≥4kHz，求所需阶数（凯泽窗δ_p=0.01,δ_s=0.001）。答案：(1)f_s=2×3.6k×64=460.8kHz(2)D=460.8k/8k=57.6→取整58，实际输出f_s'=460.8k/58≈7945Hz，需微调晶振至464kHz得D=58→8kHz(3)过渡带Δf=4−3.6=0.4kHz，归一化Δω=2π×0.4/464≈0.0054π，A=−20log10√(δ_pδ_s)=60，凯泽阶数M=(A−7.95)/(2.285×2πΔf/f_s)≈1105.5（12分）已知实序列x[n]长度为8，其偶对称扩展后做16点DFT得Y[k]。若已知Y[1]=8−8j，求原序列x[n]的8点DFTX[k]中的X[1]。答案：偶对称构造y[n]=[x[0],…,x[7],x[7],…,x[0]]，其DFTY[k]=2Re{X[k]e^{−jπk/16}}对k=0,…,7。Y[1]=2Re{X[1]e^{−jπ/16}}=8−8j→Re{X[1]e^{−jπ/16}}=4−4j令X[1]=a+bj，解得a=4√2,b=0→X[1]=4√25.6（13分）考虑一个多速率系统：输入x[n]采样率48kHz，先经因子3插值，再经因子4抽取。插值滤波器H_I(z)与抽取滤波器H_D(z)采用同一FIR低通，通带0–4kHz，阻带≥6kHz，δ_p=0.01,δ_s=0.001。(1)给出等效单级滤波器指标；(2)用多相+IFIR方法设计，求计算复杂度（每输出样点乘法次数）；(3)比较与直接级联的计算节省比例。答案：(1)等效采样率转换比3/4，输出36kHz；单级滤波器需通带0–4kHz，阻带≥6kHz，f_s=144kHz，Δf=2kHz，归一化Δω=2π×2/144≈0.0278π，凯泽阶数≈220，每输出样点乘法220/4=55(2)插值端多相3分支，抽取端多相4分支，利用对称及IFIR将H(z)=G(z^M)F(z)，M=6，G阶≈37，F阶≈19，总乘法≈(37+19)/4=14(3)节省比例(55−14)/55≈74.5%6.综合设计题（20分）设计一个用于数字音频48kHz采样率的参数均衡器，中心频率f_0=1kHz，增益G=6dB，品质因数Q=2，采用二阶IIR型式。要求：(1)给出模拟域带通原型H_bp(s)；(2)用双线性变换得数字传递函数H(z)；(3)给出直接II型结构差分方程系数（保留4位小数）；(4)画出幅频响应草图并标出峰值频率与增益；(5)讨论固定点Q15实现时防止溢出的缩放策略。答案：(1)H_bp(s)=(G^{1/2}(s/Qω_0))/(s^2+(s/Qω_0)+ω_0^2)，ω_0=2π×1000(2)双线性s=2/T(1−z^{−1})