数学13.1.2 线段的垂直平分线的性质教学设计

数学13.1.2线段的垂直平分线的性质教学设计科目Xx授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师Xx老师授课班级、授课课时1授课题目（包括教材及章节名称）Xx教学内容一、教学内容本节课选自人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2节“线段的垂直平分线的性质”。主要内容有线段垂直平分线的定义回顾，通过折叠、测量等活动探究并证明线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的性质定理，以及运用该性质解决简单的几何证明和计算问题，如证明线段相等、确定对称点位置等。核心素养目标二、核心素养目标通过折叠、测量等活动发展直观想象，理解线段垂直平分线的几何特征；经历性质定理的探究与证明过程，提升逻辑推理能力；运用性质解决线段相等、对称点确定等问题，培养数学运算和抽象能力，体会轴对称的核心思想。学习者分析1.学生已掌握轴对称图形、线段垂直平分线定义及全等三角形判定（SSS、SAS），能通过折叠操作直观理解垂直平分线的几何特征。

2.学生对几何实验兴趣浓厚，动手操作能力强，但抽象逻辑推理能力分化明显；部分学生依赖直观感知，部分偏好严谨证明，学习风格呈现操作型与思辨型并存。

3.可能的困难包括：从操作实验抽象出性质定理的数学语言转化；证明过程中对“垂直平分线上点到线段两端距离相等”的逻辑链条构建不完整；应用性质解决对称点确定或线段相等证明时，易忽略垂直平分线的唯一性条件。教学资源直尺、量角器、三角板、彩色细绳；几何画板软件；交互式电子白板；实物投影仪；教学课件；课堂练习卡；学生实验报告单；轴对称图形学具包。教学过程设计**1.导入新课（5分钟）**

目标：引起学生对线段垂直平分线性质的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们见过风筝线吗？为什么风筝能稳定地飞在空中？这和一条特殊的直线有关——线段的垂直平分线。”

展示实物：教师用彩色细绳在黑板上固定两点A、B，用直尺画出AB的垂直平分线，提问：“线上任意一点P到A、B的距离有什么关系？”

简短介绍：线段的垂直平分线不仅是几何图形的对称轴，更是解决距离相等问题的关键工具，今天我们将通过实验揭开它的秘密。

**2.线段垂直平分线性质基础讲解（10分钟）**

目标：让学生理解垂直平分线的定义及核心性质。

过程：

讲解定义：线段的垂直平分线是垂直于线段且平分线段的直线，记作l⊥AB于点O，且AO=OB。

操作演示：学生用折纸法将线段AB对折，观察折痕l与AB的位置关系及折痕上任意一点P到A、B的PA、PB长度（用细绳测量）。

归纳性质：通过测量数据引导学生发现结论——**垂直平分线上的点到线段两端距离相等**，即若P在l上，则PA=PB。

**3.性质定理证明与应用案例分析（20分钟）**

目标：掌握性质定理的严谨证明及实际应用。

过程：

**定理证明**：

-已知：l是AB的垂直平分线，P是l上一点。

-求证：PA=PB。

-证明思路：连接PO（O为垂足），证△AOP≌△BOP（SAS），得PA=PB。

**案例分析**：

-例1（课本P49）：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D。求证：BD=CD。（提示：AD是BC的垂直平分线）

-例2（改编）：已知点P在MN的垂直平分线上，MN=6cm，求PM+PN的最小值。（引导学生利用PA=PB转化线段和）

**小组讨论**：讨论“如何用性质证明线段相等或确定对称点？”每组记录1-2种方法。

**4.学生小组讨论（10分钟）**

目标：深化对性质的理解，培养合作探究能力。

过程：

分组任务：每组解决以下问题：

（1）已知点C在AB的垂直平分线上，D是AB中点，求证：∠ACB=2∠DCB。

（2）设计一个方案，用垂直平分线性质在地图上找到与两村距离相等的供水站位置。

小组内分工：1人画图，1人记录推理过程，1人准备展示。

**5.课堂展示与点评（15分钟）**

目标：锻炼表达能力，深化知识应用。

过程：

**小组展示**：

-第1组展示例1的证明，强调“垂直平分线→距离相等→全等三角形”。

-第2组展示供水站方案，说明“两村为A、B，供水站应在AB的垂直平分线上”。

**师生点评**：

-教师肯定第1组逻辑严密，指出第2组需补充“实际选址需考虑地形”。

-学生提问：“若点P在垂直平分线外，PA=PB是否成立？”（引出逆定理铺垫）

**教师总结**：性质是“距离相等”的桥梁，应用需紧扣“垂直平分线”条件。

**6.课堂小结与作业（5分钟）**

目标：巩固核心知识，延伸学习兴趣。

过程：

**小结**：

-垂直平分线性质：线上点到两端距离相等（PA=PB）。

-应用场景：证明线段相等、对称作图、最值问题。

**作业**：

-基础：课本P50习题13.1第3、4题（性质应用）。

-拓展：探究“若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上”是否成立，尝试证明。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.拓展阅读材料

（1）垂直平分线的判定定理

教材13.1.3节介绍了线段垂直平分线的判定定理：“到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”。该定理是性质的逆命题，二者结合可构建完整的逻辑体系。阅读时可结合课本P51例题，理解“距离相等→垂直平分线”的证明方法，通过构造全等三角形（如连接两点与待证点，证全等得垂直平分）深化理解。

（2）垂直平分线与坐标系

在平面直角坐标系中，线段AB（A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)）的垂直平分线方程可通过中点坐标公式和斜率关系推导。中点M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)，AB斜率k₁=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，则垂直平分线斜率k₂=-1/k₁（k₁≠0）。利用点斜式可写出方程，例如A(0,0)、B(2,0)的垂直平分线为x=1。这一内容与教材13.1节“坐标与图形性质”相关，可解决“求对称点坐标”等问题。

（3）垂直平分线在几何图形中的应用

在等腰三角形中，底边的高、中线、垂直平分线三线合一；在三角形中，三边垂直平分线的交点称为外心，到三顶点距离相等，是三角形外接圆的圆心。结合教材P53“探究”栏目，通过画图验证锐角、直角、钝角三角形的外心位置，理解外心的存在性与唯一性。

（4）实际应用案例

建筑设计中，利用垂直平分线确保对称结构的平衡，如桥梁的拱顶对称轴；测量学中，用垂直平分线原理确定等距点，如“到两村庄距离相等的供水站选址”。这些案例与教材P49例2“最值问题”一脉相承，体现数学的实用价值。

2.课后自主探究

（1）理论探究

任务：证明“若PA=PB且QA=QB，则直线PQ是AB的垂直平分线”。要求：用全等三角形（连接AB，证PO⊥AB且AO=OB）或坐标法（设A(0,0)、B(2,0)，P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，列方程求解）完成证明，并比较两种方法的优劣。

（2）坐标应用

任务：在坐标系中，已知A(-1,0)、B(3,0)，点C在x轴上方，且CA=CB。求C的坐标，并证明直线AC的垂直平分线过点B。结合教材13.2节“轴对称变换”，求点A关于直线BC的对称点A'的坐标，并计算△A'BC的周长。

（3）综合实践

任务：用折纸法探究“三角形三边垂直平分线的交点性质”。步骤：①画任意△ABC，作三边垂直平分线；②观察交点O，测量OA、OB、OC长度；③改变三角形形状（锐角、直角、钝角），记录交点位置变化。结合教材P53“阅读与思考”，解释外心与三角形形状的关系，撰写探究报告。

（4）拓展思考

问题：若点P在AB的垂直平分线上，点Q在AB上，且PQ⊥AB，则PQ是AB的垂直平分线吗？若PQ是AB的垂直平分线，且Q在AB上，则P一定在AB的垂直平分线上吗？通过画图、测量、推理给出结论，并与教材13.1.2节性质对比，理解“垂直平分线”与“线上点”的互逆关系。

（5）跨学科联系

任务：结合物理“力的合成”，若A、B两点各有一大小相等的力，求合力作用点（在AB中点）；若力的方向需垂直于AB，则作用点在AB的垂直平分线上。用垂直平分线性质解释“杠杆平衡”中“支点在中点时力臂相等”的现象，体会数学与物理的学科融合。典型例题讲解七、典型例题讲解

例1：已知点P是线段AB的垂直平分线上一点，AB=6cm，求PA的长度。

答案：PA=PB=3cm。

例2：在△ABC中，AB=AC，AD是BC的垂直平分线，求证：BD=CD。

答案：因为AD是BC的垂直平分线，所以BD=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

例3：点M在直线l上，直线l是线段PQ的垂直平分线，PQ=8cm，PM=5cm，求MQ的长度。

答案：MQ=PM=5cm。

例4：已知点A(-2,0)、B(2,0)，点C在x轴上方，且CA=CB，求点C的坐标。

答案：C(0,y)，y>0，具体坐标需根据其他条件确定，但CA=CB说明C在AB的垂直平分线上（x=0）。

例5：如图（此处不画图，描述），在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：AC是BD的垂直平分线。

答案：连接AC，由AB=AD，CB=CD，得AC是BD的垂直平分线（到线段两端距离相等的点在同一条垂直平分线上）。反思改进措施（一）教学特色创新

1.实验探究与逻辑推理融合：通过折纸测量直观发现性质，再引导严谨证明，实现从具象到抽象的自然过渡。

2.生活化案例贯穿始终：以风筝线、供水站选址等实例激活学生兴趣，强化数学应用的感知。

（二）存在主要问题

1.时间分配失衡：定理证明环节占用较多时间，导致小组讨论展示仓促，部分学生未能充分表达思路。

2.评价方式单一：侧重结果正确性，对推理过程和探究方法的评价不足，难以全面反映学生思维发展。

（三）改进措施

1.优化任务设计：将证明过程拆解为"连接PO→证全等→得结论"的阶梯式问题链，缩短讲解时间，预留充足讨论空间。

2.增加过程性评价：采用"推理步骤评分表"，关注垂直平分线条件应用、全等三角形构造等关键环节，鼓励创新解法。

3.分层作业设计：基础题巩固性质应用，拓展题探究逆定理，满足不同层次学生需求，为后续学习埋下伏笔。教学评价课堂评价：通过随机提问“垂直平分线的定义及性质”检验学生基础掌握情况；观察学生折纸实验操作，重点检查测量PA、PB长度的准确性；课堂小测2道基础题（如例1、例3类型），限时5分钟完成，快速诊断“点到线段两端距离相等”的应用能力；巡视小组讨论时记录学生对性质定理的逻辑推理过程，对混淆“垂直平分线”与“线段中垂线”的学生即时纠正。

作业评价：批改课本P50习题13.1第3、4题时，关注学生能否正确写出“PA=PB”的推导步骤，对遗漏“垂直平分线”条件的学生标注“需补充前提”；拓展题（逆定理探究）重点评价证明思路的严密性，对构造全等三角形不完整的学生提示“连接AB，证△AOP≌△BOP”；作业末尾用“★”标注典型错误案例，鼓励学生对照订正，次日课堂集中讲解共性难点。内容逻辑关系①垂