2023年陕西省商洛市高考数学二模试卷（理科）

2023年陕西省商洛市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）设柒合4=-1.-3.-5.8=•/+3%+血=0若八皿={-1},则.8=（）

A.{-1,-2）B.（-1,2]C.{-1,3}D.{-1,-3）

2.（5分）设复数z满足（l+i）z=4Wi,!W|z|=（）

A.2B.V2C.4D.2V2

fy<1

4.（5分）已知实数x,y满足约束条件X£2,则z=-2x+y的最小值为（）

1+y20

X3B.-3C-8D.4

5.（5分）函数/（乃=咚孚更的部分图象大致是0

2*+2-X

第I真/共I951

6.（5分）十项全能是口径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组4

的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评

分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次年

项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则卜列说法正确的是。i

110米跨栏

中的得分

乙的得分

A.在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低R.在跳高和标枪项目中，甲.乙水平相当

C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大

7.（5分）先把函数.f（x）=sin（x—9）的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移n/6个单位长

度，得到y=g（x）的图象，当xet阁时，函数g（x）的值域为0

8.（5分）已知抛物线。y=22之。）0））的焦点为"点卜1他丫1）（丫1>0）,N（2p-2）6,2>0）在（C上，且△FMN的面积为12,则

|FN|=（）

A.10B.11C.12D.13

9.（5分）在四棱惟PABCD中，PA_L底面ABCD，底面ABQ）是边长为1的正方形，AP=2,则直线PB与平面PCD所成

笫2页/共I9页

2.（12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日本频率

下午3时在人民大会堂开幕，3月11H下午闭幕，会期7

0.25

天半：十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13

口上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的0.225

了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从0.20

全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的

得分的频率分布折线图如下.（1）若此次知识问答的得0.15

分.X~N（口，。2）,用样本来估计总体，设口，。分别

为被批取的320名学生得分的

平均数和标准差，求P（50.5〈XW94）的值;

（2）学发对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下八洒,估计概率/得，〉、”或等,55的岁生喉1冲11奖机会,得

分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值1盼的句丽商人乐泮孑而将丽0承茂肺施概率为；.从

这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学曲M4%砥嬴6元，，的布布列/数“I望（加分.表示），并估算

此次扣奖要准备的学习用品的价值总额.35455565758595>得分

参考数据：P(“-o<XWu+。)-0.6827,P(U-2。<XWU+2。)20.9545,.P(u-3o<XWu+3o)%0.9973,近10-14.5,

0.375.

加4页，共I9页

3.(12分)如图，在直三棱柱48。一人当的中，D是AC的中点.

(D证明:力BJI平面.8cm.

⑵若AB=BC/ABC=90°,ABtAB=45。,求二面角.8】-CXD-B的余弦值.

4.(12分)已知双曲线(C《-A=l(a)0,b>0)的离心率为2,且双曲线C经过点「侍―一).

(1)求双曲线C的方程；

(2)设V是直线％上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线h匕，切点分别为A,B,试判断直线AB是否过定点.若经过定

点，求出该定点的坐标：若不经过定点，请说明理由.

第5页/共I9页

5.(12分)已知函数，fa)=ox'+x-eK+l，其中a£/?,£=2.71828...是自然对数的底数.

⑴若“=；,证明：当X<OIH,f(x)>O;当x>0时,f(x)<0;

(2)设函数或切=cosx-/(x)+l；'；x=0是g(x)的极大值点,求实数a的取值范用.

r.

(参考数据：e'=OS”"々0.46)

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中，壬选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

x=2+cost?

{=sin0(。为参数)•以坐标原点°为极点，x轴的非负半轴为极抽建立极坐标

系,直线圆的极坐标方程为pcos(0-9=戌.

(I)求曲线G的普通方程和直线G的直角坐标方程：

笫6页/共1Q页

(2，。,设曲线G和直绥(G交于M,N两点，求|

(2)已知点P的极坐标为(_!____1-的值1H

ir»lIPN严

[54(1*4-5:不等式选讲]

1.已知函数./(x)=|x-Jn\+|x+2|.

(D当m=l=l时.求不等式/(x)06的解集：

(2)若关于x的不等式“x)V2m-4有解，求实数m的取值范围.

第7熨/共I9熨

2023年陕西省商洛市高考数学二模试卷（理科）（答案&解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.解:因为所以l-3+m=O,解得m=2,

则必+3x+2=0的解为x=-1或x=-2,所以

B={-l,-2）.

故选：A.

【解机】由TWB可求出m的值,解方程即可求出B.

2.解：因为（（l+i）z=4让i,则2=黑=篇罟=2Oi（l-i）=2企+2鱼1,所以|z|=V8+8=4.

故选:C.

【附析】利用史数的除法化简复数z，利用兔赘的模长公式可求得Iz的值.

3.解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是

累加S=：+：+：+…+：5的值

•••5=-°+?+甘+-+25的值-

222216

所以n=5.

故选：B.

【解析】分析程序中各变珏.各语句的作用,再根据流理图所示的顺序.可知,该程序的作用是累加

2+-+1的值,并输出.

2

第B页/共19页

4.解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示,

y

当z=-2x+y取得最小值时，直线y=2x+z在y轴施距最小，

平移直线》;2x可知，当y=2x+z过图中点A时，其在y轴的破距最小，

(x=2(x-2

由I上C，得I.，即A(2,-2),.・.2为日=-2x2-2=-6.

lx+y=0ly=-2

故选：D.

【解析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为直线y=2x+z在y轴极距最小值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.

5.解:因为/(幻=有管，所以〃_幻=窄/=一/(幻，11定义域为凡所以fix)是奇函数，则f(x)的图象

关于原点对称，排除A、B,当0<x<g时，「(x)>0,排除D.

故选:C

【解析】利用奇函数的定义可判断函数Mx)为奇国数，结合0<x<：上函锹符号，应用排除法即可得答案.

6.解：对于A选项，由宙达图可知，400米跑项日中，甲的得分比乙的得分而，人错：

对于B选项，由图可知，在跳高和标枪项目中,甲、乙水平相当，B对：

对于C选项，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在(600,800］内，波动较小，C错；

对于D逡项，甲的各项得分的极差约为1000770=530,乙的各顼得分的极差小干200,DX1.

故选:BD.

【解析】利用雷达图、结合极差逐项判断,可得出合适的选项.

郑9贞/共19页

7.解:由题意得：g(x)=f卜(x-朋=sin(2x-等，

当共叱囹时，2”-乔卜冏，

故8(x；的值域为

故选：B.

【解析】根据三角函数平移和伸缩变换原则可得g(x)解析式，根据正弦型函数值域的求法可求得结果.

8.解由抛物线方程知：F《，0),

=

J2Px=P>y272P•2P=2p,

又，

仇p),N(2p,2p),

•••SFM,V=\\FM\-(2p-0=1p-1p=12,

解得：p=4,

\FN\=2p+：彗=10.

故选A.

【解析】根据抛物线方程可求得F,M,N的坐标，利用三角形面积构造方程求得p的值，利用她物线焦半役公式可求得结果•

次10页，共19女

9.解:以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系，如图,

APD=(0-b-2),DC=(1，0,0),而=(1，0，-2),

设平面PCD的一个法向量为n=(x»y>z),

贝PD二1二"2z=。,令z=l,得—,

（DC-n=x=0

设直线PB与平面PCD所成角为0,

则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：

sin®=|cos<两,n>|=吵吗—4^-

故选：B.

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

10.解：在AABE中，由余弦定理得./IE2=BE2+AB2-2BE-ABcosB.K

△DCE中，由余弦定理得DE2=BE2+AB2-2BE-ABcosC,^+C=n,JVrLU

cosB+cosC=0,所以.AE2+DE2=2(BE2+AB2)=8,/jlfW2AE•DE<

A尸+D必=&当且仅当AE=DE=2时，等号成立，在AADE中,AD=2

由余弦定理得cos^AED=""北2AE:D；E心282所以cosNAED的最

小值为

2

故选:A.

【解析】在△ABE和△【）（：£中，利用余弦定理结合B+On求出.AE2+DE2,再利用基本不等式可求得AE-DE的最大值，再在

△ADE中，利用余弦定理即可得解.

也11页，共19页

11,解:*f(x+2)=-f(2-x),^f(x+4)=-f(-x),

由f(x+3)=f(3-x),得f(x+6)=f(-x),

所以《+6)=-m+4)=«+2),即山)的周期为4,A项错误;

由f(x+2)=-f(2-x)可知f(x)的图象关于点(2.0)对称,

所以f(0)=-f(2)=0,C选项正确，

f(x)的图象关于点⑵0)对称,则f(x+2)的图象关于点。0)对称，

f(x+2)为奇函数,B错误;

由f(x+3)=f(3-x)Rif(x)的图象关于直线x=3对称.

所以f(x>2)的图您关于直线x-1对称，则fU)”)不成立，。项错误.

故选：C.

【解析】可得f(x)的周期为4,f(x)的图象关于点的,0)对称，由此判断选项即可.

12.解：令<p(x)=/(x)-p(x)=e2x-4x+1+2/nx(x)l),

则(x)=2G*-2+-)>0,

所以6(x)在(1,+8)上单调速堵.①(幻>1P(l)=e2-3>0,故/■(xj>g(x)故A惜误:

由题也得e%-24+1=2X2-21nx2，

,nXl

所以e2xi-2xj-1=2(X2-lnx2-1)=2(e-lnx2-1),

因为几,*2e(L+8),所以Xi>0,lnx2>0,

xx

令h(X)=€-X-\(X>0)，则=2/i(/nx2i,JIh(x)=e-1>。在(0,+8)上恒成立,

所以h(x)在(0,"8)上单调递增，故ih(x)>h(0)=0,

所以A(2x])=2h(伍必)>h(lnx2),即/t(2xj>h(lnx2),

故2xi>mX?,故B错误.

2x,xz

又e-2x,-1-2(e'-x1-1)=(/1-l)>0,

2x,

所以e-2x,-1>2(产-X)-1),所以2A(/nx2)=h(2xt)>2Mx)即h(lnx2)>h(xj,

所以九VIzu%。错误，D正确.

故选：D.

t解析】构造小(x)=f(x)-g(x)(x>D,对<*(x)求导，得出小(x)的单调性即可判断A：111./(xi)=9(4)可得

2xx

e'-2x,-1=2(e&?-lnx2-1),构造h(x)=e-x-1(幻0),对h(x)求导,得出h(x)在(0,+8)上单调递胤可得h(2x])>八如八)即可判断B:由题意

可得/t(Znx2)>/i(xj结合h(x)的单调性可得<tnx2,可判断CD.

二、二空题:本大题共4小题,每小时5分.共20分.七答案填在答胭R的相应位置.

第I2m/共I9女

L解：设a与b的夹角为。，

则COS0=孚"=——=—,

|a|l>|275x32

又0G[O,n],所以a与b的夹角为・

4

故答案为：

4

【解析】先设a与b的夹角为。，再根据由向量夹角公式即可求解.

2.解：由甲、乙，丙3人每人从中随机抽取一张共有（4*=6种抽法，又每

个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封有C；=2种抽法，所以所求的概

率为-=

63

故答案为：

3

【解析】先求得甲、乙，丙3人每人从中防机抽取一张共有6种抽法，再求得每个人希没有抽到装有自己制作的k片的信封有2种抽法，进而即

可求得概率.

第I3页/共19页

3.解:如图，取BC的中点H,连接AH,DH,

由题意,AB=AC=^-BC=y/2,DB=DC=2,

所以AH_LBC,DH1BC,

所以/AHD为二面角A-BC-D的平面角，

所以/AHD=120°,

因为AABC是以BC为斜边的等腰直向三角形，且BC=2,所以AH=1,

又△!?0）是边长为2的等边三角形，所以.DH=V3,

过点H作与平面ABC垂直的宜线，则球心0在该直线上，

设球的半径为R,连接0A,01）,可得（OH2=OA2-AH2=R2-1,

在△ODH中，Z0HD=30",

利用余弦定理可得（0加=OH2+HD2-2HO-HD-cos30°,

所以R2=R2_，I+3-2XV/?2-1xVsx—,

2

解得R2=素所以其外接球的表面积为47rA2=券.

故答案为：-7T.

9

【解析】取BC的中点H,连接AH,DIL则可得/AHD为二面角A-BC-D的平面角，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心0在该点线上，设球的半

径为R，连接OA,0D,然后在A。。“中利用余弦定理可求出R,从而可求得球的表面积.

4.解：设】plPQ:y=kx+m,P(xfcyi),Q(x»y。,

联立方程组，+1=1消去丫得(3+4公)/++4m2-12=0,

.y=kx+m

由A>0,即4fc2-m2+3>0,

,-8Jan4m2-126m3m-12*2

所以x,+x2=---\.XXX2-----,y+y=---y=---------,

*/3+4k21c3+M?123+而123+而

22

j，n

所以kAp-kAQ=-~~好一;=—,~~;=解得m=2k(舍去)或m=-k,

A产AWGI+2)(XZ+2)4mZ-16«m+16户4

由NP；iQ为钝角，彳得F^P-KJ<0,即(Gi+Py,)•(x2+1*y2)=xxx24-%i4-x2+1+yiy2<0,

7*2-9

所以+——7+1+——-Ro,解得<k<—,

3+必3+4fcz3+4fc2

因为kwo,所以fce（-^«o）u（o-）.

故答案为：（-T，O）U（O，T）-

犯14页/共19页

【解析】先设收:丫=h+m,F（xjy；）,Q（X2，y2），再联立直线1凶的方程和椭圆C的方程，整理得到关于x的一元二次方程，从而得

到石+大2.心心.八+"2.'少2.结合直线八门与人力的斜率之积为可得m=-k,再结合NP匕。为钝角即可求得k的取信范围.

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演免步骤、17'2】题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选

考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

1.解：（1）设等差数列｛an｝的公差为d,

由%=1,.+＜=2(。3+1),得2+5(1=2(1+2:1+1),解得＜1=2.

所以a3=Ci+(n-l)d=2n—1.

(2)由(1)得5“_巡出=亚变也=〃2,

n22

・・—11111

所以---=—:=—r=---।

〃+M心+1)nn-Fl

()()()()一

【解析】(1)设等差数列｛an｝的公差为d，根据等差数列的性质即可求得d的值，进而即可求得加的通项公式；

(2)先根据等差数列前n项和的公式求得Sn,从而可得｛士加通项公式，再根据裂项相消即可求得70.

2.解：(1)由折线图可知：ia=35XO.025M5X0.15*55X0.2*65X0.25“5XO.225:85MO.195X0.05=65,。2=(35-

65)2X0.025+(45-65)2X0.15+(55-65)2X0.2+0+(75-65)2X0.225+(85-65)2X0.1+(95-65)2X0.05=210,a«14.5,X~

/V(6544.52),

(2)由题意可知&=10,20,30,40,

又/)(1455)=打(X)SS)=*

P(f=lO).x＞备

P(f=20)=gx：+?x：x＞割

%=30)=gx：x：x2=*

P(f=40)=|xixl=4

I.«的分布列为:

210203040

P9/3215/128

•••£(§)=10x-+20x—+30x-+40x—=—,

321286412816

故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为320x罢=6500元.

16

【解析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差,再根据正态分布公式计算概率即可:

第15页,共19页

(2)先分折状奖金额的情况，冉列出相天分布列计第即可.

3.解:(I)证明：连接B£交.BG于点E，则E是/C的中点，连接

DE,又D是AC的中点，所以.DE\\ABt.

又AB】e平面BCJ),DEu平面BCJ),所以ABj平面BC、D.

(2)以B为坐标原点，分别以说，涮，瓯的方向为x,y,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则

B(0,0,0),C1(2,0,2),D(1,1,0),BjO,0,2),DC尸(1,

-1,2),西=(-1，-1，2),丽=(1，1，0),

设T=(x/y/zj是平面BCQ的法向量,

、+DC{=勺-匕+2Z]=01

则一a―»，取％=(-IT，1),

n,+=X)+y(=0

设石=(々'y2'")是平面,BiCj)的法向量:,

取[=(0,2,1),

E-DB]=-X2-y2+2zz=0

3_花

所以COS京，H2="1=

I帮周I自逐一5

在

即二面角.丛-CW-8的余弦值为

【解析】(1)由战面平行的判定定理证明即可：

⑵以B为坐标原点，分别以进褊，瓯的方向为x,y,谢的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面BRD和平面C/B的法向量,

由一•面角的向量公式即可求出答案.

4.解：⑴因为双曲线的离心率为2,所以4=1+号即属=3aA所以双曲

a*

线C的方程为U=1，

a23az

杷点P©，一汾的强标代入双曲线C的方程，得亳一高=1.解得。2=1

所以"=3,双曲线C的方程为x2--=1；

3

(2)设,M(；,I),A(xi,yj),B(X2,y9,L的方程为y-yi="(x-xj

份_Q=]

322

联立<消y整理得3-k)x-2k(yt-kX1)x-((yj-kXiy+3]=0

第IB仪/共I9贝

(y-yi--xi)

2222

桃2(y,_kx，y+4(3-k)[(yt-kXi)+3]=4[3(yi-kXl)+9-3k],

22

令△=()得((力-Ax)+3-fc=0,l!|J(x：-l)/c-2xxyxk+3+y：=0,

又所以千-2版［为+=0,进•步可化为(yik-3x>=0,所以k=兴&于0),

所以11的方程可化为y-yi=£a-4),化同得x/-?=l,

同理可蹲1例方程为乎=1,

又点M6，。在直线I1和】z匕所以(12xl-【yl3=112,2-ly23=l.

所以过点A(x»yi),B(x2,y»的直线为-x-2=1上，

23

令y=0.汨x=2,故直线AB过定点⑵0).

［解析】(1)根据双曲线的离心率为2,可得从=3/，再将点P的坐标代入即可解为a2=l,从而得到户=工进而即可双曲线c的方程；

(2)设M(；.i),AG.yJ,BGz,yj.li的方衽为y—九=A(x-x)再联立双曲线C的方程和11的方程即可得到关于x的一元二次方程・再令△=().结合

题意可用〃#0),从而得到I1的方程，同理可得到1?的方程，再将点M(*,t)代入整理即可得解.

八2

5.证明：(1)当a=g时，/(x)=ix2+X-e*+1,Wl/(x)=x-eK+l(xe/?),

令h(x)=x-ex+1,则h(x)=l-ex,

令h'(xi=0斛,x=0,

当xG(-8,0)时，h'(x)>0,h(x)单调递增：当xG(0J8)时,h'(xXO,h(x)单调递减,

因为h(0)=0一於+1=O,所以当xe(-8,+8)时,h(x)WO,即f'(x)<0,

则Mx)在xG(-8,+8)上单调递减,

因为/(0)=0+0-e0+1=0.

所以当时，f(x)>0,当x>。时，f(x)<0.

解：⑵由题意可得！g(x)=cosx-ax2-x+ex,

则g'(x)=-sinx-2ax-l+ex„Fig'(0)=0,

令G(r)=g'(x)=-sinx-2ax-1+ex,则G'(x)=-cosx-2a+

令H(r)=Gl(x)=-cosx-2a+er,则.H,(x}=sinx+€r,

当x>0时,sinx>-l,e*>l,所以sinx-e*>0,即厅(工)=拆“工+/>0,

所以G'(x)在(0,+8)上是增函数,则(

①当-2aN0,即aSO时，G'(x)>0在(0,♦8)上恒成立，即G(x"g'(x)在(0,+8)上是增函数,

因为/(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,所以g(x)在(0,+8)上单调通加,

与x=0是极大值点矛盾，即a这0不符合即造，

所以当-2a0即a〉0时，因为G'㈤在(0,+—)上是增函数,

且G，(0)=-2a<0,G(ln(2a+Z))="cos|Zn(2a+2)]-2a+eKZa'x>=-cosUn(2a+Z)J-2c+(2a+2)>U.

所以3xoe(0-/n(2a+2)),G<xa=0.

则当xW(0,M.(G'(xo)<0,即/(x)在(0,xJ上是战函数，从而gi(x)<g'(0)=0,

第l7贡/共l»贡

故g\x：在(0,XJ上单调递减，

当x<0时，对V(xG(-g，0),sin(一?)<sinx<sinO,e-«<ex<1,

即-，/2<sinx<0,0.59<eYl,所以slnx+e*>0,

则当xe(一：，0)时，H(x)=sinx+ex>0,

故G'("在((-,0)上是增函数，

因为(G［(x)<G*(0