2021年中考数学知识点综合专题突破训练：二次函数综合2（附答案）

2021年中考数学知识点综合专题突破训练：二次函数综合2（附答案）

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=『+公与工轴交于A,B两点，点4在x轴的

负半轴，点B在x轴的正半轴，与），轴交于点C,fitanZACO=XCO=BO,A4=3.则

2

下列判断中正确的是（）

A.此抛物线的解析式为y=y+x-2

B.在此抛物线上的某点M,使△MA8的面积等于4,

这样的点共有三个

C.此抛物线与直线y=-9只有一个交点

4

D.当尤>0时，y随着x的增大而增大

2.已知抛物线），=-/+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A

作x轴的平行线交二次函数图象于点8,分别过点&A作x轴的垂线，垂足分别为C、

D,连结以、PD,PD交AB于点E,△必。与相似吗？（）

A.始终不相似B.始终相似

C.只有时相似D.无法确定

3.二次函数）=〃/+公+。（〃>0）的顶点为P,其图象与x轴有两个交点A（-〃z,0）,4

（1»0）,交y轴于点C（0,・3a〃?+6a）,以下说法：

①〃?=3：②当NAP8=120°时，〃=返：

6

③当NAP8=120。，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120。

的等腰三角形；④抛物线上存在点N,当△4BN为直角三角形时，有工

2

正确的是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

4.如图，已知抛物线y=nn2-6/九计5”？与x轴交于A、3两点，

以A8为直径的。尸经过该抛物线的顶点C,直线轴，交

该抛物线于M、N两点，交OP与E、b两点，若EF=2«,

则MN的长为（）A.2^6B.4^2C.5D.6

5.已知二次函数旷=0?+纵+°（a>0）经过点M（-1,2）和点N（1,-2）,交x轴于A,

B两点,交），轴于。.则：®b=-2;②该二次函数图象与），轴交于负半轴;

③存在这样一个。，使得M、A、。三点在同一条直线上；④若〃=1,则。4・03=。。2.

以上说法正确的有（〉

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③

6.定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就

称为：“美丽抛物线”.如图，直线/：产工+力经过点M（0,1）,一组抛物线的顶点

34

Bi（1,ji）>Bi（2,*）,B3（3,y3）,…BnCn,yn）（〃为正整数），依次是直线/上

的点，这组抛物线与X轴正半轴的交点依次是：Al（AI，0）,A2（X2,0）,小（X3,0）,…

A〃+l（初+1,0）（〃为正整数）.若川=d（OVdVl）,当d为（）时，这组抛物线中

存在美丽抛物线.

A.—git—B.至-或7

1212121212

7.割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边

数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之乂

割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是人胆地应用了以直代曲、无限

趋近的思想方法求出了圆周率.请你也用这个方法求出二次函数了46-4）2的图象与

两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（）

A.5B.殁C.4D.17-411

5

8.在平面直角坐标系xQy中，直线），=履（2为常数）与抛物线y=/2・2交于A,B两点,

且A点在），轴左侧，P点的坐标为（0,-4）,连接秒1,PB.有以下说法：

①尸。2=以・。8；②直线办、P6关于y轴对称；

③当仁返|寸，BP'BChBA；④△%B面积的最小值为4加，

3

其中正确的是（写出所有正确说法的序号）（）

A.①，③，④B.②，③C.②，④D.②，③，@

9.如图，在10X10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点

称为格点.若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线

的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网

格对角线。8的两个交点之间的距离为且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的

内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于），轴的抛物线条数是（）

15C.24D.13

10.如图，RtZXO/W的顶点4（-2,4）在抛物线）=0?上，将RiZXO/W绕点。顺时针旋

转90°,得到△OCQ,边CQ与该抛物线交于点P,则点尸的坐标为（)

A.(«，A/2)B.(2.2)C.(A/2.2)D.(2,«)

11.如图，已知动直线产or+〃分别交x、丁的两个正半轴与A、8两点，与反比例函数y=K

的图象交于CD两点.

(1)请在图①中找出始终保持相等的线段：(写出一组即可);

(2)如图②，以D为顶点且过点0的抛物线分别交函数y上的图象和x轴于点E、凡

连接CR当△AC产是直角三角形时，机的值为

2

12.如图，点。在抛物线y=2L_上运动，以点。为圆心的OP总经过定点4(0,2).设OP

y4

与x轴相交于M(xi,0),N(xi,0)(xiV.r2)两点，则MN=：当△AMN为等

腰三角形时，求圆心尸的横坐标为.

13.二次函数y=-7+2x+3的图象与x轴交于4、8两点,P为它的顶点，则S△幺8=

14.如图，正方形OA8C和正方形CQEF在平面直角坐标系中，点。，C,尸在y轴上，点

。为坐标原点，点M为0C的中点，抛物线)，=/+/?经过M,B,E三点、,则四的值

CB

为•

15.如图，分别过点Pi(i,0)(i=l、2、…、〃)作x轴的垂线，交的图象于点4,

2

交直线y;蒋x于点即贝|J++•・・+=

A1B1A2B2AnBn

16.如图，我们把一个半员1与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、

C、。分别是''果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为＞=7-2「3,AB为半圆的

直径，则这个“果圆”被)，轴截得的弦CQ的长为.

17.已知，直线与y轴交于点A,与直线y=-•交于点B,以A8为边向右作

22

菱形ABCD,点C恰与原点O重合，抛物线y=(x-/?)?+女的顶点在直线=-工上

2

移动.若抛物线与菱形的边AB、8c都有公共点，则力的取值范围是.

18.如图，抛物线)=・，+〃x+c与x轴交于4(1,0),B(-3,0)两点，与)，轴相交于

点C,请完成下面的填空：

(1)该抛物线的解析式为.

(2)在该抛物线的对称轴上存在点Q,使得△QAC的周长最小，则Q点的坐标为.

(3)在抛物线上的第二象限上存在一点P,使APBC的面积最大，则点P的坐标

为，△P8C的最大面积为.

19.如图，O为原点，线段/W的两个端点A<0,2),B(1,0)分别在，轴和入轴的正半

轴上，点C为线段AB的中点，现将线段加绕点B按顺时针方向旋转90。得到线段BO,

连结C。，某抛物线)，=>+公+。MHO)经过点。、点E(1,1).

(1)若该抛物线过原点0,则。=:

(2)若点Q在抛物线上，且满足NQ08与N8CQ互余，要使得符合条件的Q点的个数

是4个，则a的取值范围是.

20.已知直线)，=-3乂+3分别交人釉、，轴丁A、6两点，线段OA上有动点尸由原点O

4

向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作工轴的垂线交直线4B于点C,设运

动时间为，秒，以C为顶点的抛物线)，=(x+m)2+九与直线人8的另一交点为。，设^

CO。的OC边上的高为〃，当1=时，力的值最大.

21.已知，抛物线y=ax2+队+。(aWO)的顶点为A(5,t)(其中sWO).

(1)若抛物线经过(2,7)和(・3,37)两点，且s=l.

①求抛物线的解析式;

②若〃>1,设点M（/»,_yi）,N（〃+1,田在抛物线上，比较yi、y2的大小关系，并说

明理由；

（2）若。=2,c=-2,直线y=2x+m与抛物线y=a.r+hx+c的交于点夕和点Q,点、P

的横坐标为〃，点Q的横坐标为/?+3,求出。和人的函数关系式；

（3）若点A在抛物线y=』+3x+c上，旦2WsV3时，求。的取值范围.

22.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），且A（・1,0）,B

（4,0）,与〉，轴交于点C,C点的坐标为（0,-2）,连接8C,以8C为边，点。为对

称中心作菱形8OEC.点尸是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（，小0）,过点尸作x

轴的垂线交抛物线于点。，交BD于点M.

（I）求抛物线的解析式；

（2）x轴上是否存在一点P,使三角形尸8c为等腰三角形，若存在，请直接写出点。的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P在线段OB上运动时，试探究〃?为何值时，四边形CQM。是平行四边形？

请说明理由.

23.如图，抛物线)，=0?+/状+8(“wo)经过4(-2,0),C(4,0)两点，点8为抛物线

的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(I)求抛物线的解析式；

(2)动点P从点B出发，沿线段8。向终点。作匀速运动，速度为每秒1个单位长度,

运动时间为，，过点〃作交BC于点M,以PM为正方形的一边，向上作正方

形PMNQ,边QN交BC于点、R,延长NM交AC于点£

①当/为何值时，点内落在抛物线上；

②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，

求出此时刻的，值；若不存在，请说明理由.

24.如图，在平面直角坐球系中，抛物线y=7-2x-3与上轴交于小B两点、,与y轮交于

点C.

（1）求直线BC的解析式;

（2）若点。为抛物线上一动点，当点夕运动到某一位置时，S“3P=,求此时点

P的坐标.

（3）若将△AOC沿射线C8方向平移，平移后的三角形记为△AIOI。，连接A4,直线

A4交抛物线于“点，是否存在点G,使得△AMCi为等腰三角形？若存在，直接写出

。点横坐标：若不存在，请说明理由.

25.某班“数学兴趣小组”对函数），=»-2#・3的图象和性质进行了探究，探究过程如

下，请补充完整.

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与），的几组对应值列表如下:

X•••-3__5-2-101234

~2

•••0_7_m-4-3-4-305

y7

其中，m=.

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分,

请画出该图象的另一部分；

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；

（4）进•步探究函数图象发现：

①方程?-2^2-3=（）有个实数根；

②函数图象与直线），=-3有个交点，所以对应方程x2-2^2-3=-3有

个实数根；

③关于x的方程x2-2才-3=。有4个实数根，a的取值范围是.

26.如图，点尸是二次函数尸-/々-I产1图象上的任意一点，点4（1,（））在x轴上.

（1）以点P为圆心，BP长为半径作OP.

①直线/经过点C（0,2）且与x轴平行，判断。尸与直线/的位置关系，并说明理由.

②若。尸与>轴相切，求出点尸坐标；

（2）尸I、尸2、P3是这条抛物线上的三点，若线段BPi、8P2、BP3的长满足

BP1+BPQ+BPo

---------——-=BPo»则称尸2是Pl、P3的和谐点，记做T（Pl,P3）.已知尸I、P3

3----2

的横坐标分别是2,6,直接写出7（P,P3）的坐标

27.如图，抛物线），=o?+bx+c经过点C（0,3）,与x轴交于点A（-1,0）和点8（点B

在点4的右边），且OB=OC.

（I）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）点。、E在直线x=\上的两个动点，且DE=1,点D在点E的上方，求四边形ACDE

的周长的最小值.

（3）点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CB%的面积分为3：5两部分，

求点P的坐标.

28.如图，直线尸2与x轴交于点8,y轴交于点A,抛物线产”^告叶。经过A,

22

8两点，与x轴的另一交点为C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N,当NA：NM=2：3时，求点M的

坐标;

（3）在直线A8下方的抛物线上是否存在点P,使得NA18=2NOBA,如果存在这样的

点P,请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.

参考答案

1.解：根据题意易得C0=2A。，WCO=BO,48=3,故AO=1,BO=OC=2,

即A(-1,0)8(2,0)C(0,-2),进而可得此二次函数的解析式为)，=/-x-2,

故A错误.

要使△M48的面积等于4,须使M到x轴的距离为a,这样的点共有2个，故B错误.

3

。中，此二次函数的最小值为-9,故此抛物线与直线)，=-9只有一个交点，C正确.

44

当x>0时，)，随着x的增大而先减小再增大，故。错误.

故选：C.

2.解：令x=0,则y=L

：,OP=\,

设点A的横坐标为m,

则AD=-m2+\,

，轴，AOJ_x轴，

：.AF=OD=m,OF=-/M2+1,PF=\-(-w2+l)=〃P,

在Rt△附尸中，PA2=PF2+AF2=(m2)2+/n2=w4+w2,

在RlZ^POD中，™=VQP24OD2=V1W=

由轴得，△PEFs^PDO,

.PF=PE

**0P而'

即定

17l+m2

解得，PE=〃?2yl旭2,

：.B\1=PD*PE=m4+nr,

・PA=PE

**PDPA*

,?ZAPE=ZDB\,

:Z'DSXPEA

即，△外。与△PEA始终相似.

故选：B.

3.解：①•・•点A(-m,0)、B(1,0)在抛物线>=。/+法+c上,

•amZ-bm+c：。①

••<9

a+b+c=0②

由①-②得

ani2-bm-a-b=0,

即(〃?+l)(am-a-b)=0.

VA(-m,0)与B(I,0)不重合,

:.-mR1即机+lHO,

・•.〃?=a+b,

a

，点C的坐标为(0,3a-3b),

丁点C在抛物线y=ajr+bx+c上，

:.c=3a-3b,

代入②得a+b+3a・3b=0,即b=2a,

.•〃〃=史主=3,故①正确；

a

②・・・加=3，VA(-3,0),

・•・抛物线的解析式可设为)，=a(x+3)(x-I),

贝I」y=a(7+2x-3)=a(x+1)2-4a,

，顶点P的坐标为(-1,-4a).

根据对称性可得%=PB,

：,ZPAB=ZPBA=1-(180°・/APB)=30°.

2

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,

则有PGLi轴，

・・・PG=AG・tanN%G=2x2Zl=22Zl,

33

・・.4a=织1,

3

.♦.4=返，故②正确；

6

③在第一象限内作NMB4=120°,且满足过点M作轴于H,如图I,

在RtZkMUB中，ZMBH=60°,

则有MH=4sin60°=4X乂3=2«,8"=4cos60°=4xA=2,

22

・•・点加的坐标为(3,2«),

当x=3时，y=&(3+3)(3-1)=2“，

6

・••点M在抛物线上，故③正确；

④丁点N在抛物线上，・・・N4BNW90°,NB4VW90。.

当△A8N为直角三角形时，NAN8=90°,

此时点N在以44为直径的0G上，

因而点N在OG与抛物线的交点处，

要使点N存在，点P必须在OG上或OG外，如图2,

则有PG22,即4〃22,也即故④正确.

2

故选：D.

4.解：过点P作PHLMN于点H,连接EP,

-6"优+5，〃=m(x-1)(x-5)>

・••抛物线与x轴的交点坐标人(I,0),B(5,0),

•••'=〃屋-6inx+5m=tn(x-3)2-4〃？,

AC(3,-4zn),P(3,0),

故O尸的半径为：4m,

则AP=4m,

可得：OP=3=1+4加,

解得：，〃=』，

2

:.AP=EP=2,

「PH1MN,

:,EH=HF=®

当)，=1,贝ij1=工(x-1)(x-5),

2

整理得：/-61+3=0,

解得：r=3-泥，4=3+泥，

故A/N=3+，^-(3-A/6)=2。"^.

故选：A.

5.解：①•・•二次函数产加+加W(〃>o)经过点M(-1,2)和点N(1,-2),

.f2=a-b+c

-2=a+b+c

解得b=-2.

故该选项正确.

②方法一：・・,二次函数y=a^+bx+c,a>0

・•・该二次函数图象开口向上

•・•点M（-1,2）和点N（1,-2）,

・•・直线MN的解析式为），-2=2-（-2）［x-（-l）］,

-1-1

即y=-2x,

根据抛物线的图象的特点必然是当・IVxVl时，二次函数图象在），=-2x的下方,

・•・该二次函数图象与），轴交于负半轴：

方法二：由①可得b=-2,a+c=O,即c=-«<0,

所以二次函数图象与），轴交于负半轴.

故该选项正确.

③根据抛物线图象的特点，M、A、。三点不可能在同一条直线上.

故该选项错误.

④当。=1时，c=-1,J该抛物线的解析式为-2x-I

当），=0时，0=7-2x+c,利用根与系数的关系可得川・町=小

即OA*OB=\c\,

当x=0时，y=c,即OC=|c|=1=0。2，

・••若〃=1,则0A・OB=OC2,

故该选项正确.

总上所述①②④正确.

故选：C.

6.解：直线/：y=L+b经过点M（0,A）,贝IJ〃=工；

'344

・•・直线/：y=iv+l.

'34

由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角

三角形；

・••该等腰三角形的高等于斜边的一半.

•••OVdVl,

・•・该等腰直角三角形的斜边K小于2,斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；

•・•当K=1时，yi=Axi+.1-7<1,

3412

当x=2时，^=AX2+A=1L<|,

3412

当x=3时、），3=工乂3+2=立＞1,

344

工美丽抛物线的顶点只有用、B1.

①若&为顶点，由(1,—),则d=1--=—；

121212

②若82为顶点，由B2（2,旦），则4=1-[（2一旦）11

1

121212

综上所述，d的值为呈或&时，存在美丽抛物线.

1212

故选：B.

7.解：如图，设抛物线与坐标轴的交点为A、则有:

A(4,0),B(0,4)；

作直线/〃八6,易求得直线26:y=-A+4,

所以设直线/：-A+/z,当直线/与抛物线只有一个交点（相切）时，有:

-x+h=—(x-4)2

4

整理得：-iv2-x+4-h=0,

4

△=1-4X-1.(4-/?)=0»BP/z=3；

4

所以直线/：y=・x+3；

设直线/与坐标轴的交点为C、D,则C(3,0)、D(0,3),

因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于See小于

SAOCD=—X3X3=4.5.SMB=-^X4X4=8,

22

故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5VSV8的范围内，选项中符合的只有

A,

故选：A.

8.解:设4(m,km),B(w,kn),其中〃?VO,〃>0.

联立-2与得：-kx2-2=kx,即x2-3息-6=0,

/.m+n=3k,mn=-6.

设直线外的解析式为y=ax+8,将P(0,-4),A(.m,km)代入得:

(b=-4,解得广皿£Q-4,

lma+b=kmm

••y=(km+4)v_

m

令y=0,得x=.曲1，

km+4

・•・直线必与天轴的交点坐标为（一回L,0）.

km+4

同理可得，直线PB的解析式为y=（JSntl）x-4,直线P8与x轴交点坐标为（3_

nkn+4

0）.

,:4m+-^_=0,

km+4kn+4

・••直线孙、P8与x轴的交点关于），轴对称，即直线小、P8关于），轴对称，故②正确

（1）说法①错误.理由如下：

如答图1所示，•・•以、关于），轴对称，

工点A关于〉轴的对称点A'落在P8上.

连接04',则。A=0A',ZPOA=ZPOA,.

假设结论：P^uPA-PB成立,即。。2=%'・PB,

・

••---P-O:-----P-B-,

PAZP0

乂•：NBPO=NBPO,

•••△POA'S/^PBO,

：,ZPOA1=NPBO,

・•・ZAOP=ZPBO.

而ZAOP是△PBO的外角，

AZAOP>ZPBO,矛盾,

・•・说法①错误.

（2）说法③错误.理由如下:

当&=限时,联立方程组：,

，得A(-«,-1),B(2立，2),

3y=4-x2-2

・・・/3尸=(4+2)2+(2«)2=48,BO・ZM=4X6=24,

故说法③错误.

(3)说法④正确.理由如下：

SAPAB=S^PAO+S/XPBO——OP•(-w)+—OP,n——OP•(z?-m)=2(n-m)=

222

27(m-m)2-4inn=279k2+24,

・••当A=0时，△以8面积有最小值，最小值为2亚=4泥.

故说法④正确.

综上所述，正确的说法是：②④.

故选：C.

9.解:①如图，开口向下，经过点（0,0）,（1,3）,（3,3）的抛物线的解析式为）=-

7+4大，

然后向右平移I个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线,

可平移6次，

所以，一共有7条抛物线，

同理可得开口向上的抛物线也有7条，

所以，满足上述条件且对称轴平行于1y轴的抛物线条数是：7+7=14.

②当经过点(0,0),13,3),(6,4)的抛物线的解析式为)，=-Ld+gx,

93

将抛物线向上、向右平移一个单位，得到符合条件的新抛物线；

可平移4次；

・♦・开口向下共有5条符合条件的抛物线；

同理，开口向上的也有5条；

工共有10条.

10+14=24(条).

故选：C.

10.解：・・・RtZ\QAB的顶点A(-2,4)在抛物线上,

・・・4=。义(-2)2,

解得：。=1

・••解析式为y=/，

■RlZXOAC的顶点A(-2,4),

・•.08=00=2,

••,RlZXO人B绕点。顺时针旋转90°,得到△0C。，

・・・CD〃"由，

・••点。和点P的纵坐标均为2,

・,.令y=2,得2=」,

解得：x=土加，

•・•点尸在第一象限，

・••点P的坐标为：(血，2)

故选：C.

11.解：(1)y=ax+b4-A=0,y=Z?令y=。，尸

(上0)8(0,b),

a

rtly*两式联立可得，ax2+bx-2=0,

X

设Q.。横坐标为xo、xc,

b

过C。两点作x轴的垂线，垂足分别为P、Q,过点。作。RJ_y轴于凡

显然四功形DROP为矩形，从而RD=OP,

Vxo=--AC,而OP+B4=—»

aa

：.RD=QA,

在△BQR与△CAQ中，

ZBRD=CQA=90°,RD=QA,2BDR=4CAQ,

：,^BDR^/\CAQ(ASA),

：・AC=BD,

故答案为AC=8。(答案不唯一)；

(2)①当NCM=90°时，

设。尸=2，，AF=DR=t,

•.•'AF'=t二1,

OF2t2

故

②当NR74=90°时，

分别过C.O作x轴的垂线，垂足分别为P、Q.

设。"=2/,则*=-软=^~,即空=2^,

0A上3PA3

a

V3_

ACp=AC=_2>/3_

3X31

VZCM=ZFC4=90>,ZC/«P=ZCM,

△尸a,

±2

.•包g则"*=!!_=&

FACAPAl3

A

.AFJ~t=2

**0F

故答案为：得豌.

/O

12.解：设P（〃?，工m2），如图，连接见，AM，AN,PN,过点。作PH_LMN于〃

4

-201H2

；.MN=4.

(in-2,0),N(加+2，0)»

F(0,2),

•・・斓=4缶-2)2+•A/v=7(m+2)2+4*

当AM=AN时，Y(m-2)2+4=，(m+2)2+T

解得〃i=0,

当时，d(m.2)2+4=4.

解得：〃?=2±2«,

当AN=MN时，仙2)2+4=4,

解得：〃--2±2«,

・••尸点的横坐标为0或2±2后戈-2±2“.

故答案为：4；0,2±2“，-2±273

13.解：将二次函数y=-/+2x+3化为y=-（%-3）（x+l）,

已知二次函数与x轴交于A、8两点，故*=3,X2=-1.

将一般式化为顶点式为），=-（x-1）2+4,

得出顶点坐标。为（1：4）

故Sc=』X4X4=8.

2

14.解：设正方形0ABe的边长为机，和正方形COE广的边长为乩

•・•点M为OC的中点，

，点M为（0,典）、点B为（小，〃?）和点E为（〃，加+〃），

2

•・•抛物线经过M,B,E三点，

^.m=ani2+—.

2

解得：a=—,

2m

工抛物线:^工2卡皿，

-2m2

把点七（/nm+n）代入抛物线得

m+n=—i--z?2+—,

2m2

解得：n=m+y/~2n或n=m-（不合题意，舍去），

即CB=m,EF=m+y/~2n,

15.解：根据题意，知4、42、A3、…4的点都在函与直线x=id=l、2、…、〃）的图

象上,

四、82、仍、…%的点都在直线y二二•点直线尸i（，=1、2、…、〃）图象上,

2

•(1,工)、Az(2,2)、A3(3,—)--An(〃，-l/z2)；

222

Bi(1,-A),Bi(2,7)、仍(3,一2)•••儿(",-H)；

222

・・・AiBi=|工-(-A)|=1,

22

A2B2=\2-(-1)|=3,

A3B3=\—~(--)|=6»

22

AnBn=\^r-(--)|=n(n+D；

222

.・^=i,17...1-2

A[B]A2B23AnBnn(n+l)

.111

••--------+---------+…+--------,

A1B1A2B2AnBn

=1+A+i♦«+-----2-----,=2[—+-id—•••+------------],

36n(n+l)2612n(n+l)

c1.11.11...11)=2(1--J^),=2n

22334nn+1n+1

故答案为：也_

n+1

16.解：连接AC,BC,

;抛物线的解析式为-21-3,

・••点。的坐标为（0,-3）,

・・・0£＞的长为3,

设)，=0,则0=7-2x-3,

解得：x=-1或3,

・"(-1,0),B(3,0)

・"O=1,BO=3,

•••A8为半圆的直径，

.•・NACB=90°,

•・・CO_LAB,

••・。。2=4。・8。=3,

:.CO=43,

・・・CO=CO+OO=3+V^

故答案为：3+V3-

17.解：把x=0代入y=»kt+2得：＞,=2,

2

・M(0,2).

将y=JLX+2与y=--iv联立，解得：％=-2,y=1,

'2'2'

:.B(-2,1).

•・•抛物线¥=Cr-A）?+%的顶点在直线y=-L上,

2

・•・抛物线的顶点坐标为（力，k）且2-Lz.

2

，抛物线的解析式为产（X-/Z）2-1/1.

如图1所示:

当抛物线经过点。（O）时，抛物线恰好与“C、AB均有交点,

将点C(0,0)代入y=(x-/?)2--I//得：h2-L?=0,解得h=0(舍去)或h=-.

222

如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点

此时点4恰好为抛物线的顶点,

・•・/?=-2.

・••当时，抛物线与菱形的边48、8c都有公共点.

2

故答案为：-2W〃W』.

2

18.解：（1）•・•抛物线），=-/+云+。与x轴交于A（1,0）,8（-3,0）两点,

J-l+b+c=O,解得b=-2

I-9_3b+c=0c=3

・•・抛物线的解析式为尸-7-2x+3.

故答案为y=-?-2v+3.

（2）如图1中，连接3C交对称轴于Q,此时4Q+QC最小，即△QAC的周长最小,

b=3,解得.k=l

设最小BC的解析式为），=丘+〃，则有

-3k+b=0b=3

・•・直线BC的解析式为），=户3,

;抛物线的对称轴x=・1，

：.Q(-I,2).

故答案为（・1，2）.

（3）如图2中，设尸（阳,-m2-2m+3）,作PM〃轴,交BC于M.则M（/〃，〃计3）.

图2

SaPBc=2・PM・3=2(-nr-2〃?+3-w-3)=-3(m+3)2+^-,

22228

•・•一2〈o,

2

・•・当加=・“，△PBC的面积最大，最大值为2L此时点p（■三豆）.

2824

故答案为（15、27

・3,一,9'

248

19.解：（1）①过点/）作山」x轴于点F,如图I,

•••/。8/+/48。=90°,/840+乙48。=90°,

:,NDBF=NBA(),

乂・・・NAOB=N8尸D=90",AB=BD,

在△AO8和△8FQ中，

rZDBF=ZBA0

<ZA0B=ZBFD«

AB=BD

.••△AO哙△3"。(AAS)

：,DF=BO=\,8/=40=2,

・・・。的坐标是(3,1),

把。(3,1),E(1,1),O<0,0)代入y=o?+bx+c,

9a+3b+c=l

得，a+b+c=l，

c=0

解得〃=-工，

3

故答案为-1；

3

(2)如图2,VD(3,1),E(1,1),

抛物线y=（^bx+c过点从。，代入可得卜+b+cn,解得|b=-4a,所以）,=/

I9a+3b+c=lIc=l+3a

-4ax+3a+1.

分两种情况：

①当抛物线y=a^bx^c开口向下时，若满足/Q08与NBCD互余且符合条件的Q点

的个数是4个，则点。在x轴的上，下方各有两个.

（/）当点。在x轴的下方时，直线0Q与抛物线有两个交点，满足条件的。有2个：

（”■）当点。在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线），=«?+加:+c有两个交点，抛物线

）=0?+小+。与工轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在），轴的负半轴，所以

3a+l<0,解得-A；

3

②当抛物线勿:+c开口向上时，点。在x轴的上、下方各有两个，

（/）当点Q在x轴的上方时，直线。。与抛物线y=/+〃x+c有两个交点，符合条件的

点。有两个；

（"）当点。在x轴的下方时，要使直线0Q与抛物线,=〃/+以+’有两个交点，符合条

件的点。才两个.

根据（2）可知，要使得NQ0〃与NBCD互余，则必须NQOB=N840,

・・・tan/QO8=tanNBAO=2*=>l,此时直线OQ的斜率为-A,则直线。。的解析式为

0A22

y=-工，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax1-4av+3«+l=

2

-工有两个不相等的实数根，所以△=（-4«+A）2-4〃（3a+1）>0,即4«2-8t/+A>

224

0,解得a〉4、宙元舍去）

44

综上所示，。的取值范围为•或。>生逗.

34

故答案为aV-工£生运.

34

以C为顶点的抛物线解析式为y=（X7）2-邑+3,

4

由（x-Q2_m+3=-Zi+3,

44

解得：Ai=r,x2=t~,

4

过点。作QE_LCP干点E,

则NOEC=NAOB=9Q°,

DE//OA.

：・NEDC=NOAB,

:•△DECSAAOB,

・DE=CD

一而AB，

V4O=4,人8=5,DE=t-（f-3）=3，

44

3x5

...CD=DE・BA=4=15：

AO416

C。边上的高=至£&=」2,

55

:.5AC0D=—XJ^.=—,

2168

:.SzxCOD为定值，

要使0C边上的高，的值最大，只要OC最短，

•・•当。C_LA8时，C。最短，此时0C的长为卫，N8CO=90°,

5

VZAOB=90°,

NCOP=900-ZBOC=ZOBA,

又・・・CP_LOA,

.*.RtAPCO^RtAO/W,

.OP=0C

"OBBA，

.•.O〃=0C・B0=卫义旦=更,即/=逊，

BA552525

当，为强秒时，〃的值最大.

25

故答案为：M

25

21.解：⑴①设抛物线的解析式为：尸〃(x-1)2乜

根据题意得：。:a+t,解得：卜=2,

37=16a+tIt=5

故抛物线的解析式为：y