(七)ch4假设检验 数理统计

第四章假设检验

主要内容：

1.假设检验的基本思想与步骤

2.单个总体均值、单个总体频率、*单个总体方差的假

设检验

3.两个总体均值、两个总体频率、两个总体方差的差

异显著性假设检验

4./检验（总体分布的假设检验，*同质性检验）

§4.1假设检验的基本思想与步骤

—.引例

例：工厂生产一种灯管，灯管的寿命。~N（〃,40000）,

其中〃=1500（小时），现试用新工艺（假定灯管的平均

寿命不会降低）。

新工艺生产的25只灯管的寿命：芮,吃,…,马5,其平均值

为：x=1575（小时）。

需要区分两种情况：

（1）新工艺使”>1500,从而±>1500；

（2）新工艺下〃=1500,偶然的原因使土>1500.

原假设（或零假设）："。：〃=150,

备择假设（对立假设）：匕：〃>150.

根据样本或样本统计量对原假设?做出接受或拒绝的判

断，叫做对统计假设X。作检验。

二.检验方法

设新工艺生产的灯管的寿命J~N（〃,4000叭

X，X2,…广25是J的沏.样本，若/真，即〃=1500,

则由乂,匕,・・・/25独立，与4同分布知

X,〜^（1500,40000）,（1=1,2<..,25）,

工日T7……40000、

于是，X~N（1500,^一）,即”N（1500,4（）2）

X-1500……、

--------------N（OJ）.

40

由Uo.i=1.645（P242表3）得P{一,:。。>1.645}=0.05

即P{X>1565.8}=P{X>1500+1.645x40}=0.05（1）

J1500

类似的，由“0.02=2.326得P{~>2.326}=0.01,

艮［1P{X>1593.04}=P{X>1500+2.326x40}=0,01（2）

根据（1）式得检验H0的方法：

若上>1565.8,则拒绝"°；若TV1565.8,则接受“°。

拒绝域叱={（占，马,…户2£）|工>1565.8},简记无>1565.8.

根据（2）式得检验的方法：

若工>1593.04,则拒绝“°;若±41593.04,则接受申。

拒绝域％={（巧，/，…，吃5）I元>1593.04）,简记

x>1593.04.

三.两类错误

拒绝真的"。（“弃真”）的错误称为第一类错误。允许犯

第一类错误的概率可以达到的数值叫做显著性水平（或信

度），记做a。

检验（1）cc=0.05检验（2）cc=0.01

接受不真的（“取伪”）的错误称为第二类错误。

一般的，/真时P｛丫＞C｝=a，得水平为a的检验方法:

若工〉C,则拒绝a。；若工WC，则接受“°。

样本容量确定以后，犯两类错误的概率不可能同时减小。

U1假设检验的思想（小概率原理）

检验问题：原假设备择假设居

名真用不真

接受H。判断正确“取伪”：第二类错误

拒绝?“弃真”：第一类错误判断正确

检验方法：若样本落入拒绝域，则拒绝X。

?真时，P｛样本落入拒绝域｝=a（小概率）

五.假设检验的基本步骤

1.根据实际情况提出假设

2.确定检验用的统计量和拒绝域的形式;

3.选取适当的水平a（通常可取0.10,0.05,0.01等等）,

确定拒绝域W；

4.根据样本观察值确定接受H。还是拒绝H。。

§4.2单个总体均值〃的假设检验

总体X的均值为〃，方差为。2。检验类型：

（D双侧检验“0：〃=〃0,"1：〃工〃0,

（n）右侧检验Ho：〃=〃0,Hi：//〉外,

（H。<〃o,H[）

（in）左侧检验/：〃=〃0，H]：〃V〃o・

（H。:〃—〃0jH]:〃V〃0）

〃。是指定的值。

设巧户2,…"〃为X的iid.样本,即巧,芍，…户〃独立、与X

同分布。样本均值为不样本方差为§2。

--大样本方法（样本容量〃之50）

n>50,由中心极限定理有

2七一”近似一工一〃近似

i=i

〜N(0,l)或一—7=〜N(0,1)

7nb2(Jytn

对于三种检验类型，当"。真时，〃=〃。。

Y-//近似近似rr2

一誓~N（0,l）或土〜N（〃。,一）

ay/nn

1.b?已知的情形

G）对于检验问题（I）,当Ho真时，〃工取值与〃0

相差很多的可能性比较小。拒绝域的形式:

w=｛（"”…户〃）||无一〃0>c｝，

给定显著性水平由于用臭时,

y-H近似

（*）V=^pr〜N（0,l）,有P{\U\>u}=a,

ay/na

所以，|U|>%时，拒绝Ho；I。区％时，接受“o.

(2)对于检验问题(n),当“°真时，工的取值比〃。大

很多的可能性比较小。拒绝域的形式：工-〃o>C

H。真时，P{V>u2a}=P{^^>u2a}=a,

••ay/n

所以，U>%时，拒绝H0；时，接受"o・

注：检验?："K4,"1：〃>〃o可以归结为检验

Hq：〃=“），〃1：〃>〃o的原因：

X-//近似

一〜N（o,l）

a7n

给定显著性水平a,对于任何〃<〃o,

产一X-Ll+U—U（]

P{->%}=P{f—『°}>的"

07na7n

ft

=pj*>u2a+>%。}=a，

（j7na/yjnb7n

取。=4华，则U>的a时，拒绝“0・

b7n

(3)对于检验问题(III),当“°禀时，工的取值比〃。小

很多的可能性比较小。拒绝域的形式：工-〃0<C

“0真时，P[u<-u2a}=P{^rr^<-u2a}=a

・・ayjn

所以，UV-〃2a时，拒绝H。；UN-〃2a时，接受“。.

注：检验吗：〃N4。，H1:ju<〃o可以归结为检验

r—//近似

=的原因：一g~N(O,l)

a7n

给定显著性水平a,对于任何〃

a工一〃o1a工一〃+〃一人】

P/<3=?{"F}

=P^~rr<-u2a+^7^}<P（上:<i2a}=a，

b7na/yinayIn

取（/=£：半，则U<—4a时，拒绝H0。

ayin

双侧检验（I）的拒绝域：F5工

右侧检验（II）的拒绝域：U>u2a

左侧检验（III）的拒绝域：U<-u2a------------------

2./未知的情形

用s代替（*）中的b得。=与留，仍然有

S/y/n

检验问题（I）的拒绝域：|U>〃a；

检验问题（II）的拒绝域：U>%a；

检验问题（III）的拒绝域：U<-ulao

例1：从某林地的全部林木组成的总体抽取了〃=60株林

木组成的样本。样本的树高观测数据由P79例3.1给出，

试以显著水平a=0.05检验该林地总体林木平均高〃是否

为22米。

解：“o：〃=22,

〃=60大样本，，未知。

〃（）=22,x=22,1533,s=2.5197,n=60,

〃了一〃022.1533-22

所以,=0.47,

一s/4n-2.5197/^60

Ua=〃0.05=L96,

\U\<ua,所以，接受a。，认为林木平均图〃是22米。

练习：某厂生产一种电阻元件，平均电阻为2.64欧姆。

采用新工艺后，测得100个元件平均电阻为2.62欧姆，

标准差=0.06欧姆。试以显著水平a=0.01，检验是否有

(1)新工艺使平均电阻〃明显增大

(2)新工艺使平均电阻〃明显减小。

二,小样本方法：总体X~N(//Q2)

巧,％2,…，乙为X的iid.样本，即巧,/，…，/独立、与X同

2

分布，有&,.=〃，D(XZ)=<T,i=l,2,…”

殓=〃，D(x)=—o对于三种检验类型，当?真时，

n

2—

〃=〃°,有工〜N(〃0,J)或U=^^~N(0,l)

nb7n

1./已知时，与前面的讨论相似，有

检验问题（D的拒绝域：|U|>%;

检验问题（II）的拒绝域：U>u2a；

检验问题（III）的拒绝域：U<-u2ao

2.未知时，

（1）对于检验问题（I）,当“0真时，〃土取值与〃0

相差很多的可能性比较小。拒绝域的形式：I工-4me

给定显著性水平a,由于修真时，

T二£^“〃一）（ch2定理3）

s7n

有尸所以，

|7乜5-1）时,拒绝H。；卬区［5-1）时接受4.

（2）类似的，对检验问题（口），

时，拒绝H。；丁V&5-1）时接受4・

对检验问题（III）,

TVT2a5T）时,拒绝％；TNT2a5-1）时接受

例3:元件寿命（单位：小时）X〜Ng，）,测得16只

寿命如下：159,280,101,212,224,379,179,264,

222,362,168,250,149,260,485,170。问是否可以

认为元件平均寿命大于225（小时）（a=0.05）

解：“O：〃4225,Hx://>225

〃。=225,x=241.5,5=98.7259,n=16,

1（1）=%』（15）=1・753

6X-〃o241.5-225

=0.6685,

-s/4n-98.7259/716

<t2a(n-l),接受“0,认为元件平均寿命不大于225

小时。

例4(P104例4.2)设某种杨树树高近似正态分布，今测

得20株树的平均高为%=15m,标准差为s=2.4m。试

以显著水平a=0.05检验树高总体均值〃是否为17m。

解：“o：〃=17,

属于小样本，正态总体，〃未知的情形。

s/yjn2.4/V20

%(〃-1)=£。05(19)=2.093,

因为|7|=3.727>ta(n-l)=2.093,

所以，拒绝H。，认为树高总体的均值不是17m。

关于概率p值：

上例中，若取显著水平a=0・01,则

勿5—1)=z001(19)=2.861,|T|=3.727>ta(n-l)=2.861

所以，在水平a=0.01下做检验，仍拒绝8°,认为树高总

体均值不是17m；

若取显著水平。=0.001,则

1)=%a。］(19)=3.883,\T\=3.727<ta(n-l)=3.883

所以，在水平a=0.001下做检验，应接受H。，认为树高

总体均值是17mo

使口(19)=3.727的a值叫做相应于3.727的概率p目

若0<a<p,则接受“0;若a>p,则拒绝口)。

a=0.001a=pa=0.01a=0.05

_______Q_____________Q_________A_________•.

/ex（19）=3.8833.7272.8612.093

由ZO1（19）=2.861,ro.ooi（19）=3.883,

士仔、+

应用R内rh插法：3-.-8-8-3----3-.7-2-7=--0-.0-0-1----p—,

3.883-2.8610.001-0.01

解得:p=0.0024,即ho。2’（19）=3.727,

所以，若0vav0.0024,则接受名；

若a>0.0024,则拒绝为。

/*注：Excel：插入T函数八一类别：统计T选择函数:

TDISTTX：3.727；Deg_freedom:19；Tails:2（双侧）

T输出0.00142901*/

a<pa=pa>p

接受”)

§4.3单个总体频率W的假设检验

检验类型：

⑴双侧检验"o：W=Wo，”I：WHWO,

(II)右侧检验H0:W=W0,

(HI)左侧检验H.:W=W.,Hr:W<W.,

其中0<Wo<1是指定的值。

只讨论大样本方法(〃之50)

(o1、

总体X有分布：,W未知，为户2，…芭，为X

[1-WW)12

的iid.样本,则口户2,…/独立、与X同分布。

由中心极限定理有，样本中具有某特点的单元数

〃近似

m=^x，-B(n,W)〜N(nW,nW(l-W))

<=i〃充分大

m-nW近似

所以,~N(O,1)

对三种检验类型，当/真时，w=w(”

近似

人w-W.

U〜N(O,1),

VW0(l-W0)/n

其中，卬=型是样本频率。

n

于是，“°真时，w比叽大很多或比W。小很多的可能性比

较小。

给定显著水平a,查表3(P242)有

P{\U\>ua}=a]P{U>u2a}=a；P{U<-ula]=a.

所以假设检验拒绝域为：

检验类型拒绝域

(I)

\U\>ua

(II)U>u2a

(III)UV—〃2a

例：(P108例4.9)设造林成活率不低于80%认为达标。

用重复抽样方式对3个队的造林各调查400株，结果为：

第一队成活300株，第二队成活307株，第三队成活336

株。试以显著水平a=0.05检验各队造林成活率是否达

标。

解：记造林成活率为W,则检验问题为：

Ho：WNW°=O.8O（合格），兄：亚〈小=0.80（不合格）,

：

归结为检验："oW=Wo=0.80,HY:W<WO=O.8O,

叫一

检验统计量为，i=1,2,3

甘+「300/400-0.8―厂

其中，q=-------=—2.5,

1、0.8x0.2/400

307/400-018

。2==-1.625,

VOx0.2/400

336/400-0,8

=2,

70.8x0.2/400

CC--0.05,〃2a="o10=,

U]=-2.5<一〃2a拒绝"o；3=-1.625>一〃2a接受“0；

=2>-u2a=-1.645接受H..

认为第一队未达标，第二、三队达标。

/*考研同学请自学：

单个正态总体X~N(〃,0*2)方差的假设检验

(I):cr2=.

22

(Il)H():a<,Hl:a>a1

CT2O2

(III)HO:>CT,Hx:a<a^

检验的统计量：I"r

5）

检验的拒绝域：

/、（n-l）y22—-l）s?2

⑴-^<力；为/2（〃—1）或^>Z^Z2（^-1）

db。

（7Z-1）522

（ID^>^（n-l）

b°

（ni）”半匕L（I）*/

b。

§4.4两总体均值与频率的差异显著性检验

一'两总体均值的差异显著性检验

设总体X1和X］的均值分别为//.和〃2，方差都是M.

检验问题：

（I）双侧检验&：从=〃2，"1：41工〃2，

（II）右侧检验H［｝:〃1=〃2（H0：从<〃2），“1：>〃2，

（III）左侧检验“°：从（4：从之〃2），

（一）大样本方法（样本容量/，%之50）

X

设X］的iid.样本与1户12,…#1〃与2的iid.样本

“21户22,…户2%独立；样本均值分别为%,元2，样本方差分

别为S；应。

由中心极限定理知，FX-a11~近似N（0,l）,

*%

2

]R近似a

其中，x=—yx,于是，片~一),

x%普lf％

近似"2

同理，工2~N(4〃一),

-%

1〃2

其中，x2=一yx2fo而工i与我独立，所以，

n2M

近似11

片一工2〜N(〃]—〃2，(—1—K)

nxn2

对三种类型的检验问题，当H。真时有四=〃2,

近似]]

工一工2〜N(0,(一+一)/),

于是,

可见，用真时，对类型⑴，|U|很大的可能性比较小;

对类型(ID,U很大的可能性比较小；

对类型(HI),U很小的可能性比较小。

(1)〃已知时，对给定的显著水平。有

P[\U\>ua}=a；P{U>w2a}=a；P[U<-u2a}=a.

所以检验拒绝域：

(I)=|U|>%；(H)：U>〃2a；(HI)：U<-U2a.

(2)/未知时，有

阴_(%―1)S；+(%―1月

n}+%-2

是"的无偏估计。这是因为：

E&2=E｛（%T）S；｝+E｛（"2-1应｝

〃]+〃2-2〃]+〃2—2

♦,£($)+£⑷)

%+%-2zi|+n2-2

——―--a2+———--a2=a2.

%+%―2%+%—2

即，是"的无偏估计，用，代替（*）中的有?真

时，

近似

—“2

U=〜N(0,1)

〃[N50

+〃2250

名+%一2%n2

对给定的显著水平a有，检验拒绝域：

（I）：\U>ua；（II）：U>u2ai（III）：U<-u2a

例1:（P112例4.11）在杉树两个不同部位采集球果，观

测球果的长度（设两个部位球果长度方差相同），所得数

据整理得：

部位球果数样本均值（cm）样本标准差（cm）

东南部%=317无1=7.641=1.09

西北部n2=269x2=7.87s2=1.09

试以显著性水平。=0.05检验

(1)两个部位球果长度有无显著差异；

(2)东南部球果长度是否明显低于西北部。

解：设两个部位球果平均长度分别为小和〃2。

(1)HQ:,H]:工〃25

大样本，方差b?未知，

七一”2

U三

(々―1)9；+(4-l)S；

%%-2\nxn2

7.64-7,87

==-2.541,

316xl.092+268xl.0921

V317+269-2)317+269

%=〃O.O5=L96，|U|>%

故拒绝认为两个部位球果长度差异显著。

(2)H。•=〃2，H1*RiV〃2

%。=〃o.io=L645,U<-u2a,

所以拒绝“0,认为东南部球果长度明显低于西北部。

(-)小样本方法

设总体X「N("[,b2),X「N(H2,2),

检验问题：(I)双侧检验以0：〃1=〃2，81：〃尸〃2,

(II)右侧检验Ho：从=〃2(“0：<〃2)，"1：41>〃2，

(III)左侧检验4：〃1=〃2(|"。：从〃2)，氏<%，

x

X1的iid.样本X”巧2,%与i的血・样本

工21户22户,，工2〃2独立，片，无2分别是妈的样本均值,

s；,s；分别是X],%的样本方差。

22

因为与±2~N(〃2，J)独立，

nxn2

所以，工[一无2~N(从一〃2，(-------1--------),)

/n2

对三种类型的检验问题，当H。真时有四=〃2,

2

片.工2〜N(0,3+—)(T),

%n2

于是，U=一/二手~Ng1)(*)

V%

(1)/已知时，对给定的显著水平。有

P[\U\>ua}=a；P{U>u2a}=a；P[U<-u2a}=a.

检验拒绝域:(I)：|U0%;(II)：U>u2ai(HI)：U<-u2a.

(2)/未知时，由于X-N3"2),X2〜N(〃2，b2)

利用Ch2定理4有，对三种类型的检验问题，当?真时,

片一x

T=2~1(%+-2)

(丐-1)$；+(%-1应11+1

nx+n2-2

(教材PU1(4.38)有误)

于是，给定显著水平a有

P[\T\>ta(nx+n2-2)}=a,

P{T>t2a(ni+n2-2)}=a,

P[T<-t2a(n1+n2-2)}=a.

检验拒绝域为：

(D|丁乜(%+〃2-2)；(n)T>t2a(n1+n2-2)i

(ill)TV—£2a(“I+%—2).

例2：某次测验满分60分。随机抽取15名男生、12名女

生，成绩如下：

男生：49,48,47,53,51,43,39,57,56,46,42,

44,55,44,40；

女生:46,40,47,51,43,36,43,38,48,54,48,

34o

假定男女生成绩都服从正态分布，且等方差。问男、女生

成绩有无显著差异(取显著水平a=0.05)?

解：Xr^X2分别表示男'女生成绩，

X「N(〃”2),>2〜N(〃2,2),

检验问题：%:〃1=4"1：〃尸〃2

nv=15,n2=12,xx=47.6,x2=44,(%—l)s；=469.6,

(n2-1)52=412,

T____________巧一“2___________________

一.4-1)S；+(%-1对H+x

\n{+n2-2n[n2

47.6-44.1

=।f—=L?65,

469.6+412J.1

\TS+12-2\15+12

《(%+%-2)=%,05(25)=2.06,因为|TK2.06,故接受

H()9即认为男、女生成绩无显著差异。

二、两总体频率的差异显著性检验

设总体占频率为(1=1,2),检验问题:

(I)双侧检验"o：Pi=PiH/PL，

(II)右侧检验"o:Pl=P2“1:Pl>P2,

%:Pl<P2・

(HI)左侧检验Ho:Pl=P2

只考虑大样本情况:

0

天有分布,(i=l,2),

11-PiPi)

设X1的iid.样本巧]2,…，/”与的iid.样本

“21，”22，,一，”2〃2独工°

叼=2勺是K的样本中具有某特点的样本单元数。

j=l

由中心极限定理知：

近似

叫〜N(%P[,/P](1一0J

充分大

于是，生

类似的，些?N(P2,

n2

这里啊=次均是X2的样本中具有某特点的样本单元

j=l

数。由于也与外独立，所以，

nxn2

丐m2近似N(nnP1(1-P1)*P2(1-P2)、

-------------〜N(Pl_P2，-----------------+-----------------)

nxn2叫n2

对三种类型的检验问题，当“。真时有，Pi=p2=p,有

mfji近似11

外〜N(0,(一+一)p(l-p)),

nxn2%n2

m{m2

于是，U仝%%〜N(0,1),

\%n2

P未知，可用p的无偏估计p=叫土如近似代替上式中的

P,这里

E(p)=---{E(mx)+E(m2)}=--—(%P]+%。2)

n{+n2nx+n2

“0真时有，Pi=P2-P所以，E(p)=p,即力是p的无

偏估计。

对显著水平a有，检验拒绝域为：

(I):\U\>uai(II)：U>u2ai(III):U<-u2a.

例3：例114例4」3)对200粒种子温水浸种，其中130

粒发芽；对400粒不经温水浸种，其中200粒发芽。试问,

这两种处理方法对种子发芽率有无显著差异(显著水平

a=0.05)?

解：记两种处理方法下的种子发芽率分别为P1和P2,检

验问题：“0：P[=02,"1：Pi，02

nx=2009n2=400,mx=1309m2=200,

m.+m130+200八”

p«---------2=------------=0.55,

nx+n2200+400

nn

U={2

(-+-)p(l-p)

nxn2

130/200-200/400

=3.482,

1

+)x0.55x(1-0.55)

400

Ua=“0.05=1・96,

IU|>%,故拒绝修,认为两种处理方法对种子发芽率有

显著差异。

§4.5两个正态总体方差齐性检验

总体X]~X2~N(〃2届)，Mi，〃2，和

为未知参数。考虑假设检验问题：

设X1的iid.样本打，占2,…，天/与乂2的iid.样本

吃1，/2,…，马.独立，样本方差分别为S；和¥。¥是b：的

无偏估计（i=l,2）o

当?真时，b；=6,s；与s；应相差不多,从而

$2

F=^-

很大或很小的可能性比较小。

检验的拒绝域形式为：尸vq或厂＞。2。

而"o真时，2b2,

且有（“I—?.〜21/_1）与52-产~/（〃2—1）独

bc

立（Ch2定理1）,所以

给定显著水平a,查厂分布表确定臼,。2使，

P{F<c[或方>c2]=a.

均分两侧风险，有尸｛耳〈力｝=，且尸｛户＞。2｝=，，

所以,=几”2（〃1一1，〃2-1）=

g/2（〃2-1，/一1）

所以，检验的拒绝域为:

N[L

------；-------7；或；^>"。/2（〃1-1，〃2一1）°

S2Ez/2（〃2-1，"1—1）S2

练习：某次测验满分60分。随机抽取15名男生'12名

女生，成绩如下：

男生：49,48,47,53,51,43,39,57,56,46,42,

44,55,44,40；

女生：46,40,47,51,43,36,43,38,48,54,48,

34o

假定男女生成绩都服从正态分布。问男、女生成绩的方差

有无显著差异（取显著水平a=0.10）?

解：检验吗：0；=（7；，

nx=15,n2=12,s；=33.54,s；=37.45,

例：（PH5例4.14）设林木胸径近似正态分布，独立地从

甲、乙两块林地中抽出若干林木，测得胸径数据如下：

甲：4.5,8.0,5.0,2.0,3.5,5.5,5.0,7.5,5・5,7・5；

乙：3.0,5.0,2.0,4.0,5.0,5.0,3.0,3.0.

试判断，甲、乙两块林地林木胸径总体的方差4和犬是

否相等？（a=0.10）

解：检验4：（7；=解H、•b]*b?

nx=10,n2=8,=3.544,s；=1.357,

s甲3.544.

F=—^-=-------=2.612>1A,

s；1.357

Ez/2（%一1，%一1）=居.05（%7）=3.68,

玛〜2（/T，%T）=K.95（/7）=———=--=0.304

小0.05（7严）3・29

因0.304vb<3.68,所以，接受“°,即认为甲、乙两块

林地林木胸径总体的方差相等（无显著差异）。

练习：在水平a=0.05下检验两块林地胸径的均值是否相

等：

H\：内丰出

%=5.4,x2—3.75,

P127.5

（1）方差齐性检验：/：CT；=b；，"i：CT；W<7；

取a=0.10

（2）检验问题：80：从=〃2Hi：内手出（a=0.05）

n1=40,n2=20,xi=248.3,x2=249.55,

si=3243.96,si=2932.79

考研同学请自学:

(IT)

(III)Hx:af<b；

检验的拒绝域：（ID

(III)条<-------------

§2E(〃2-1，〃1-1)

§4.6总体分布的假设检验（拟合优度检验）

一.理论分布为已知的只取有限个值的离散型分布

a

4：总体X服从分布任小…m}

[PlPl・・・Pm

Hi：总体X不服从此分布

巧，/，…"〃为X的样本,巧,马，…户〃中有匕个值是

%（，=12・・・,机）。〃充分大时，应有匕/〃aPi，即匕«np.o

称4=叫为〃「类”的理论值，而匕称为经验值。

・・•

X的取值6。2

■■■n

理论频数纥6=npiE2=np2Em=Pm

实际频数匕羽1%■■■4

记％2=之9二型，称为皮尔逊的拟合优度/统计量。

言Ei

皮尔逊1900年证明：

若“0真，则〃―8时，/趋于力2（帆一1）。有

显著水平为a的拒绝域：/>/（，”1）。

例：（P128习题8）后的前800位小数中，数字0,1,2.......

9出现的次数如下:

数字0123456789

频数匕74928379807377757691

数字分布是否服从离散型均匀分布？(。=0.05)

解：”。：数字分布服从离散型均匀分布，

兄：数字分布不服从离散型均匀分布

理论值E.=nPi=800x0.1=80(/=0,1,2,…,9)

/=.(匕一石厅=(74-80)21(92-80)21।(91—80)2

%-ME.-808080

I-UI

=5.125<16.919=^05(10-1)

接受数字分布服从离散型均匀分布.

练习：袋中装有红、白、蓝三种颜色的球。从中有放回地

取球100次，结果取到52个红球、21个白球、27个蓝球。

是否可以认为红、白、蓝三种颜色球的比例是5:2:3?

(a=0.05)

二.一般分布的情形(离散型取值无穷可数、连续型)

H。：总体X服从某分布，HQ总体X不服从此分布

总体分布为连续型：将总体X取值范围划分为有限的机

个区间AnA2<--,Amo与，与，…，上〃为X的iid.样本,

巧,号…，”〃中有匕个值落入A(i=12…，⑼。若"o真，

记Pi=P{XeAJ,理论上“1，/，…，/中有纥个值落入

这里Ej=呐,(i=l,2<>m)o

X的取值区间■■■

■■■En

理论频数均4=rip]E2=np2m=Pm

实际频数匕匕V2■■■4

若总体分布中有七个参数是估计值，则

m(v.-Fj2近似.

/=力----------〜-k-

心5(d

1=1Ei

显著水平为a的拒绝域：力2>/5一左一1）；

例：（PU6例4.15）200株落叶松胸径数据分组整理如下:

胸径分组（cm）组中值七频数匕频率力

[10,14)1230.015

[14,18)16140.07

[18,22)20220.11

[22,26)24520.26

[26,30)28590.295

[30,34)32310.155

[34,38)36150.075

[38,42)4040.02

检验落叶松胸径是否服从正态分布（a=0.05）

解：总体X服从正态分布N（〃Q2）,

H1:总体X不服从正态分布N3b2)

1m18

A-----

口=x=x.一v.=26.46；

Z1-X

Ifn18

(qJ2=s2=—77t(占一元A匕=同£(看一无H匕

n—[i=li=l

=33.07«5.7512

若真，则可计算理论频率进而计算理论频数瓦:

理论胸径分组理论频率P]理论频数E]实际频数匕

(-oo,14)0.01533

[14,18)0.05611.214

[18,22)0.14829.622

[22,26)0.24949.852

[26,30)0.26352.659

[30,34)0.17434.831

[34,38)0.07314.615

[38,+8)0.0224.44

其中,

14-2646

Ps=P[X<14}=①。(；)=①。(一2・17)=0.015,

E]=npi=200x0.015=3；

-尸

p2=P{14<X<18}=P{X<18}{X<14}

=①o(18—2646)―0015士①0(—L47)—0.015=0.056,

5.751

E2=np2=200x0.056=11.2；

2二寸(匕一£)=(3-3)2।(14-11.2)2।।(4-4.4)2

ME.-311.24.4

=3.99<Z(；05(8-2-1)=11.07,接受名。

§4.8同质性检验*（列联表中的独立性检验）（不考）

一.2x2列联表

例1.

1000人按性别和是否色盲分类如下:

正常色盲总计

男nn—442〃12=38n19=480

女%=514=6%=520

总计ti.i=956ri.2=44n=1000

此表称为2x2列联表。

假设检验问题为：

“0：性别和色盲这两个特性狸立

（在色盲问题上男、女是同质的）,

H1:性别和色盲这两个特性不独立

（在色盲问题上男、女不同质）

若“。真，则在是否色盲上男女无差别。由此,

儿I=956

正常人比例:

T-iooo,

色盲人比例:凡2=44

n-1000

于是，男、女正常或色盲的人数的理论值如下:

正常色盲

□_几i

□22n

EH-%•£12-U

nn

男

95644

=480x三~=458.88=480x——=21.12

10001000

口_n

石21_・lE=%.工

n22n

女

95644

=520x^-=497.12=520x——=22.88

10001000

可以证明，“。真时，在大样本情况下，有

(〃”―£]])2।(〃]2-旧12)2

Z2

区2

+

93P+3P^7⑴

421心22

由此若“。真，理论值吗与实际值均应当很接近，步的

取值应比较小，所以，/取值太大时拒绝“。.

检验的拒绝域的形式：/>c.

给定显著水平a,查表9（P259）得P{/>;d（l）}=a,

即检验的拒绝域为：z2>z^（l）o

(442—458.88)2(38-21.12了

例1中，%1

458.8821.12

(514-497.12)2(6—22・88/

+497.12.22.88=27.138

取a=0.01,则％：.。式1)=6.635,取>/。式1)

・•・拒绝，认为性别与色盲两特性不独立（男女在是否色盲

上有差别）。

二rxc列联表（教材P122）

BiB2…Bc总计

Annnn…nic

%〃22…n2c

•*

*■■■•

••

%2…nrcnr.

n

总计%%…n.c

cr

其中，%•=E〃ij，，=1,…凡j=E%，j=

i=li=l

rcrc

n=£%,=2n.j=ZE%・

i=ij=ii=ij=i

假设检验问题为：

Ho:特性A和特性B理立

（A类中的r种情况在特性B上是同质的）,

H.Q特性A和特性B不•独•立•

（A类中的r种情况在特性B上不同质）

若真，特性A和特性B没有十分密切的关系,

居出现的频率应为区；B2出现的频率应为乜;

n

……；Bc出现的频率应为外；

n

这样，在/真时，理论上4吗出现的个数应为

n..

Eij=ni.—，=l,2,・・・,r,j=l,2,…，c.

n

可以证明，?真时，在大样本情况下，

2

rc(np\近似

〜/((r-l).(c-l))

1=1j=iBq〃充分大

检验思想：若名真，理论值吗与实际值他应当很接近,

/的取值应比较小，所以，/取值太大时拒绝

检验的拒绝域的形式：%2>k.

给定显著水平a,查表9（P259）得

P{/>/（（D（D）}=a

检验的拒绝域为：N>7：（"-1）・（。-1））。

例2,为研究某地区男、女受教育是否平等，从30〜35岁

人中随机抽取200名男性和100名女性进行调查，得如下

结果：

中学大学研究生总计

"13=14

男nn=137%=49n19=200

女%=70%=26/3=4%•=100

总计%]=207凡2=75几3=18n=300

问该地区男、女受教育程度是否有显著差异（a=0.05）?

解：Ho:受教育程度和性别是独立的

（在受教育程度上男、女是同质的）

Hx:受教育程度和性别不是独立的

（在受教育程度上男'女不是同质的）。

若真，则男女无差别，各种受教育程度的人所占比例

为：

中学大学研究F-

=207n92=75n91=18

丁一丽丁―丽丁一丽

理论上，男、女各种受教育程度的人数为：

男中学：耳]=200x迎=138,

11300

男大学：£=200x——=50,

12300

1Q

男研究生：E[3=200X—J=12,

3300

女中学：£=ioox迎=69,

21300

7s

女大学：F22=100x^=25,

~2300

IQ

女研究生：E=100X-^-=6O即

23300

________中学大学研究生

男nn=137耳产138n12=49Ei2=50=14£13=12

女n21=70E2i=69n22=26^22=25n23=4£23=6

(137-138)2(49—50)2(i"12)2

138+50+12+

(70-69)2(26-25产(4-6产

=1.0817

69256

/=2,c=3,后("1)・(c-1))=就05(2)=5.991

/〈匕((r-lA(c-D),所以,不能拒绝8。,即认为该

地区男、女受教育程度无显著差异。

第四章内容:

假设检验的基本思想基