直线与直线垂直、8.6.2直线与平面垂直课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直学习目标1.掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角.2.掌握直线与直线垂直的定义.3.理解直线与平面垂直的定义.4.理解直线与平面垂直的判定定理.5.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明.6.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题.7.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：异面直线所成的角的定义，直线与直线垂直的定义，直观感知、操作确认,、概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理.难点：求异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明.一、异面直线的概念(1)定义：不同在

平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.任何一个知识梳理(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：平行异面相交平行②从是否共面的角度来分：相交异面定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则___________特殊情况当θ＝_____时，a与b互相垂直，记作______锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b二、异面直线所成的角定义如果直线l与平面α内的

直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法_______有关概念直线l叫做平面α的

，平面α叫做直线l的

，它们唯一的公共点P叫做______任意一条l⊥α垂线垂面垂足三、直线与平面垂直的定义图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的

都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，

＝P⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b四、直线与平面垂直的判定定理有关概念对应图形斜线与平面α

，但不和平面α

，图中_______斜足斜线和平面的

，图中_____射影过斜线上斜足以外的一点向平面引

，过_____和

的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为_________相交垂直直线PA垂线斜足垂足直线AO交点点A五、直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中______规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是

；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____取值范围设直线与平面所成的角为θ，_____________∠PAO90°0°0°≤θ≤90°文字语言垂直于同一个平面的两条直线_____符号语言⇒a∥b图形语言平行a⊥αb⊥α六、

直线与平面垂直的性质定理

一异面直线所成的角常考题型

◆求异面直线所成的角的一般步骤（1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证：证明作出的角就是要求的角.（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作、二证、三计算”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的取值范围是0

<θ

≤90

.◆求两条异面直线所成的角时常用的三种平移方法1.直接平移法（可利用图中已有的平行线，如平行四边形）；2.中位线平移法；3.补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.训练题在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小.解：（方法一）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴

∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角（或其补角）.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴

GO⊥A1C1.∴

异面直线DB1与EF所成的角为90°.

二线面垂直的判定定理的应用例1

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点.（1）当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1-ADF的体积.

（1）【证明】

因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，所以△DCF≌△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，

例2如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，且PA＝PC＝PD＝3，CD＝AD＝2AB＝4，O为AC的中点.求证：OP⊥BC.

◆证明线线垂直的方法（1）根据两直线垂直的定义证明两直线所成的角为90°；（2）根据线面垂直的概念证明，即由a⊥α，bαa⊥b；（3）根据平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等）证明；（4）根据线面垂直的性质证明，即由a⊥α，b∥

αa⊥b.

训练题

（1）证明：因为E是AD的中点，PA＝PD，所以AD⊥PE.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以AB＝BD.又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE.又PE∩BE＝E，PE

BE，BE

BE，所以AD⊥平面PBE.

2.如图所示，四边形ABCD为矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝1，E为BC的中点.（1）求证：DE⊥PE；（2）求三棱锥C-PDE的体积；（3）探究在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理由.

例如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1；（2）M是AB的中点.

三线面垂直的性质定理的应用【证明】（1）∵

四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.

【常用结论】（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行.（3）一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于该平面内的任意一条直线（定义）.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它必垂直于另一个平面.（5）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.

训练题在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.

四

求点到平面的距离

◆求点到平面的距离的常用方法1.过已知点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离就是点到平面的距离，通过解三角形求得距离；2.利用三棱锥等体积转换：将要求的距离转化为一个三棱锥的高，利用该三棱锥的体积不变求得点到平面的距离.训练题如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点.（1）证明：DF⊥PB；（2）求点F到平面PBE的距离.

五

求直线与平面所成的角

◆求直线与平面所成角的一般步骤（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；（3）把该角放在某个三角形中，通过解三角形求出该角.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成的角的大小为

；直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小

.训练题

1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义.(2)利