第6章 变量之间的关系 教案 北师大七年级数学下册

PAGE课题第6章变量之间的关系教案北师大七年级数学下册教学内容一、教学内容本章选自北师大版七年级数学下册第6章“变量之间的关系”，主要内容包括：变量、自变量与因变量的概念；用表格、关系式表示变量之间的关系；由关系式求值；用图像表示变量之间的关系；图像与表格、关系式的联系；结合实际问题分析变量间的相依关系，体会变量间对应的思想。核心素养目标二、核心素养目标通过变量及自变量、因变量的概念学习，发展数学抽象素养；借助表格、关系式、图像表示变量间关系，提升数学建模与直观想象素养；结合实际问题分析变量相依关系，体会对应思想，增强数据分析与应用意识。重点难点及解决办法重点：变量、自变量与因变量的概念；表格、关系式、图像三种表示变量关系的方法及其转换（源于教材核心概念与表示法）。

难点：图像分析（如增减性、特殊点意义）；实际问题中变量关系的抽象与建模（源于学生抽象思维及建模能力不足）。

解决办法：通过生活实例（如行程问题）引入变量概念，强化对应关系；对比三种表示法特点，设计阶梯式练习；利用几何画板动态演示图像变化，突破图像分析难点；分层设计应用题，引导学生逐步建立模型思想。教学方法与策略四、教学方法与策略采用讲授法、讨论法与案例研究法结合，以课本例题为载体引导学生理解变量概念；设计“变量关系转换”游戏、“生活实例建模”实验促进互动；运用几何画板动态演示图像变化，实物投影展示学生表示法作品，强化直观感知与模型应用。教学过程设计**1.导入新课（5分钟）**

目标：引起学生对变量关系的兴趣，激发探索欲望。

过程：

开场提问：“生活中哪些现象会随着其他因素的变化而变化？比如气温随时间变化，弹簧长度随拉力变化。”

展示生活实例描述：“清晨气温随时间升高，弹簧伸长量随拉力增大而增加。”

简短介绍变量关系的基本概念：“研究一个量如何随另一个量变化，是数学建模的重要基础。”

**2.变量关系基础知识讲解（10分钟）**

目标：掌握变量、自变量、因变量的概念及三种表示法。

过程：

讲解变量定义：“在变化过程中，可以取不同数值的量叫变量；其中一个量是自变量，另一个量是因变量。”

介绍表示法：用表格（如时间与温度对应值）、关系式（如s=60t）、图像（折线图）表示变量关系。

实例分析：“汽车以60km/h匀速行驶，时间t与路程s的关系为s=60t，t是自变量，s是因变量。”

**3.变量关系案例分析（20分钟）**

目标：通过案例理解变量关系的实际应用。

过程：

案例1：气温变化表（表格表示）

背景：某地24小时气温监测数据。

特点：直接展示时间与温度的对应关系。

意义：体会表格的精确性。

案例2：弹簧伸长量实验（图像表示）

背景：弹簧挂不同重物时的长度变化。

特点：图像直观显示增减趋势。

意义：理解图像的直观性。

案例3：手机话费计算（关系式表示）

背景：月租费20元，通话费0.1元/分钟。

特点：y=0.1x+20，x为通话分钟数。

意义：体会关系式的普适性。

小组讨论：“如何用三种方法表示同一问题？各有什么优劣？”

**4.学生小组讨论（10分钟）**

目标：培养合作建模能力。

过程：

分组：4人一组，每组选一个生活场景（如购物折扣、植物生长）。

任务：

（1）确定自变量与因变量；

（2）选择一种表示法描述关系；

（3）分析关系特点（如增减性）。

准备：每组整理讨论结果，推选代表展示。

**5.课堂展示与点评（15分钟）**

目标：提升表达与反思能力。

过程：

小组展示：

组1：“超市购物总价随数量变化，表格法更清晰。”

组2：“植物高度随天数增长，图像法显示生长趋势。”

组3：“手机话费随通话时间增加，关系式y=0.1x+20。”

互动点评：

学生提问：“图像法如何判断变量变化快慢？”

教师总结：“表格法精确但抽象，图像法直观但需读图，关系式简洁但需计算。三者需灵活运用。”

**6.课堂小结（5分钟）**

目标：巩固核心概念与应用价值。

过程：

回顾重点：

（1）变量、自变量、因变量的定义；

（2）表格、关系式、图像三种表示法；

（3）实际问题中的变量关系建模。

强调意义：“理解变量关系是解决现实问题（如科学实验、经济分析）的关键。”

布置作业：

（1）用三种方法表示“小明骑自行车速度与时间的关系”；

（2）记录家庭一周用水量，分析用水量与天气的关系。教学资源拓展拓展资源：

1.生活应用案例库：收集与教材变量关系相关的生活实例，如超市购物时“单价×数量=总价”中数量与总价的变量关系；手机话费套餐中“月租费+通话费×通话时长=总费用”中通话时长与总费用的变量关系；电梯运行中“时间与高度”的变量关系。这些案例可直接用于课堂补充，帮助学生理解变量在现实中的普遍性。

2.数学史料链接：介绍变量关系概念的形成背景，如17世纪笛卡尔创立解析几何，用坐标系表示变量关系，为函数概念奠定基础；莱布尼茨用“函数”一词描述变量间的依赖关系。结合教材“变量之间的关系”章节，渗透数学文化，让学生体会知识的来龙去脉。

3.跨学科素材整合：物理中的“路程-时间-速度”关系（s=vt）、弹簧伸长量与拉力的关系（F=kx）；生物中“植物生长高度与时间”的关系；地理中“气温随海拔变化”的关系。这些素材可帮助学生理解变量关系在不同学科中的应用，强化数学建模思想。

4.表示法对比资源：整理表格、关系式、图像三种表示法的典型例题，如“同一变量关系（如汽车匀速行驶）分别用表格记录数据、关系式s=60t、折线图表示，对比三种表示法的优缺点（表格精确、关系式简洁、图像直观）”。资源中包含学生易错点，如图像与表格数据不对应、关系式抽象理解困难等，针对性设计辨析练习。

5.拓展练习题组：基础层（识别变量、判断自变量与因变量）、进阶层（根据情境选择表示法）、挑战层（复杂情境如分段变量关系，如出租车计费：起步价内固定费用，超出后按里程计费）。题组与教材例题、习题难度梯度一致，满足不同学生需求。

拓展建议：

1.生活观察日记：鼓励学生记录一周内身边的变量关系，如“家庭每日用电量与天气温度”“自己身高与年龄”“上学时间与出门时刻”，尝试用表格记录数据，绘制简单图像，写出关系式（如用电量y与温度x的关系可能为y=kx+b）。每周选取1-2个案例在小组内分享，培养用数学眼光观察生活的习惯。

2.数学故事阅读：推荐阅读《函数的故事》《生活中的数学》等书籍中的变量关系章节，了解变量概念从“变化”到“对应”的抽象过程，撰写100字左右的读后感，体会数学知识的实用性和趣味性。

3.跨学科小实验：结合物理或生物知识设计实验，如用弹簧测力计挂钩码，记录拉力与弹簧伸长量的数据，用表格整理，绘制图像，尝试写出关系式（F=kx）；或观察绿豆发芽过程，记录天数与芽长，分析变量间的变化趋势。实验报告需包含变量定义、数据记录、表示法选择及结论，提升跨学科应用能力。

4.表示法转换练习：针对教材中“用关系式求值”“由图像分析趋势”等内容，进行专项训练。例如，给定关系式y=2x+1，完成表格（x=0,1,2,3时y的值）；给定图像（如上升折线），描述变量变化趋势（因变量随自变量增大而增大）。每周完成5道转换题，教师批改后针对性讲解易错点。

5.模型设计挑战：以“校园变量关系”为主题，小组合作设计模型，如“图书馆借阅量与时间的关系”“操场跑步圈数与时间的关系”，需确定变量、选择表示法、收集数据（可通过问卷调查或实地测量）、分析结果，制作成数学小报。模型设计过程中，教师提供“问题引导单”（如“哪个量是自变量？如何收集数据？图像能反映什么趋势？”），帮助学生有序开展活动。板书设计七、板书设计

①核心概念

变量：变化过程中可以取不同数值的量

自变量：主动变化的量（如时间t）

因变量：随自变量变化的量（如路程s）

变量关系：一个量随另一个量变化而变化

②表示方法

表格：直接列出对应数值（如时间与温度对应值）

关系式：用数学式子表示（如s=60t）

图像：用折线图直观显示变化趋势（横轴自变量，纵轴因变量）

三者联系：可相互转换，从表格到关系式、图像

③应用与思想

实际问题分析：确定自变量与因变量，选择合适表示法

数学建模：生活情境→抽象变量关系→解决问题（如购物总价与数量关系）

对应思想：变量间一一对应的关系是函数的基础教学反思这节课通过生活实例引入变量概念，学生参与度较高，特别是“弹簧实验”和“手机话费案例”能直观呈现变量关系。但发现部分学生对“自变量与因变量”的界定仍模糊，需在后续练习中强化“谁主动变化”的判断。表格、关系式、图像三种表示法的转换环节，学生掌握不均衡，图像分析（如增减性）错误率较高，下次可增加反例辨析。小组讨论时，部分小组停留在表面描述，缺乏深度建模，需提供更明确的任务单引导。时间分配上，案例讲解稍紧，导致学生展示仓促，应压缩基础知识讲解时间。整体而言，学生对变量关系的“对应思想”已有初步体会，但抽象建模能力仍需在分层练习中巩固。课后作业九、课后作业

1.概念辨析题：一辆汽车以80千米/小时的速度匀速行驶，行驶时间t（小时）与行驶路程s（千米）的关系中，自变量是______，因变量是______，理由是______。

答案：时间t；路程s；因为路程s随时间t的变化而变化，t是主动变化的量。

2.关系式表示题：某公园门票成人票30元/人，儿童票半价，购买x张成人票和y张儿童票的总费用z（元）与x、y的关系式为______。

答案：z=30x+15y；成人票单价30元，儿童票单价15元，总费用为各自数量乘以单价之和。

3.图像分析题：小明从家到学校的路程-时间图像显示：0-10分钟速度为60米/分钟，10-20分钟速度为40米/分钟，20-25分钟停止。描述小明在不同时间段的路程变化情况。

答案：0-10分钟路程随时间匀速增加，10-20分钟路程继续增加但速度变慢，20-25分钟路程不变。

4.数据建模题：下表记录了一台机器工作时间t（小时）与耗电量w（千瓦时）的数据：t=1时w=2，t=2时w=4，t=3时w=6。写出w与t的关系式，并求t=5时w的值。

答案：w=2t；当t=5时，w=2×5=10千瓦时。

5.实际应用题：妈妈在超市购买苹果，单价5元/千克，购买x千克苹果的总费用y（元）与x的关系式为______；若y=30，则x=______。

答案：y=5x；x=6；因为总费用等于单价乘以数量，代入y=30得30=5x，解得x=6。课堂十、课堂评价

课堂评价通过提问、观察、测试三维度实施。提问环节聚焦变量概念理解，如"气