2023年竞赛中的不等式问题

Y.P.M数学竞赛讲座1

不等式的基本问题

高中联赛中不等式H勺基本问题包括：不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.

1.同向可加

［例1］：（1983年全国高中数学朕赛试题"全国高中数学联赛河南初姿试题）已知函数£（*）-。/一5满足一，1<：仪1）£一

1,-IWf（2）W5.那么，f（3）H勺取值范围是.

［解析］:

［类题］:

L《辽宁高考试题）已知7<x+"4,且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范闱是（答案用区间表达）.

2.（全国高中数学联赛浙江初赛试题）已知二次困数尸ax%,且当x=l时,一4WyW-l,当x=2时,一lWyS5,则当x=3时,y

的取值范围是.

3.1全国高中数学联赛试题）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和不小于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃蜃的价格之和不

不小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃磐的价格比较成果是（）

（Q2枝攻现价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相似（D）不确定

4.H988年全国高中数学联赛上海初赛试题）设x+2y21,5x+y22,则1。即（2'+2'）的最小值是

5.（江苏高考试题）设实数x,y满足3<xy/W8,4W—这9,则的展大值是一.

6.1四川高考试题）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S421O,S5W15,则g的最大值为.

7.11986年全国高中数学联赛试题）x,y,z为非负实数，且满足方程4际W-68X2际^+256=0,那么x+y+z啊最大值

与最小值的乘积等于.

2.函数单调性

［例2］:(1999年全国南中数学联赛试题)若(1。&3)~log53)x》(log⑶-—(Io旗3)r,则()

(A)x-y>0(B)x+y2O(C)x-yWO(D)x+yW0

［解析］:

[类题]：

1.(全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+8)上的减函数，若f(2a、aH)〈f(3a/4a+l)成立，则a的取值范国

是.

2.(全国高中数学联赛江苏初赛试题)设fix)是定义在R上单调递减的奇函数,若Xi+X2>O,x：+xDO,x)+xt>OJB()

(A)f(X1)+f(X2)+f(xs)>0(B)f(X1)+f(x2)+f(X3)<0(C)f(X1)+f(X1)+f(Xi)=0(D)f(Xi)+f(X2)>f(xs)

3J全国高中数学联赛试题)设f(x)=x*l。女(x+庐:)，则对任意实数a,b,a+bNO是f(a)+f(b)20时()

(A)充分必要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件

4.I全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数1'(*)=*“-1。/(&77^).则对于任意实数&、b(a+bHO),

(A)恒不小于零(B)恒等于零(C)恒不不小于零(D)符号K

确定

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5.4全国高中数学联赛福建初赛试题)设f[x)=—!—+lg匕二则不等式f[x(x-])"'l向解集为

2x+51+x25---------

6.(全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a、b是任意实数，且a〉b,则卜列不等式一定成立的是()

(A)a2>ba(B)-<1(C)lg(a-b)>0(D)(!)"<(1)*

a22

7.(1)(1985年全国高中数学联赛试题)(全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<L若x,=a,x?=«”,XFM,…，

x„=a'n'，…,则数列｛xj

(A)是递增的(B)是递减向(。奇数项是递增的，偶数项是递减的⑻偶数项是递增I肛奇数项是递减的

⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a",c=d",若0.9代〈1,则()

(A)a<c<b(B)a<b<c(C)b<a<c(D)c<a<b

3.大小比技

［例3］：。982年全国高中数学联赛试矮)当£>.1)是两个不相等的正数时,下列三个代数式：甲：6+口&>1),乙：(疝*

ab

4尸,丙：(字+刍〉中间，值最大的一种是()

■Jab2a+b

(A)必然是甲(B)必然是乙(C)必然是丙(D)一般并不确定，而与a、b的取值有关

［解析］:

［类题］：

1.11983年全国高中数学联赛试题八二一)+—，I向值是属于区间()

log；log；

：5

(A)(-2,-1)(B)(l,2)(C)(-3,-2)⑻⑵3)

2.<全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知61e=屈1-。*=而-屈工那么()

(A)a>b(B)a<b(C)a=b(D)a、bl*J大小与m的取值有关

3.1全国高中数学联赛天津初赛试题)设n为正整数,x=(l+b-,y=(l/)叱则()

nn

(A)x'>/(B)xv=yx(C)xy<y*(D)以上均有可能

4.1全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>l,t>0,若a'=a+l,则b'与b+t的大小关系是()

(A)b'>b+t(B)b*<b+t(C)bx=b+t(D)不确定.

5.(全国高中数学联赛甘甫初赛试题)已知x、y21,且疟F+如二TW2JUJ()

G，)x2y(B)xWy(C)x+y2xy(D)x+yWxy

6.(全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c为互不相等的正数,1+1=2元,则下列关系中可能成立的是()

(A)a>b>c(B)b>c>a(0b>a>c(D)a>c>b

7.1全国高中数学联赛天津初赛试题)若O〈a〈b,且a+b=l,则下列各式中最大的是i)

(A)-l(B)log：a+log；b+l(C)logzb(D)log2(a'+a'b+ab'+b')

8.I全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a、b是两个不相等I向正数时，下列不等式中，不成立的是()

*123

(A)(a+l)(b+l)XV^+')(B)(a/)(b+，)>(j+二-¥(C)&4〉Q：乎

aby/abab24+〃a"+£>a+ba-ba-b

4.解不等式

Y.P.M数学竞赛讲座3

［例4］:(全国高中数学联赛试题)不等式―匚+2|〉工的解集为

鹏2------------

［解析］:

［类题］:

2

1.U998年全国高中数学联赛试题)设命题P:有•关x的不等式a4+b，x+ci>0与a2x+b2x+c2>0的解集相似;命题Q："=乡=

9".则命题Q()

(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件

(C)是命题P的必要条件但不是充分条件(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若1必收<1,则a的取值范困是.

⑵(1995年第六届但愿杯全国数学邀请套(高一)试题)假如1。&3<1,那么a的取值范围是_______________,

4

(3)(全国高中数学联赛湖南初赛试题)若则a的取值范围是.

⑷(1994年第五届但愿杯全国数学遨请赛(商一)试题)若log.(2-a2)<l,则实数aH勺取值范围是.

3.(D(全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式X2-2|^2X+1H勺解集为

（Z）（全国高中数学联赛试题》不等式Ixl'-Zx」-4|x|+3〈U的解集是.

⑶（全国高中数学联赛山东初赛试题）不等式1[1,|>1的解集是_____________.

logiX+I3

3

⑴（1995年第六届但愿杯全国数学邀请赛（商一）试题）若a>O,a*l,且|1。&2|〉1。%2则a的取值范围是.

4.⑴（1995年第六届但愿杯全国数学邀请篓（高二）试题）不等式河商>1-1。四旺]解是.

⑵（全国高中数竽联奏试题）设log1（2x2+x-l）>log.2-l,则x的取值范围为.

⑶（全国高中数学联赛试窥）不等式Jl哈I+1logV+2>0的解集为.

4.（全国高中数学联赛江苏初赛试题）有关x的不等式xs-ax-20aJ<0任意两个解的差不超过9,则aI向最大值与最小值的和

是.

5.I全国高中数学联赛天津初赛试题）定义区间（c,d）,[c,d）,（c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d〉c.已知实数a>b,

则满足_L+_L21|向x构成的区间的氏度之和为________.

x-ax-b

6.11996年第七届但愿杯全国数学邀请赛]高二）试题）若一幽匚<1的解为（1,2,则a的取值范围是_________.

IgS+.V）

7.《全国高中数学联赛试题）解不等式logKx'BxQSx+^'+DX+lo&a'+D.

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基本不等式

高中联赛客观题中口勺不等式包括:⑴二元均值不等式：①基本不等式a?+b?221abi及其推论a'b,+dNab+bc+cd；

2

a'+b7+c'+d'2ab+bc+cd+da;x」+x7+…+x„'2〉：tX2+x2X3+…+XeTX”+x”x“等号当且仅当Xi=X2="=x”时成立；②当a>0,b>0时，-~~-

—4•一

at

W痴W孚Wi心巴，答号当且仅当a巾时成立，其中工+工云口」+■!•妾二一称为调和不等式;⑵三元均值

2V2ab4ababa+b

不等式：①当a+b+c20时，a'+b'+c'23abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c时成立;②当a>0,b>0,c>0时，“'?—云

烟，等号当且仅当a=b=c时成立;③当e>0,b>0,c>0时，，:，W疵W空之上WJ1十1一），等号当且仅当

1+1+13V3

abc

a=b=c时成立;⑶n元均值不等式：当a,〉0（i=1,2,…,n）时，-~产-----R（调和平均数）W0〃。…品（几何平均数）

---++•••+

«la2an

ws+a［+…+%（算41平均数）wJ尤士正匕出（方嘉平均数），等号当且仅当a,=a产…=a”时成立;⑷柯西不等式：。

n\n

基本彩式Co：当a,,b£R（i=1,2,…，n）时，ia:+a2'+…+a：）（b「+bj+…+b：）2（ab+a［b?+…+a"b.）等号当且仅当ai:bi=ai：ba=

时成立;②变形式G:当a,,b,€R.（i=1,2,…,n）时，g+a?+…+a“）（b,+b?+…+b.）2（J她+J曲a+,•,+）",等号

当JL仅当a.:b.=a2:bm“=a”:，时成立;③变形式C?:当a.,b.eR.（i=1,2,…，n）时，（ab+a辰+…+ah）（"+经+…+%•）2

b\h2hn

（&+a卢…+&）',等号当且仅当b'=b?="=b"时成立;④变形式G：当a,£R.,b.£R（i=1,2,…，n）时，（a,+a?+…+a“）（蛆+且+

ala2

…+2L）2（b+b?+…+bj；等号当且仅当a,：|b,|=a,：|b,|="=a、|b0|时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立

%

条件、不等式。勺变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中n勺巧用等方面进行.

1.等号成立的条件

［例1］：（全国高中数学联赛试题）设a,b为正实数，■L+LWZ拒，（a-b）2=4（ab）；则log合_______.

ab

［解析］:

［类题］:

1.《北京高考试题）假如正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么（）

（A）abWc+d,且等号成立时a,b,c,d"勺取值惟一（B）ab2c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值惟一

（C）ab〈c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟一（D）ab2c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟一

2.（全国高中数学联赛四川初赛试题）已知函数f（x）=C竺乌也»的最小值是o,则非.零实数k时值是.

X4+2X2+4

3.⑴（全国I高考试题）（理）已知函数f（x）=|lgx|.若0<a<b,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范用是

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⑵(全国高中数学联赛上海初赛试题)(全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=衣2|,若f(a)=f(b),fi0<a<b,

则ab的取值范围是.

|log/rx|(0<x<8)

(3)(全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=V.若a,b,c是互不相等的实数，且

—x+8(x>8)

f(£)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是.

4.①(1996年全国高中数学联赛试题)假如在区间［1,2］上函数f(x)=x?+px+q与gGhx+l在同一点取相似的最小值，那

X-

么f(x)在该区间上的最大值是.

②(全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=2x，3px+2q和6(x)=x+±是定义在集合卜1=仪|1这乂这2｝上附函数,

X4

对任意的xWM,存在常数XoEM,使得f(x)>f(xn).<1>(x)><l)(xc).且f(x°)=6(X").则函数f(x)在M上的1最大值

为.

5.(全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形AABC中，角KB、C的对边分别为a、b、c,若2+g=4cosC,则一!一+二一

abtan4tan£'

时最小值是.

6.①(1990年全国高中数学联赛试题)点柒(6力|18々+!/+^)=9*+18/中元素的个数为()

(A)0(B)l(02(D)多于2

②(全国高中数学联赛新籁初赛试题)已知a“an…,a,均为正实数,且满足由+加+…+③勺,_L+J-i・+-L=4,则aa…“

0\。2%

值是.

2.二元均值不等式

［例2］：(全国高中数学联赛试题)已知x,y都在区间(一2,2)内，且xy=-l,则由数1>=3+-^口勺最小值是.

4-/9-/

［解析］:

［类题］:

1.⑴（全国高中数学联赛贵州初赛试题）若a、b£R.，且a-b=l,则/+岳（）

（A）既有最大值,也有最小值（B）有最大值,无最小值（C）有最小值,无最大值（D）既无最大值,也无最小值

<2）（1996年第七届但愿杯全国数学邀请赛（高二）试题）当a,b<0时，函数y=——_；-在区间（0,+8）上的最大值是

（x-a）（x-b）

)

(A)-(7M-丫(B)(屈♦•亚i)"⑹函-阿⑻，、荷+历/

2.⑴（全国高中数学联赛广西初赛试题）若点P（x,y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x,y）=3'+9'的最小值等于

⑵（全国高中数学联赛福建初赛试题）已知，点（x,y）在直线x+2y=3上移动，当2'+4,取最小值时，点（x,y）与原点的距禺

是.

⑶（全国高中数学联赛四川初赛试题）函数f（x）=9'+9-'-2（343,1向最小位是.

3.（1）（全国高中数学联赛试题）函数f（x）=57'+」在（-8,2）上的段小值是

2-x-----------

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（2）（全国高中数学联赛河北初赛试题）已知a>b,ab=l,则口L的最小值是____.

a-h

⑶（全国高中数学联赛河北初赛试题）已知二次函数丫=2/+1汇+（：203<1））,则\1=空二”上的最小值是______.

b-a

4.⑴（全国高中数学联赛四川初券试题）设a,b为正实数，且a+b=l,则•!•+：打勺最小值为_______.

ab

⑵（全国高中数学联赛四川初赛试题）已知正实数x,y满足x+2y=4,则'的最小值为.

xy

（3）（全国高中数学联赛贵州初赛试题）若直线ax-by+2=0（a>0,b>0）和函数y=log（x+2）+2（c>0且cX）的图象恒过同一种

定点,则工+：的最小值为_______.

ab

⑴（全国高中数学联赛河南初赛试.题）设0<x<l,a,b都为不小于零的常数，则Q+廿-的最小值为________.

XI-X

5.⑴（1993年全国高中数学联赛上海初赛试题）（江苏省数学夏令营数学竞赛题）设x,y,z£R；且xyz（x+y+z）=l,则

（x」y）（y+z）的最小值是.

⑵（全国高中数学联赛浙江初赛试题）实数X,y,z满足xV+z2=l,则后xy+yz的最大值为,

6,⑴（全国高中数学联赛夭津初赛试题）已知x.»心…，x均为正实数,则xi+江+旦+…+—也J+

X］.X|X2V|.r2•■•x2009

---I向最小值为.

•rlT2,,■r2OIO

4

ab,ab<,-----r

⑵（全国高中数学联赛江苏初赛试题）设a,b为正实数，记M=4，则M的最大值是.

~a^'Ob>~a^

3.二元均值的变式

［例3］：（全国高中数学联赛浙江初赛试题）函数f（x）=?mx+8sx+tan»8U+$inx+cosx+tanx+co"在（0,工）时

sin.r+tan.rcosx4-tan.rcosx+cotxsin.r4-cot.v2

的最小值为.

［解析］:

［类题］:

L（全国高中数学联赛陕西初赛试题）若实数x、y满足一+尸=1,则上一7H勺最小值是.

2.1全国商中数学联赛江苏初赛试题）设a>b>0,那么£+—!—时最小值是________.

b（a-b）

3.①（全国高中数学联赛河北初赛试题）已知^+旨+。2=1,则ab+bc+ca的值域为.

②（1997年全国高中数学联赛上海初赛试题）已知实数x、y、z、t满足x+y+z+t=0,xly斗z%』。,则xy+yz+zt+tx的最

大值与最小值的和为.

4.（全国高中数学联赛上海初赛试题）实数a,b,c,d满足成+旨+/+<12=5,则（a-b）2+（a-c）2+（a-d）2+（b-c）2+（b-d）2+（c-d》的最

大值是-

5.，第十二届但愿杯全国数学邀请赛（高二）试题）当<立时，函数y=（」一T；（—!--【）的域大值是______.

2sin"co、，

4Y.P.M数学竞赛讲座

6,（全国高中数学联赛广东初赛试题）已知n（neN,n^2）〃是常数，且x“x?,…，焉是区间［0,2］内任意实数，则函数

2

f（>:）,Xi,,,,,x、）=sinxicosx2+sin*cosx3+…+sinxncosxi的最大值等于.

4.n元均值不等式

［例4］：（1994年全国高中数学联实试题）设0<6<n,则sid（1+cos。）的最大值是_________.

2

［解析］:

［类题］:

I.4全国高中数学联赛上海初赛试题）设x,y,z是正实数，满足xy+z=（x+z）（y+z）,则xyz的最大值是.

2.<全国高中数学联赛河南初赛试题）设a>b>0.则a'+7rJ的最小值是

bia-b）------------------------

3.（第十一届但愿杯全国数学邀请赛（高二）试题）从半径为1分米的网形铁片中剪去网心角为x弧度的一种扇形，将余下部

分卷成一种圆锥（不考虑连接处用料），当圆锥的容积到达最大时,x的值是.

4.（全国高中数学联赛福建初赛试题）对于，Wx这1,当（1+X）Y1-X）（1-2X）2获得最大值时,x=___.

2

5.，全国高中数学联赛江西初赛试题）设x,y,z>0,且x+y+z=l,则f（x,y,z）=xy"z'lfj最大值是.

6.（全国高中数学联赛湖北初赛试题）设xe（0,工），则函数y=3-十二一的最小值为________.

24mcosx

5.柯西不等式

［例5］：（1983年全国高中数学联赛试题）设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=而+而，4疯二•匹?，那么（）

Imn

（A）P2Q（B）PWQ（C）P<Q（D）P、QH勺大小关系不确定，而与m,nI向大小有关

［解析］：

［类题］:

I.（全国高中数学联泰江力初赛试题）假如实数m,n,x,y满足m'+n?=a,x'+广b,其中a,b为常数，那么mx+nyI向最大值

为.

2.（全国高中数学联赛天津初赛试题）已知a,b为正整数,a〈b,实数x,y满足x+、=4（+历7），若x+y的最大值为

40,则满足条件的数对（a,b）的数目为（）

（A）l（B）3（05（D）7

3.①（全国高中数学联赛吉林初赛试题）代数式a4二"+b苏力的最大值是.

②（1995年全国高中数学联赛上海初赛试题）设a、b、c为正常数,x、y、z为实数，且满足足|Wa,|y|Sb,z|Wc,则（x+y+z）

（7«2-.r+护-y2+7c2-z2）的最大值是.

4.1第十一届但愿杯全国数学遨请赛（高二）试题）已知x、y、z£R：旦，+2+3=1,则x+2+三的最小值是_____.

xyz23

5.1第二十届但愿杯全国数学邀请赛（高二）试题）若怎17+四二1=4,则2x，3y的取值范围是.

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6.<全国商中数学联赛四川初赛试题）若0<a、b、c<l满足条件ab+bc+ca=l,则_L+_L+」_的最小值是________.

］-a1-h1-c

6.对称不等式

［例6］:（全国高中数学联赛四川初赛试题）若0<a、b、c<l满足条件ab+bc+ca=l,则」-+」一+」一的最小值

I1-bI-c

是.

［解析］:

［类题］:

1.<1990年全国高中数学联赛试题）设n为自然数.a、b为正实数,a+b=2,则一!二+」方的最小值是.

2.I全国高中数学联赛山东初赛试题）已知x,y均为正实数，则丁二+T-的最大值是_________.

2x+yx+2y

3.(全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x'y』，则3—II勺最小值是_____.

.r+y-1

4.(全国高中数学联赛广西初赛试题)设a.a2,-,a均为正实数，且，++…+―!—」，则a也…a的最小值

2+勺2+32+a20072

是.

*,

5.(全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a”a?,％均为正实数,且满足ai+a2+*+a0=l,—+―+,,•+—=4,111]aa…8n

«i«2%

值是.

6.(全国高中数学联赛试题)己知x,y都在区间(一2,2)内，且xy=-l,则函数u='^+-^的最小值是

4-x29-y2

____QP.M数学竞赛讲座

恒成立问题

不等式恒成立问题是不等式H勺特殊问题，就其中所含变量的多少可分为两类：单元问廖、多元问麴.

处理恒成立问题的根本出发点是：认清不等式F(x,a)20是有关哪个变量恒成立？有关哪个变量恒成立，就要把F(x,a)

视力这个变量H勺函数，通过研究这个函数来处理问题.

1.等价转化法：不等式f(x)2m恒成立of(x)i2m；不等式f(x)WM恒成立of(x)~WM；

2.分离参数法：不等式F(x,a)20恒成立，求参数a的取值范围.首先对不等式F(x,a)>0进行等价变形，使得F(X,a)

2。0干小)2(在译6),然后通过求不含参数2的函数1:6)。勺最值，处理问圾；

3.函数分析法：⑴函数f(x)=ax+b,则当xe［m,n］时，不等式f(x)20恒成立。;当xG［m,n］时，不等式f(x)

/(n)^O

wo恒成立。［/(⑼“°；

170040

(2)f(x)2g(x>慎成立o的效y=f(x)时困像不在而蚊y=g(x)的困像的下方；

(3)假如函数f(x)在［m,n］内是凸画数，则当xe［m,n］时，不等式f(x)20恒我立o，;假如函敷f(x)在［m,n］

加)20

内是凹属数，则当x£［m,n］B寸，不等式f(x)W0恒成立o”“，”0

〃”)40

1.变量分析法

［例1］：(第十四届但愿杯全国数学邀请赛(高一))有关x的不等式18、-(2+111)h共0)-1>0对于屏|31恒成立,则*的取值

范围是.

［解析］：

［类题］:

1.①(全国高中教学联英古林初奏试题)不等式xz+px>4x+p-3对于一切0WxW4恒成立，则x的取值范用是.

②(安徽高考试置若不等式ax2-3x+a+l>x2-x-a+l对任意a£(0.+8)都成立，则实数x的取值范围是.

2J天津高考试题)(文)若对任意的a£［22］,不等式x4+ax3+2x2+b^1在［-1,1］上恒成立,则实数b的取值范围

是.

3.(天津高考试题)(理)若对"任意I向a£［',2］,不等式x+N+b这10在上恒成立，则实数bl内取值范围是_______.

2x4

2.函数分析法

［例2］:(全国高中数学联赛河北初赛试题)当a>i时，若不等式…-_L>2(］ogmx-log,x+l)对于不不不小

n+1n+22n12

于2的正整数n恒成立,则x的取值他国是.

［解析］:

［类题］:

1.①（全国高中数学联赛福建初赛试题）对于x£［0,1］口勺一切值,a+2b>0是使ax+b）O恒成立的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（。充要条件（D）既非充分条件,也非必要条件

②（全国高中数学联赛上海初赛试题）若对|x|W1的一切x,t+l>（tJl）x恒成立,则til勺取值范围是_________.

2Y.P.M数学竞赛讲座

2.《全国高中数学联赛天津初赛试题）已知函数f（x）=x?-2ax+2,当［T,+8）时,f6）*恒成立,则a的取值范围

是.

3.，全国高中数学联赛湖北初赛试题）对于一切xG［-2,，不等式ax—+120恒成立，则实数a的取值范围

为.

3.分离参数法

［例3］:（全国高中数学联赛山东初赛试题）不等式sin2（）-（2拒+〃a）sin（o+^）-臣>-3-2a对oe血工］恒

4cos（*：）2

成立,则实数a的取值范围是.

［解析］:

［类题］:

1.（全国高中数学联赛福建初赛试题）函数f（x）=x'-2x+3,若|f（x）-a|<2恒成立的充分条件是1WxW2,则实数a的取值范

国是.

2.I全国高中数学联赛浙江初赛试题）设fix）=k（xLx+l）-x'（l-x）’.假如对任何x€［0,1］,均有f（x）20,则k的最

小值为.

22

3.（上海高考试题）三个同学对问题“有关x的不等式X+25+|?-5X|2ax在［1,12］上恒成立,求实数a的取值范围”提H

各自的解题思绪.甲说：“只需不等式左边的最小值不不不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量xH勺

函数，右边仅含常数,求函数的最值”.丙说：“把不等式两边当作x的函数，作出函数图象”.参照上述解题思绪，你认为他

们所讨论的问题的对时结论，即a的取值范围是.

4.基本不等式法

［例4］:（1992年全国高中数学联赛上海初赛试题）（全国高中数学联赛江西初赛试题）若对所有正数x,y,不等式

-fx+-/yWaJx+y都成立,则a『J最小值是.

［解析］:

［类题］：

1.悌十六届但愿杯数学遨请赛（高一）试题）己知x,y£R且x+y=5,若lgx+lgy<k恒成立，则k的最小值是.

2.①（全国高中数学联赛吉林初赛试题）不等式|x+，2|a-2|+l对•切非零实数x均成立，则实数a|Kj最大值是

X

②（全国高中数学联赛贵州初寄试题）对于任意的x£R,不等式2x2-aT?：i+3X）恒成立.则实数a的取值范围是.

③（全国高中数学联赛上海初赛试题）若对一切正实数x、y,恒有-；-----2-------^^；，则1;的最大值为_____.

7（.v2+y2X3.t2+y2）k

3.①（第十五届但愿杯全国数学遨请赛（高二）试题）不等式x+2后Wa（x+y）对一切正数x,y恒成立，则实数的最小值为

Y.P.M数学竞赛讲座3

a_b

②（第十五届但愿杯全国数学邀请赛（高二）试题）当a>b>0时，使不等式>k（石-石）恒成立的常数k的最大值

4b4a

是.

③（第十三届但愿杯全国数学遨请赛（高二）试题）（全国高中数学联赛安徽初赛忒题）若不等式右+而w

mg.对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是.

5.柯西不等式法

［例5］：（1993年全国高中数学联赛试题）设任意实数xo>xt>x,>x3>0,要使log励1993+iog^1993+logi,19932klog皿1993

演"2DX）

恒成立,则k的最大值是.

［解析］:

［类题］:

I.,第十六届但愿杯全国数学邀请赛（离二）试题）设2,13,（：£3若但+6+<：）（1+_!_）21;恒成立，则k的最大值

ab^c

是.

2.（全国高中数学联赛江苏初赛试题）若不等式A+77Wk师7对任意正实数x,y成立，则k1、J取值范围是—.

6.综合分析法

［例6］：（全国高中数学联赛福速初赛试题）若止整数m使得对任意一组满足aea@=l的止数a（,a.a,,&均有aj+

,成立,则正整数m的最小值为.

a\a2a3«4

［解析］：

［类题］:

1.(全国高中数学联赛江苏初赛试黑)设函数f(x)=ax，x,已知f(3)<f(4),且当nt8,nWZ时,f设函数n+D，成立，则实数

a的取值范围是.

2.(1990年全国高中数学联赛试题)设n是自然数,对任意实数X,y,z恒有(x'+y'zTWna'+y'+z')成立,则n口勺最小值是

3.①(仝国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知aR?=l,且恒c<a4-b成立，则c的取值范围是.

②(第十四届但愿杯全国数学遨请赛(高二)试题)设x,y,z都是正数，且x+y+z=l,则使/+/+/+，1后爸1恒成立的实

数X的最大值是.

Y.P.M数学竞赛讲座/

不等式的基本问题

高中联赛中不等式H勺魅本问题包括：不等式的同向可加性、品数的单调性质、大小比较和解不等式.

1.同向可加

［例1］：(1983年全国高中数学联赛试题乂全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(