2023-2024学年上海市外国语附属某中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年上海市外国语附属外国语学校高三第四次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)是R上的偶函数，联”是R的奇函数，且g(x)=/(x-l),则“2019)的值为()

A.2B.0C.-2D.±2

2.己知全集为实数集R,集合4={++248>0},B={x\logix<l}f贝！等于()

A.[-4,2]B.[-4,2)C.C4,2)D.(0,2)

3.已知全集。=1<,函数的定义域为M,集合N={而2一不<()],则下列结论正确的是

A.MCN=NB.

C.M[)N=UD.Mq@N)

4.已知函数/(x)=,2(x-0),且关于x的方程/(x)+x—a=0有且只有一个实数根，则实数。的取值范围

Inx(x>0)

().

A.|0,4-x)B.(1,4-co)C.(0,+oo)D.[-00,1)

5.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()

6.已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()

4316

A.C.一D.

34~9

7.（工一1+1）'展开项中的常数项为

x

A.1C.-19D.51

8.集合P={xwN]-2vx-lv2}的子集的个数是（)

A.2B.3C.4D.8

9.若两个非零向量〃、满足（〃+〃）•（〃-〃）=（），且,+0=2卜-耳，则〃与〃夹角的余弦值为（)

3乩±51

A.C.一

52

10.下列函数中，既是奇函数，又在（0,1）上是增函数的是（).

A.f(x)=x\nxB.f(x)=ex-e-x

f(x)=sin2xD.f(x)=x3-x

R恒有〃*/闺,

11.已知函数/(x)=3sin(3r+0),(0>0,0<°<兀)，若f0,对任意在

Tin\

区间上有且只有一个司使/（菁）=3,则①的最大值为（）

113jy

123111105117

A.——B.——D.——

4444

12.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（)

23

B.-D.4

32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

u•3乃兀

13.已知sina=-,aw—，则tana+—=

512Jk4JJ

14.在［2/一的二项展开式中，x的系数为________.（用数值作答）

VX）

15.以（%0）,（%。）为圆心的两圆均过（1，°），与）’轴正半轴分别交于（Oj）,（0,%），且满足1"”1"2=0,则

点（4，生）的轨迹方程为.

x+3y-3<0

16.己知实数（苍丁）满足7-），+1之（）则点P（x,y）构成的区域的面积为—，2工+），的最大值为

y>-1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知在平面直角坐标系K。），中，椭圆C的焦点为乙（百,0）,M为椭圆C上任意一点，且

\MF}\+\MF2\=4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线，：>="+皿4>0,〃»0）交椭圆。于。,。两点，且满足喘=勉%（即Q，%，%分别为直线

PQ.OP.OQ的斜率），求'OPQ的面积为2时直线PQ的方程.

2

18.（12分）已知函数f（x）=e'+sinx-d-2工.

（1）当。=0时，判断/（x）在［0,+8）上的单调性并加以证明；

（2）若K20,/（x）>1,求“的取值范围.

x=2+2cosa

19.（12分）在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为、.（。为参数）.以平面直角坐标系的原

y=Isma

点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线G的极坐标方程为psin8=6.

（1）求曲线G的极坐标方程；

（2）设C；和交点的交点为A8,求A4O8的面积.

20.（12分）已知椭圆C：［+==1（〃>/,>（））,点A是C的左顶点，点P（2,3）为C上一点，离心率e=上

a-b-2

（1）求椭圆。的方程；

（2）设过点A的直线/与。的另一个交点为8（异于点尸），是否存在直线/,使得以为直径的圆经过点?，若

存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

21.（12分）已知等差数列:二的前〃项和为二且二十二二二，二二：二.

［二一•的通项公式;

求数列的前〃项和-•

22.(10分)设函数/(x)=sin(竽—§)—2cos2竽+1(3>0),直线)，=6与函数/0)图象相邻两交点的距离为

366

21.

(I)求①的值；

(D、

(II)在AA3C中，角A8,C所对的边分别是©Ac,若点-,0是函数)，=/(x)图象的一个对称中心，且〃二5,

I27

求A48C面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于g(x)与/(X-1)关系，转换成关于/(力的关系式，通过变形求解出/(X)的周期,

进而算出/(2019).

【详解】

g(x)为R上的奇函数，.•.g(O)=/(T)=O,g(—x)=—g(x)

-，•/(-1)=0J(T-1)=-/(**-1),/(f)=-/(12)

而函数/(X)是R上的偶函数，/J(x)=.,./(刈=一/(工-2)

.\f(x-2)=-f(x-4),f(x)=f(x-4)

故/(x)为周期函数，且周期为4

.-./(2019)=/(-1)=0

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.

2、D

【解析】

求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简也然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】

解：由l+Zx-AO,得x<-4或x>2,

・・・4={x*+2x-8>0}={x|xV-4或x>2},

由，。gM<Lx>0,得0VxV2,

.*.B={x|/og2X<l}={x|0<x<2},

则4A={x|TWxW2},

・・・母4)08=(0,2).

故选：D.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

3、A

【解析】

求函数定义域得集合M,N后，再判断.

【详解】

由题意M={x|xv1},N={x|Ovx<l},.,.Mr|N=N.

故选A.

【点睛】

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域,

还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定.

4、B

【解析】

根据条件可知方程/(x)+x-4=0有且只有一个实根等价于函数y=/(x)的图象与直线y=只有一个交点,

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线)'=一(十。只有一个交点，作出图象如图,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系.数形结合是关键，属于基础题.

5、D

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的！，剩余部分体积是正方体体积的工，所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为L故选D.

5

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

6、D

【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.

【详解】

设圆柱的底面圆半径为一，则厂=J22_F=5所以圆柱的体积K=7r(G『x2=6兀.又球的体积

“32〃

432---,

匕二7兀x2,二=兀，所以球的体积与圆柱的体积的比匕_3_16,故选D.

一33彳一高一豆

【点睛】

本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.

7、B

【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况:

（1）5个括号都出1,即7=1；

（2）两个括号出X,两个括号出（-2），一个括号出1,即丁二C；・f.。；.（__1）21=30；

Xx

（3）一个括号出X,一个括号出（-』），三个括号出1,即7=。；5・。卜（一,）-1二一20；

X

所以展开项中的常数项为7=1+30-20=11,故选B.

【点睛】

本题考查二项式定理知识的生成过程.考查定理的本质.即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

8、D

【解析】

先确定集合P中元素的个数，再得子集个数.

【详解】

由题意P={xcN|—lvx<3}={0,1,2},有三个元素,其子集有8个.

故选：D.

【点睛】

本题考查子集的个数问题，含有〃个元素的集合其子集有2”个，其中真子集有2〃-1个.

9、A

【解析】

设平面向量。与〃的夹角为由已知条件得出口=收，在等式,+q=2,-囚两边平方，利用平面向量数量积的运

算律可求得cos。的值，即为所求.

【详解】

设平面向量〃与〃的夹角为6,,.•（4+〃卜（〃一人）=，一。~=C7-恸=0,可得Q=W，

-3

在等式〃+〃=2。-〃两边平方得7+2〃/+7=4/一8人〃+4〃2,化简得cos8=g.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

10、B

【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且/(力+/(-x)=O,在(0,1)上尸(x)20即可.

【详解】

A：因为/(#=.Elnx定义域为工＞0,所以不可能时奇函数，错误；

B：/。)=/一1定义域关于原点对称，且/3+/(-力=-一""+"、一"=0

满足奇函数，又/'(力="+，、＞0,所以在(0,1)上/'(x)NO,正确；

c：/(X)=sin2x定义域关于原点对称，K/(x)+f(-x)=sin2x+sin-2x=0

满足奇函数，/(x)=2cos2x,在(0,1)上，因为/'(())广(I)=2x2cos2v(),所以在(0,1)上不是增函数，错误;

D：f(x)=x3-x定义域关于原点对称，且/W+/(-x)=x3-x+(-x3+x)=。，

满足奇函数，在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；

故选：B

【点睛】

此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.

11、C

【解析】

根据/(X)的零点和最值点列方程组，求得公。的表达式(用k表示)，根据/(%)在上有且只有一个最大值,

113J)

求得。的取值范围，求得对应攵的取值范围,由攵为整数对出的取值进行验证，由此求得0的最大值.

【详解】

3(2攵+1)

——花CO+(p=攵]兀，

由题意知(3k\、k、jZ,则''4

(2…兀其中—k，=j.

兀.71

—(0+(0=心兀+—,

[324

又/(斗)在上有且只有一个最大值，所以四一工=生＜27,得0〈/《30,即3伽+必30,所以

515154

4W19.5,又ksZ,因此ZK19.

it.

一彳0+9=仁兀，

117,此时取。二』可使'.、兀兀

①当Z=19时,CD=-----成立，当无£—时,

44n.n1133)

13〜2

¥%+中£(2.7兀,6.6兀)，所以当¥%+牛=4.5兀或6.5兀时，/(%)=3都成立，舍去;

71.

~—(O+(p=k]7l,

②当上一时，口，此时取仁=可使,(TC71

183=12成立，当工£展,三时,+：G(2.1兀,5.8瓦),

4471,兀1133)

—CO+(D=k,兀+一,

[3-2

所以当当玉+9=2.5兀或4.5兀时，/(%)=3都成立，舍去;

44

71.

~—CO+(p=kxTl,

③当“甘7时‘行竽’此时取好,可使,1053兀

成立，当x£­，~时，x+—£(2.5兀,6兀),

兀,71(155)44

-a)+(p=k2Ti+-,

所以当竽内+?=4.5兀时，“%)=3成立;

综上所得。的最大值为卷

故选:C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于中档题.

12、D

【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S的变化以4为周期出现，由此可得结论.

【详解】

5=4J=1;5=-1/=2;5=—』=3;5=二/=4;5=4,，=5：如此循环下去，当》=2020时，6=三;§=4〃=2021,

322

此时不满足iv2021,循环结束，输出S的值是4.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构.解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由已知求tana,再利用和角正切公式，求得tan(a+?

【详解】

3(ner-iI43

因为$〃7a=—,,7t，所以cosa=——，tana=——,

512J54

j_3

„।7i11+tanaA1

因m此tan:+a=-----------=—Y=-.

[4)\-tana—7

4

【点睛】

本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。

14、-40

【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项25f(-1)'不回"，再令io_3r=l,得r=3即可得出X项的系数

【详解】

的二项展开式的通项公式为心=6(2工2厂■｛一=C；25-,(-iyx10-3f,

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3r=l"=3,

所以一11的二项展开式中x项的系数为C^22(-l)3=-40.

x

故答案为：-40.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

【解析】

根据圆的性质可知(4,0)在线段A3的垂直平分线上，由此得到犬=1-2囚，同理可得及=1-2%，由对数运算法

3

则可知X%=।，从而化简得到小=,由此确定轨迹方程.

2d]—1

【详解】

・.Iny41。乃=1。（乂％）=0，，

QA（1,O）和8（0,凶）的中点坐标为［冷）且（4,0）在线段AB的垂直平分线上，

A

—=-H即4=1-2卬，同理可得：w二1-2%,

-

21

丁•（1一2q）（1-2%）=（y%丫=1，二•生=，

点（4,叼）的轨迹方程为y=.

2x-l

x

故答案为：y=--.

2x-\

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出小为满足的方程，由此得到结果.

16、811

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.

【详解】

故区域面积S=,x8x2=8；

2

令z=2x+），，变为y=-2x+z,

显然直线y=-2x+z过伙6,-1）时，Z最大，故z〃y=2x6-1=11.

故答案为：8；11.

【点睛】

本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）—+y~=1（2）y=—x+y=—x4-

4,2222

【解析】

（1）根据椭圆定义求得。口,得椭圆方程；

y=kx+m

⑵设。（4方）,。（生名），由2得（1+4公卜2+8初。+4＞一4=0,应用韦达定理得再+称工科2,

代入已知条件攵%=的/,・缄可得攵=:，再由椭圆中弦长公式求得弦长|PQ|,原点。到直线尸。的距离d,得三角

形面积，从而可求得〃?，得直线方程.

【详解】

解：（1）据题意设椭圆C的方程为、+与=1（。＞

a2b2l

2a=4

则，c=石

c2=a2+b2

a=2力2=1

椭圆C的标准方程为工+〉，2=1.

4

y="+m

(2)据，/，得(1+4攵2)_¥2+8^1¥+4m2-4=。

64攵2〃『一4（1+4用（4〉-4）＞0

府<4/+1

设「（不方）,。（毛,%），则$+/=一4〃/一4

1+4公"吊-1+4%

kpQ=kCP.k（）Q

2=&.&

占马

二.（3+m）（依2+"?）=公不/

2

「./成（X[+X2）+//2=0

一8时2

+nv=0

1+4公

又攵＞0,加＞0

:.k=-

2

41（1+/）（4公+1一叫

P

-\Q\=Jl+公•J（X+（）2-4中2=

1+/

原点。到直线PQ的距离d=-JM=

Jl+%2

2帆」2-刀『

・••SAOPQ=；x|PQ|xd=

=|/n|y/2-m2=＞。）

1+4公

解得m=YZ或m=

22

••・所求直线PQ的方程为y=_Lx+正或y=_lx+Y5

，22.22

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题.解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为

尸(N，y),Q(W，y2)，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得％+々，再Z，把这个结论代入题中条件求得

参数，用它求弦长等等，从而解决问题.

18、(1)/'Ct)在［0,48)为增函数；证明见解析(2)a<^

【解析】

(1)令g(x)=r(x)=/+cosx—2,求出g'(x),可推得g(x)20,故/(x)在［0,+8)为增函数；

(2)令g")=r(x),则g'(x)=ex-sinx-2a,由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数。的取值范围.

【详解】

(1)当a=0时,f\x)=<?'4-cosx-2.

记g(x)=/'(x)，贝()g'(x)=e'-sinx,

当xNO时，ex>1-1<sinx<1.

所以g'a)=c"—sinx20,所以g(x)在［0,+8)单调递增，所以以汇)之巨(0)=0.

因为以大)=/'(无)，所以/'。)之0,所以f(x)在［0,平句为增函数.

(2)由题意，得尸(x)=e'+cosx-2or-2,记g(x)=/'(x),Mg\x)=ex-sinx-2a,

令Mx)=g'(x),则〃(%)=ex-cosx,

当x20时，ev>1,所以力'(x)=c'一cosxN。，

所以力。)在［0,”)为增函数，即g'⑴=e'-sinx-2〃在［0,-w)单调递增，

所以g(丫)>g'(0)=e0-sin0-2«=l-2a.

①当1一2。20,恒成立，所以g(x)为增函数，即/'(X)在［0,+8)单调递增,

又/'(0)=。，所以r(x)20,所以JG)在［0,+S)为增函数，所以/'(X)2/(0)=1

所以满足题意.

2

②当。>(,火'(0)=1-2〃<。，令〃(x)=e'一1一1,x>0,

因为x>0,所以/Cr)=e'-l>0,故〃(x)在(0,+8)单调递增，

故”(x)>〃(0)=0,即e'>x+l.

故g'(2〃)=-sin2a-2a>2。+1-sin2a-2a>0,

又g'(x)="-sinx-2。在(0,+8)单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数切w(0,+8),g'(〃z)=O,

当xw((),m)时，g'")<0,以幻单调递减，即/'")单调递减，

所以广(工)<尸(0)=0,此时/。)在QM为减函数，

所以/«</(。)=1,不合题意，应舍去.

综上所述，々的取值范围是

2

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化

思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.

19、（1）p=4cos。；（2）下）

【解析】

（1）先将曲线C1的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.

（2）将G和G的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AAC"的面积.

【详解】

八[x=2+Icosa

（1）曲线G的参数方程为。.（夕为参数），

[y=2sma

消去参数的G的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.

所以G的极坐标方程为夕=4cos夕

[p=4cos6^

（2）解方程组厂，

[psin^=V3

得到4sin6cose=G.

所以sin20=——，

2

则，=%知+乙或，=上乃+色（ZEZ）.

63

当。=&乃+巳（A$Z）时，p=20

6

当。=&乃+工（ArcZ）时，p=2.

所以6和Q的交点极坐标为：A（2瓜版•++3

所以=-|^|-\OB\sinZAOB=6.

2

故AAO8的面积为

【点睛】

本题考杳了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.

22Iy

20、（1）—+^-=1；（2）存在，y=——x-一

1612105

【解析】

（D把点P（2,3）代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程;

（2）设出直线/的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点3的坐标，再由=可求得直线的方程,要注意

检验直线是否和椭圆有两个交点.

【详解】

49a2=16

22

（1）由题可得、，从=12,所以椭圆。的方程三+21=1

c_1,1612

C2=4

a2

（2）由题知A（Y,0）,设8（而,%）,直线/的斜率存在设为3

则/:尸&（/+4）与椭圆旨y=1联立得(3+4用f+32A2工+64r-48=0

12

64/-48一16公+1224攵,口‘一16公+12246、

/>0,-4x=小:不^，为二说'/

03+4-、3+4-‘3+4吃

若以AB为直径的圆经过点

「6-24公一⑵2