2023年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学四模试卷

2023年河北省邯郸市丛台区育华中学中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算，至xC的结果是（）

A.V-5B.C.2yT3D.V-6

3.与-（；-：）互为倒数的是（）

4J

A.—B.2C.—6D.6

6

4.一块四边形/BCD玻璃被打破，如图所示.小红想制做一模一样的玻璃，经测量2/1=120°,

z/?=60°,ZC=150。,则/D的度数（）

A.65°B,45°C.30°D.20°

5.下列各式中正确的是（）

A.-/-9=±3B.V-4=2C.V—64=—4D.J1

6.一组数据-3,Q,2,3,5有唯一的众数3,则这组数据的中位数是（）

A.-2B.1C.3D.5

7.某品牌选用直径为0.000015米桑蚕丝进行加工，则它的直径用科学记数法表示为（）

A.1.5x10-5B.15xIO'c.1.5x105D.1.5x10-4

8.图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形.将图①中的一个小正方体改变位置

后如图②，则三视图发生改变的是（）

图①图②

A.主视图B.俯视图

C.左视图D.主视图、俯视图和左视图都改变

9.下列图形一定为矩形的是（）

10.若2炉-3丫2=-6,到=2<3,则(2%+y)(x-3y)的值为()

A.6-10/3B.-6-10^C.6+10CD.-6+10/^

11.如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电

路中通过该电阻的电流/与该电阻阻值R的情况，其中描述甲、内两

个电阻的情况的点恰好在同•个反比例函数的图象上，则这四个电

阻两端的电压最小的是（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.T

12.在△4BC中，要判断，B和乙。的大小关系（乙8和乙C均为锐角），同学们提供了许多方案,

老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）对于方案I、II说法正确的是（）

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行

c.i、n都可行D.i>n都不可行

13.某款“不倒翁”（图1）的士视图是图2,M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA,08分

别与砌所在圆相切于点4,8.将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点8与水平而接触，如图

3.若乙P=60。，水平面上点M与点8之间的距离为4zr,则4MB所在圆的半径是（）

A.3B.6C.9D.12

14.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十

三号任务取得圆满成功,某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型.已知每个“神舟”

模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”

模型多5个.设“天宫”模型进价为每个x元，则下列方程正确的是（）

二、填空题(本大题共3小题，共9.0分)

17.在一个四宫格火锅里有如图所示的三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，一种

是红汤锅底，将一个丸子随机投入四个宫格中，估计倒入红汤锅底的概率是.

|清汤卜汤|

麻辣红汤

18.如图，在矩形48co中，48=12,AD=6,点、E,广均在边CD上，J1DF=CE,EF=6,

则tan4力£0的值为

19.规定:在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点4(2,2),8(m,1)

在反比例函数y=氐>0)的图象卜.(如图)：

(l)k=—,m=一；

(2)已知b>0,过点C(0,b)、0(-4瓦0)作直线交双曲线y="x>0)于E■点，连接0氏若阴

三、解答题(本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.(本小题8.0分)

如图，在一条不完整的数轴上有48两点，它们表示的数分别为-7和2.

(1)求线段力8的长度.

(2)4点沿数轴1E方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.

①求5秒后4点表示的数.

②求t为何值时，线段4B的长度为2.

AB

一A

2

21.(本小题8.0分)

己知某公司采购48两种不同洗手液共138瓶，设采购了｛种洗手液x瓶

(1)嘉嘉说：“买到的8种洗手液的瓶数是4种的三倍.”琪琪由此列出方程：x+3x=138,

请用列出的方程判断嘉嘉的说法是否正确：

(2)采购人员说：“8种洗手液比人种至少多32瓶.”请通过列不等式的方法说明力种洗手液最

多有几瓶.

22.(本小题9.0分)

某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了〃名学生的竞赛成绩(满

分100分，每名学生的成绩记为x分)分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频

(1)〃的值为，Q的值为，b的值为:

(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的151心角的度数为°；

(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀(4280)的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽

取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.

23.(本小题10.0分)

如图，将半径为5的扇形/1OB,绕点。逆时针旋转a。得到扇形COD.

(1)4力与，。的数量关系是：LAZD：

(2)求证：△AOG三△DOE：

(3)当4D为直径时，OBA.CD,求。的值及优弧48的长.

24.(本小题10.0分)

甲、乙两名同学沿直线进行登山,甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达

山顶休息1九后再沿原路下山，他们离山脚的距离S(km)随时问t(h)变化的图象如图所示，根

据图象中的有关信息回答下列问题：

(1)甲同学上山过程中3尸与t的函数解析式为:点。的坐标为

(2)若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点尸与山顶的距离为0.75km.

①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式;

②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米.

25.(本小题12.0分)

如图1,在四边形48co中，A8〃C0,Z.BAC=90°,/IB=AC=CD=2\T7.将△ACO沿AC剪

下来，以4为旋转中心逆时针旋转a(0。VaV180。)，旋转过程中，AD.AC与8C所在的直线

的交点分别为E、F.

(1)求证：A/1FC=AC/1D；

(2)当旋转角为45。时，如图2所示，求重叠部分的面积：

(3)在旋转过程中，若CE=1,如图3所示，求CF的长：

(4)在旋转过程中，若CE=x,请直接写出8尸的长(用含》的式子表示).

26.(本小题11.0分)

如图是一动画的设计示意图，水面。轴)卜小山的最高点为力，山后由//?.BC.三部分绡

成,其中4(3,6),8(4,2),C(5,2),。(9,0)；水面下有两点叭一2,-2),N(0,-2),从平台MN上

的点E(不与点M,N重:合)向右上沿L：y=-/+打+匕+1发射带光的点p(水的影响忽略不

计)，设点E的横坐标为m.

(1)若L上最高点的纵坐标为9.

①求泌解析式并求此时m的值；

②判断点P能否越过点4?并说明理由.

(2)一个7形架："G〃》轴(FG在CD上方)，为尸G的中点，点K在CD上(不与端点重合)，KH1

FG,FH=HG=HK=1.设点K到％轴的距离为n,若L的对称轴为直线％=3,点P不能落在FG

上，直接写出〃的取值范围.

(温馨提示：抛物线顶点坐标公式(_/,也/))

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：。乂，马=，石.

故选：D.

直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可.

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：A、••・乙2与/I是对顶角，.•.乙1=42；

8、无法判定；

C、•••乙1是△的外角，.••41＞乙2,成立；

D、根据刷周角定理可知,21=42.

故选：C.

根据对顶角、外角与内角的关系及圆周角定理进行逐一分析解答.

本题考查三角形外角与内角的关系，及对顶角、圆周角定理比较简单.

3.【答案】C

【解•析】解：•••—（；—；）=—；，

•••-&-》的倒数为一6,

故选：C.

先将-欧-》化简，再根据倒数的定义即可进行解答.

本题主要考查了有理数的减法，切数的定义，解题的关键是掌握乘积为1的两个数互为倒数.

4.【答案】C

【解析】解：•••乙4=120。，乙B=60。,Z.C=150°,四边形内角和为360度，

Z.D=360°-120°-60°-150°=30°,

故选：C.

根据四边形内角和求解即可.

本题考查了四边形内角和，熟记四边形的内角和等于360。是解题关犍.

5.【答案】C

【解析】解：4、C=3,故A不正确，不符合题意：

8、•.•一4<0,无意义，故3不符合题意：

C、厂瓦=4,故C正确，符合题意；

。、忖=去故。不正确，不符合题意：

故选：C.

逐个判断各个选项，即可进行解答.

本题主要考杳了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的计算方法，以及

算术平方根的被开方数不能为负数.

6.【答案】C

【解析】解：:数据：-3,Q,2,3,5有唯一的众数3,

•••a=3>

•••这组数据按大小排序后为：-3,2,3,3,5,

•••这组数据的中位数为3.

故选：C.

先根据数据：-3,a,2,3,5有唯一的众数3,求得a的值，再计算中位数的大小.

本题主要考查了众数与中位数，求一组数据的众数的方法是找出出现次数最多的数据.将一组数

据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这

组数据的中位数.

7.【答案】A

【解析】解:0.000015米=1.5x10-5米.

故选：A.

科学记数法的表示形式为ax10屈勺形式，其中lW|a|<10,八为整数.确定n的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值Z10时,

n是正整数：当原数的绝对值VI时，九是负整数.

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及九的值.

8.【答案】A

【解析】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形：左视图是第一层两

个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方

形；

②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形：左视图是第一层两个小正方形，

第二层左边一个小正方形：俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形：

所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改

变，

故选：A.

根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视

图对两个组合体进行判断，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图.从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，

从上边看得到的图形是俯视图.

9.【答案】C

【解析】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意：

8、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意：

C.有两个邻角是直角，可以证明边长为3的两边平行且相等，可证明该四边形是矩形或正方形，符

合题意：

。、有两个邻角是直角，可以证明对边平行，但是不一定相等，所以无法证明该四边形是矩形，

不符合题意；

故选：C.

根据矩形的判定定理逐一判定即可.

本题主要考查了矩形的判定，熟加矩形的判定定理是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：2x2—3y2=—6,xy=215，

二原式二2x2-6xy+xy-3y2

2

=2x-3y2-5Xy

=-6-10\T3.

故选：B.

原式利用多项式乘多项式法则计兑，把各自的值代入计算即可求出值.

此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是脩本题的关键.

11.【答案】B

【解析】解：•••甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为/R=

U,

••・甲、丙两个电阻的电压相等，

如图所示，设乙表示的点为。，点4在反比例数/R=U上，则点力与甲的电阻的电压相等，

根据反比例函数A的几何意义，矩形7180C的面积大于DEOB的面积，即乙的电压小于A的电压，

根据反比例函数k的几何意义，⑷可求解.

本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：方案I：

由作图可知；AB=AP,

乙B=Z.APB,

Z.APB=Z.C+Z.PAC,

二Z.APB>Z.C,

乙B>乙C,

•••EF垂直平分8C,

BQ=CQ,

•••Z.C=Z.QBC,

乙ABC>乙QBC,

/.ABC>乙C,

故方案II可行，符合题意;

故选：C.

根据作图得出力B=4P,根等边对等角得出，B=N/1PB,根据4HPB=4C+乙P4C即可判断方案

I;根据垂直平分线的性质可得6Q=CQ,则“=乙QBC,根据乙/18C)“8C即可判断方案U.

本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握

等腰三角形等边对等角：垂直平分线上的点到两端距离相等.

13.【答案】B

【解析】解：如图：过A、8作HI,P8的垂线交于点0,

•-PA,PB分别与疝丽所在圆相切于点4B,

。为圆心,

•••乙P=60°,

Z.AOB=120°.

•••乙MOB=120°,

•••水平面上点M与点3之间的距离为4几,

•••MB的弧长=4m

120°x27rr，

解得：r=6.

故选:B.

如图：过力、8作P4,PB的垂线交于点。，。即为圆心：再根据题意可得44。8的度数，然后可得

优弧而对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可.

本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，求出优弧前的圆心角是解答本题的关键.

14.【答案】D

【解析】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型的价格为Q+10）元,

二花费100元购进“天宫”模型的数量是产，购进“神舟”模型的数量是儡

•••“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个

100100,_

r=赤+5,

故选：D.

每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比

“神舟”模型多5个.设“天宫”模型进价为每个工元，根据数量关系列方程即可.

本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关

键.

15.【答案】C

【解析】解：由题知，

限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2xsina,

①当Q=90。时，(1.4+2)犬，即h<3.4米即可通过该闸口，

故①正确；

②当a=45。时，h<(1.4+2X。)米，即hV1.4+C米即可通过该闸口，

•••2.9>1.4+V-2.

二h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，

故②正确；

③当a=60。时，hV(1.4+2X3)米，即hV1.4+米即可通过该闸口，

•••3.1<1.4+C，

二h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，

故③不正确；

故选：C.

根据题意列出八和角度之间的关系式即可判断.

木题主要考查特殊角三角函数的应用，熟练掌握特殊角三角形函数是解题的关键.

16.【答案】D

【解析】解：假设存在点E,使EG1FG,如图，连接力C,

•••四边形48CC是矩形，且。是8D的中点，

AD//BC,A,0,C三点共线，且。是4c的中点，

Z.AE0=Z.CF0,Z.EA0=Z.FC0,AO=C0,

AEO^LCFO(AAS),

.-.AE=CF,

-AE=DG,

：.DG=GF.

•••EG1FG,

:.乙EGD+乙FGC=90%

•••乙ADC=90°,

二乙DEG+Z.EGD=90。，

•••乙DEG=Z.CGF,

在和ACG?中，

Z.DEG=Z.CGF

乙EDC=乙GCF=90%

DG=CF

•••△DEG三ACGF(AAS),

DE-CG,

-AE=DG,

---AE+DE=DG-^CG,^AD=DC,

AB>BC,

CD>AD,

••・不存在点E,使EG1FG,即甲的结论不正确；

设=CD=4,BC=AD=3,AE=DG=x,则CF=AE=x,BF=BC-CF=3-x,CG=

CD-DG=4-x,ED=AD-AE=3-x,

ASAEFG=S矩形ABCD-S悌形AEFB-S^GCF-SEDG

=AB-BC-^(AEBF)-AB-^GC-CF-^ED-DG

4MZ

=4x3-^(x+3-x)x4-^(4-x)-x-^(3-x)-x

=/-枭+6

=(・"+条

.•.当x时，SAEFG有最小值，即乙的结论正确：

故选：D.

假设存在点E，使EG1FG,如图，连接力C,先证明△力£。三4CF。，得出HE=CF,进而得出DG=CF,

再证明△DEG三ZkCGF,得出DE=CG,进而得出力D=DC,这与己知力B>BC相矛盾，即可得出

不存在点E,使EG1FG,即甲的结论不正确；设4B=CD=4,BC=AD=3,AE=DG=x,

^)ICF=AE=x,BF=BC-CF=3-x,CG=CD-DG=4-x,ED=AD-AE=3-x,进

而得出SMFG=/—1+6=(%-»+£，得出当x=(时，5江收有最小值，即乙的结论正确；

即可得出答案.

本题考查了矩形的性质，全等三用形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质全等三角形的判定与性

质，求二次函数的最值等知识点是解决问题的关健.

17.【答案】i

4

【解析】解：由图可知：

倒入红汤锅底的概率是3

故答案为:

4

根据图中“红汤”所占面积比例即可进行解答.

本题主要考杳了几何概率，解题的关键是掌握概率=所求部分面积与总面积之比.

18.【答案】\

【解析】解：•••矩形H8CD,

•••DC=AB=12,

•：DF=CE,EF=6,

:.DF=CE=3,

:.DE=9,

二tanZ-AED=4?=z=

DEy3

故答案为：

•J

根据矩形的性质得出DC=48=12,再由题意得出=CE=3,DE=9,结合正切函数的定义

求解即可.

题目主要考查矩形的性质及正切函数的定义，理解正切函数的定义是解题关键.

19.【答案】44j<b<-^

44

【解析】解：(1)：点4(2,2),8(四1)在反比例函数丫=白">0)的图象上，

**•/t=2X2=771X1,

1,k=4,in=4,

故答案为：4,4；

(2)・・•点点C(O,b)、。(-4瓦0)

二直线CD为y="X+b,

由4(2,2),8(4,1)可知，阴影区域(不包括边界)内4个整点为(3,1),(2,1),(1,1),(1,2),

把(1,2)代入y=gx+b得2=：x1+b,解得》=

把(1,3)代入y=[x+b得3=3x1+6解得b=y,

・•・若阴影区域(不包括边界)内有4个整点，则b的取值范围为：<b£*

(1)利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入8(m,1)屏可求得m的值：

(2)求得直线。。为y=；x+b,根据题意阴影区域(不包括边界)内4个整点为(3,1),(2,1),(1,1),

(1,2),求得直线CD过点(1,2)和点(1,3)时的b的值，根据图象即可求得b的取值范闱.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问

题是本题的关键.

20.【答案】解：(1)48=2-(-7)=9.

(2)①-7+5=-2,

•••5秒后4点表示的数为一2：

②当点A运动到点B左边时，-7+£=2-2,

解得：t=7；

当点4运动到点B右边时，-7+£=2+2,

解得：£=11;

综上：£=7或11.

【解析】(1)用点8表示的数减去点力表示的数即可求解：

(2)①用点A表示的数加上点A所走的路程即可求解；②根据题意进行分类讨论：当点力运动到点B

左边时，当点运动到点B右边时.

本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是

掌握数轴上的点表示的数右边大于左边.

21.【答案】解：⑴•••x+3x=138,

:.4x=138,

解得％=34.5,

•••x为是整数，

二嘉嘉的说法不正确：

(2)设采购了力种洗手液工瓶，则采购了B种洗手液(138-幻瓶，

•••B种洗手液比4种至少多32瓶，

(138-x)—xN32,

解得％W53,

答：4种洗手液最多有53瓶.

【解析】(1)先解方程x+3x=138,然后观察结果即可说明嘉嘉的说法是否正确：

(2)根据8种洗手液比人种至少多32瓶，可以列出相应的不等式，然后求解即可.

本题考查一元一次不等式的应用、由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意,

列出相应的方程和不等式.

22.【答案】60612144

【解析】解：（1加=18+30%=60,

•••a=60x10%=6,

Ab=60-6-18-24=12,

故答案为：144；

(3)画树状图如下:

开始

甲乙丙丁

Zl\Zl\zT\/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种,

二恰好抽到甲、乙两名同学的概率为

1ZO

(1)由8的人数除以所占百分比得出九的值，即可求出a、b的值；

(2)由(1)的结果补全频数分布直方图，再由360。乘以“C”所占的比例即可；

(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公

式求解即可.

此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复

不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验

还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【答案】=

【解析】(1)解：乙A=£D,

理由：•••0/1=OB,

二Z.A=Z.B,

•••将半径为5的扇形4。乩绕点。逆时针旋转。。得到扇形COD.

•••Z.A=Z.C,乙B=乙。,

:.=Z.D,

故答案为：=：

(2)证明：••・将半径为5的扇形AOB,绕点。逆时针旋转。。得到扇形

COD.

：•0A=OB=0C=0D,Z.AOC=Z.DOB,

由（1）知，LA=ZD,

在△/lOG与aDOE中,

（LA=LD

\0A=OD,

（Z.AOG=乙DOE

：^AOG=^DOE{ASA）x

（3）解：•••力。为直径,

二Z.AOD=180°,

v0C=OD,OB1CD,

•••乙COB=乙DOB,

由（1）知，Z.AOC=Z.DOB,

二Z.AOC=乙COB=乙BOD=1x180°=60°,

•••a=60,

即a的值为60；

•••Z-AOB=120°,

・••优弧AB的长为空鬻=要.

(1)解根据等腰三角形的性质得到乙4=48,根据旋转的性质得到乙4=4C,乙B=LD,等量代换

即可得到结论：

(2)根据性质的性质得到。/=。8=。。=0。，乙AOC=CDOB,根据全等三角形的判定定理即可

得到结论：

(3)根据等腰三角形的性质得到“。8=408,由(1)知，乙A0C=30B,于是得到a=60,根

据弧长公式即可得到结论.

本题考查了弧长的计算，全等三珀形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握

旋转的性质是解题的关键.

24.【答案】S甲=：t(9,4)

【解析】解：(1)设甲同学登山过程中，路程s(千米)与时间t(时)的函数解析式分别为S尹二",

由图象得2=4k,

*',k=g,

••・解析式为5伊=如

当S尹—4时，t=8,

•••甲到达山顶时间是8小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，

••。(9,4),

故答案为：=“(9,4)：

(2)①当y=4-0.75=苧时，？="

解得”早

4

.,3913、

•।•点c/(了,彳)，

设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s=kt+b,将。(9,4)和F(半为代入得：

(9k+b=4

则:鼠+b="

解答忆2

答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S=—£+13：

②乙到山顶所用时间为：4+g=12(小时)，

当t=12时，5=-12+13=1,

当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4-1=3(千米).

答：甲与乙的距离是3千米.

(1)由图可知，甲同学登山过程中路程s与时间t成正比例函数，谀S甲=kt,用待定系数法可求解，

当$中=4时，可得£=8,即可得。的坐标：

(2)①把y=4-0.75代入(1)中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用

待定系数法求解即可：

②把y=4代入(1)中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的

关系式求解即可.

本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中

提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求.

25.【答案】(1)证明：-AB//CD,

Z.BAC=Z.ACD=90°,

在△48。和△C4D中，

AB=CA

Z.BAC=^.ACD,

AC=CD

•••△/IBCWACAO(SAS)：

(2)解：•••LBAC=90°,AB=AC=2V-2.

・•・△/18C是等腰直角三角形，

:.Z-ACB=乙ABC=45°,

是等腰直角三角形，

:.Z.CAD=45°,

•・•将△/CD绕点4逆时针旋转45。得到△/IC'D,

•••重登部分为△ACG,且4CIG=Z.ACG=45°,

:.Z-AGC=90°,

二AG=号AC=苧x2。=2，

二重费部分的面积为SMCG=1x22=2；

(3)解：如图，将A/IBF绕点4顺时针旋转90。，得至ibACF',连接EF',

^UACF'=Z.ABF=Z-EAF=45°,Z-CAF'=zF/IF,4〃=CF'=BF,

•••乙BAF+ZC/4E=Z-BAC-Z.EAF=90°-45°=45°,

Z.EAF'=Z.CAF'+Z.CAE=45°,

:.乙EAF'=Z.EAF,

在和△AEF中，

(AF1=AF

\z.EAF'=4EAF，

UF=AE

••.△4E『'三△ZIEF(SAS),

••.EF'=EF,

在等腰直角三角形△4BC中,BC=>/~2AB=V_2x2\/~2=4，

设EF=EF'=a,则Cr=BF=4—l-a=3-a,

在Rt中，CE2-VCF，2=EF，2,

l2+(3—a)2=a2,

解得：Q4，

*5

・•.EF=I，

•3

CO

：.CF=CE+EF=1+1=1：

•3J

(4)解：当0。<«<45。时，如图，将△梯尸绕点力顺时针旋转90。存到A/1CF',连接"'，EP,

F'

D______，小；…/

W\

B

设BF=y,贝IJC尸=4-y,

由旋转得：CF'=BF=y,AF^AF,LACFr==Z.ACB=45°,Z.CAF'=^BAF,

•••乙FAF'=LCAF'4-LCAF=LBAF+£CAF=Z.BAC=90°,

.••△/IFF是等腰直角三角形，

•••LEAF=LEAF'=45%

・••/IE垂直平分线段FV,

EF1=EF=CE+CF=x+4-y,

•••cBCF=Z-ACB4-^.ACF'=45°4-45。=90°,

:.乙ECF'=180°-乙BCF'=90°,

二CE2+CF'2=E”,

二/+y2=(%+4—y)2,

4x+8

,y二k

当45。Sa490。时,如图,将△ABr绕点9顺时针旋转90。得到△ACT',连接EF',

设BF=y,则CF=4-y,EF=4-x-y,

由旋转得：CF'=BF=y,AF'=AF,Z.ACF'=Z.B=Z.ACB=45°,Z.CAF1=Z.BAF,

•••乙EAF'=Z.CAF'+乙CAE=Z.BAF+乙C/1E=90°-乙EAF=45°,

:.LEAF'=Z.EAF,

在和中，

(AF1=AF

UEAF,=乙EAF，

(AE=AE

•••△£;4F'三△E/F(S/1S),

•••EF'=EF=4-x-y,

vCE2+CF，2=EF，2,

Ax24-y2=(4—x—y)2,

当90。＜aV135。时,如图,将A4CE绕点I逆时针旋转90。得到AZBE',连接EE',FE',

由旋转得：BE'=CE=x,AE'=AE,Z.ABE'=Z.ACE=Z.ABC=45°,Z.BAE1=Z.CAE,

•••乙EAE'=Z.BAE1+Z.BAE=Z.CAE+Z.BAE=90。，Z.CAD1=45°,

Z.EAF=z.E'AF,

•••4"垂直平分EE',

•••E'F=EF=4-x+y,

•••Z.ERE1=/.ARC+(ARE'=45°+45。=90°.

:.z.E/BF=1800-Z.EBE1=90°,

:.BF2+BE'2=E'F2,

即V+x2=(4-x+y)2,

.•・y=m(2<xV4)；

当a=135。时，ACy/BC,

••・4C'所在的直线与直线BC没有交点：

•••Z.CAD'=Z.CAD=45°,

二Z.AFC+乙AEB=45°,

v/.AFC+Z.CAF=Z-ACB=45°,

二Z.AEB=Z.CAF,

•••乙ABE=Z.ACF=135°,

•••△ABE^hFCA,

.AB_CF_

二'BE=AC,

BECF=AB-AC,

•:BE=CE-BC=x-4,CF=BF-BC=y-4,AB=AC=2\T7,

A(x-4)(y-4)=2AT2X2。,

4x-8

(X>4);

•••y=x-4

综上所述，尸的长为

8x+4-%"4-乂x-4

【解析】⑴由平行线性质可得4=Z.ACD=90°,再利用S/1S即可证得^ABC=LCAD；

(2)当旋转角为45。时，重叠部分为等腰直角三角形ACG,利