2024-2025学年高二数学上学期期末-专题07 数列的概念与通项公式（解析版） 人教A

专题07数列的概念与通项公式

根据规律求数列的项

数列的周期性及应用

数列的单调性

能

经

观察法求数列的通项公式

力

典

数列中的最值问罡优

基累加法求数列的通项公式

题型分类

化

构造法的应用>础累乘法求数列的通项公式

题

题

已知Sn的表达式求通项公式

已知Sn与an的关系求通

田递推公式求数列的项

经典基础题

根据规律求数列的项

一、单选题

1.（23-24高二下•陕西渭南•期末〉数列1,-3,5,-7,…的第9项是（）

A.-19B.19C.-17D.17

【答案】D

【分析】观察可得数列的一个通项公式为4=（-1）"“（2〃-1）,再代入计算口J得.

【详解】数列1,—3,5,-7,...»的通项公式可以为勺=（-1）向（2〃-1）,

所以%=（_『°（2x9-l）=17.

故选：D

2.（23-24高二上・云南昭通・期末）已知数列1,a,2,2&,4,，根据该数列的规律,8是该数列的（）

A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项

【答案】A

t分析】观察各项根据规律即可求解.

【详解】1,夜,2,2夜,4,，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值

故I,及22a,4,4夜,8,所以8是该数列的第7项,

故选:A

3.（23-24高二上•广西百色•期末）己知数列而，3,2右，后，...，则3G是这个数列的（）

A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项

【答案】B

【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项.

【详解】数列可以表示为6，G招,比，后，…，

则数列的一个通项公式为q=岛（〃€N"）,

36=厉=6万，是这个数列的第9项.

故选：B.

4.（23-24高二上•山西长治・期末）在数列山,拉，/，2,石…中，根据前5项的规律写出的第

12个数为（）

A.2&B.x/ioC.THD.2G

【答案】D

【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数.

【详解】观察可得，数列的第〃个数订以写为而，所以第12个数为：V12=25/3.

故选:D

5.（23-24高二上•四川南充•期末）已知数列工，工,工，上，上,……，根据该数列的规律,

1x22x33x44x55x6

则上是该数列的（）.

72

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

【答案】C

【分析】利用*=嬴，再根据题中所给数列的规律即可求出结果.

【详解】因为工=工，所以根据该数列的规律可知，上是该数列的第8项，

728x972

故选：C.

6.（23-24高二上•河北邢台•期末）已知某数列为，按照这个规律，则该数列

491625

的第10项是（）

10io1111

A.---B•&7C.-----D.---

8181100100

【答案】D

【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解.

■、必即、,।aHg叫r.ic3456_.,1+12+13+14+15+1

【详解】由题后，数列一2，了一§，花，一不，，川z化为—「，—丁，"7^"'一"5^"，，

所以数列的一个通项公式为为=（-1）"七2,所以该数列的第10项是%=2.

n100

故选：D.

二、填空题

7.（23-24高二上•广西•期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两

黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第〃个图的化学键和原子的个数之和为个.（用含〃的

代数式表示）

omon…

（1）（2）（3）（〃）

【答案】9n+3

【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、...的个数之和找到对应的数字规律.

【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子：

第2个图中有11个化学键和10个原子：

第3个图中有16个化学键和14个原子，

观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，

则第〃个图有6+5（〃-1）=5〃+1个化学键和4〃+2个原子，所以总数为9〃+3.

故答案为：9〃+3

数列的周期性及应用

一、单选题

1.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•期中）数列｛”“｝中，4=1,q=2,且可+2=q+「q（〃€河），则

^2024为（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【分析】根据递推关系可得数列的周期性，即可求解.

【详解】由可=1,%=2,且。”+2=。加一可得。3=。2-q=1，/=43-%=-1，%=4-见=-2,

4=%-4=T，%=4-%=1，q=%一%=2....,

所以｛4｝为周期数列，且周期为6,故。2024=4*337+2=“2=2,

故选：A

2.(23-24高二上•云南昆明・期末)在数列也｝中，若4=0,%=T，《―心,则()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出数列｛4“｝的周期，再由此求出。初「

【详解】在数列｛叫中，4.2=-4，则%=-%=-(-/“-4)-%=4，

因此数列数列｛4｝的周期为3,所以/024=%=-1.

故选：D

3.(23-24高二下•辽宁葫芦岛•期末)已知函数/(x)=V+x,数列｛叫满足％=Lq+4=a“(〃wN)

2025

/(4+%)+/(4+《)=°，则()

/=|

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】首先结合/'(x)=f+x的奇偶性和单调性，由〃4+/)+/(%+/)=0可得

2025

%+%+6+%=0，又4t+4=。4，好河)知数列｛q｝是4项以循环的周期数列，故求出=1.

1=1

【详解】由〃X)=f+X,则〃T)=—V—X,可得/(X)+/(—X)=0.

由函数的性质，知/(X)在(7),位)上单调递增.

因为/(4+%)+/(4+/)=。，所以4+%+q+4=。.

又a,g=an(〃eN),可得4=%=火==a4n_3,a2=a6=al0==a4n_2,a^=a7=a„==a4„_,f

4=%=%==《”，

...q+生+%+%=%+4+/+/=%+4。+"“+。】2=…=4”-3++/小+4”=°

2025

Za=(ai+a2+%+“4)+("s+ab+a7+仆)++(。2。21+a2022+“2(1”+“2024)+。2025="2025=%=1•

r=l

故选:B.

4.（23-24高二下•贵州黔东南•期末）已知数列｛4｝满足6=3,^.+^,=2,则仁=（）

A.3B.2C.1D.-1

【答案】D

【分析】根据递推式求出数列前几项，得到数列为周期数列，然后可求出结果.

【详解】因为数列｛。”｝满足4=3,。川=2,

所以。2=-1，6=3,4=T，匕，

故｛4｝是周期为2的数列，

所以%2=生=T.

故选:D

5.（23-24高二下•北京石景山•期末）在数列｛4｝中，«,=-2,（〃eN），则嗫4的值

ft

为（）

cI13

A.-2B.•-C.-D.-

322

【答案】D

【分析】数列｛%｝中，由％=-2,，“=1一：，计算。2，%，生，…，可得4户二勺，利用

rr

周期性计算得出.

I13

【详解】数列｛4｝中，由4=-2,ant,=1-----,得-----=5>

ana\Z

同理可得的=；，4=-2，…，

3

所以4+3=%，则见024=%4小2=“2=5.

故选：D.

4

6.（23-24高二下•江西抚州•期末）在数列｛4｝中，若则。2024=（）

4

A.-2B.4C.1D.一

3

【答案】B

【分析】由已知递推式可求出%，％，4，生，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案.

4

【详解】因为数列｛4｝中，q=l，l尸有1，

44

所以生4,6

2-«,2-12-a22-4，

4444

a.=-------=-----------=-------=------=4=%

2-42-(-2)2-42-1

所以数列包｝是以3为周期的周期数列,

所以4024=&(674+2=々2=4.

故选：B

7.(23-24高二下•江西南昌•期末)若首项为1的数列｛4｝满足，*=华上,则《6=()

A.2-5/3B.2+6C.-1D.1

【答案】C

【分析】利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周

期性来得到结果.

【详解】由6=1,%=华金得:

J3一

回+1.6(2+如1_4+2&拈

一初一向(2+石厂26

_氐」+1_何-2_©+1__2_2抬__

心一痒的一6十2-0-2+2场~，

如*，田=咛=*=一2+道

6-％V3-(-l)1+指-2

_G%+]_6(_2+6)+l_4_2、6一G

百十2+@一^f，

_岛+1_6(2-6)+-2+2、万

76-46-2+275'

因为%=4,由此得数列｛%｝是一个周期为6的数列,

所以外=%=%，则%=T，

故选：c.

8.（23・24高二下•河南南阳•期末）己知数列｛q｝满足4=1.=2,且％2=。川+可，设勿=（-1产，

则数列｛九｝的前2024项和为（）

A.674B.673C.-673D.-674

【答案】D

【分析】利用数列的递推关系结合数列的周期性求解即可.

【详解】因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数，

所以数列｛an｝的各项的奇偶情况依次为奇、偶、奇、奇、偶、奇……

所以数列出“｝的各项依次为-1JT，T，1，T，・、

故数列｛九｝以3为周期，且相邻3项之和为-1,

因为2024=3x674+2,

所以数列｛^｝的前2024项和为-1x674-1+1=-674.

故选：D.

9.（23-24高二上•河北衡水•期末）在数列｛%｝中，4=3,@向=昔"。?之1）,则｛《,｝的前2024项

n

和为（）

17713541

A.589B.590C.——D.

36

【答案】C

【分析】由递推公式写出前5项，发现数列｛q｝是以4为周期的周期数列，从而利用周期可得结果.

【详解】因为一,%=言（〃加

I+-

”,1+3.1+(-2)

所以%=二=-2吗=77^

而%=4,所以数列｛4｝是以4为周期的周期数列,

1771

所以｛4｝的前2024项和7；皿=q+&+q+=506（a,+〃,+&+%）=—^―.

故选：C.

10.（23-24高二上•福建福州•期末）已知数列｛““｝满足。向=£-,q=T,则%必=（）

1

A.-1B.-C.2D.4

2

【答案】B

【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.

【详解】由44=-1，

1一4

所以数列｛4｝是以3为周期的周期数列,

则生必=®674+2=/=：♦

故选：B.

二、填空题

11.：23-24高二上•上海•期末）数列｛q｝满足：%=2,%=1--—（??=2,3,4,）,则/0M

an-l

【答案】1/0.5

【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案.

【详解】法一:依次代入4,的值，看看它们符合什么规律：

2

&=1一」•=1一；=1+1=2=%.至此可以发现周期为3.

4T

.2024+3=6742（余数为2）,二/24=%=；.

故答案为：

法二：该数列的周期为3,推理过程妇下展示：

将〃换成"+1,得。川=1-'，再将=1一1一代入，得

'n-l'n-l

再将〃换成〃+2,得%.2=1-」一,继续将代入，得“2=1———="'*一।二%

*一1二口

：.T=3,以下同解法一.

故答案为：

为奇数

12.（23-24高二上•江苏南通•期末）已知数列｛《J满足q=3,«,I+I="J_〃为偶数，则/=

4,

数列｛4｝的前99项和为.

【答案】3y

【分析】根据递推公式列举出前儿项，进而可求出外及数列的周期，进而可得出答案.

1-4,〃为奇数

【详解】由4=3,%

为偶数'

得。2=1-4=-2,/」=一；,3一I_21

-»%=—=1，a=1-0,=-,

a2N2q3°63

«7=--=3,aK=\-a7=-2,

4

所以数列｛〃“｝是以6为周期的周期数列,

97

所以数列｛q｝的前99项利为16(q+%+6++出+&)+4+/+%=5・

故答案为:3：

13.（23-24高二上•福建福州•期末）数列｛qj满足4=1一《，则

【答案】-1

【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案.

【详解】a2=\--=\-2=-\,

a\

q=1-5=1一;=；=《.至此可以发现该数列的周期为工

•.■2024+3=674…2(余数为2),，%)24=。2=—1・

题型03数列的单调性

一、单选题

1.（23-24高二上•湖北武汉•期末）函数/（用的定义域为化内），数列应｝满足。“=/（〃），则"函数

/（X）为减函数”是"数列｛an｝为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充

分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例.

【详解】因函数/（%）的定义域为口，内），函数/（x）为减函数，又因数列｛《J满足/=/（〃）中，〃wN,

而N'口［1,+8）,则>=/（〃）在〃eN"上必是递减的，

即数列｛〃”｝为递减数列，故“函数/（其为减函数”是"数列｛4｝为递减数列”的充分条件：

反之，数列｛《,｝为递减数列，即，=/5）在〃wN,上是递减的，但是产/3在上未必递减.

（如函数/（X）=TX］.XA1在xw［1.2）上的函数值都是一］,显然函数不是减函数，同时对应的数列

生=一［出去U是递减数歹心

故“函数/（*）为减函数"不是"数列｛&｝为递减数列”的必要条件.

故选：A.

2.（23-24高二下•北京大兴•期末）已知等比数列回｝的前〃项和为S“，公比为/且$2<0,则（）

A.数列｛SJ是递增数列B.数列｛SJ是递减数列

C.数列（§2,,｝是递增数列D.数列｛SzJ是递减数列

【答案】D

【分析】利用作差法及等比数列通项公式得到邑.2-8“<0,即可判断C、D,利用特殊值判断A、

B.

【详解】因为等比数列伍“｝的前〃项和为工，公比为4,显然4工0,

若与＜0,即％+4＜。，所以S2”2-%=%”2+a2”“=（4+a2）/"v°，

所以设2”｝是递减数列，故C错误、D正确：

若％=1,q=-2,则a“=（-2）"l满足％+«2=-1<。，

但是S..LS“=4=1X（-2）"-，则⑸｝不具有单调性，故A、B错误.

故选：D.

3.（23-24高二卜.•北京西城•期末）设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，则”｛4｝是递增数列”是“⑸｝是

递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据等比数列递增数列分类得出4（0,1%>0或4>0,4>l,｛S「递增得出4>0,最后根据既

不充分也不必要条件判断即可.

【详解】｛可｝是等比数列是递增数列，则4〈04）9>0或4>。国>1,

⑸｝是递增数列，S“一Sf=4=4/T>o,即得4>（）,q>0；

“｛〃」是等比数列是递增数列"是"｛SJ是递增数列"既不充分也不必要条件.

故选：D.

4.（23-24高二上•浙江杭州•期末）已如数列｛勺｝为等比数列，公比为s前〃项和为，，则“邑>0"

是“数列｛与“｝是单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.

【详解】因为数列｛4｝为等比数列，公比为夕，前，，项和为S”，

若邑>0,即S2=（6+/）>。，则52..「4=%“+2+%向=（4+/）92”>0,即数列｛S?”｝是单调递增

数列；

若数列｛$2“｝是单调递增数列，则S*2F=%”+2+%向=（4+引力>（）,所以S?=（q+4）>0：

所以"S?>0〃是“数列｛必｝是单调递增数列”的充要条件.

故选：C.

5.（23-24高二上•江苏南通•期末）已知｛4｝是等比数列，贝是"｛〃“｝为递增数列”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】当/>4>0,则公比夕二">】，

a\

所以《,=4">0,

则乎=g>l,所以所以｛4｝为递增数列,

若为=一6）"'此时数列包｝为递增数列'而

所以“%>4>。"是"｛为｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：B.

6.（23-24高二下•辽宁大连•期末）已知函数/（x）,若数列q=/（〃）,为递增数列，则称函数

”刈为"数列保增函数〃，已知函数〃x）=-ln2x+/k为"数列保增函数〃，则4的取值范围是（）

A.R.（In2.+co）C.D.g,+s）

【答案】B

【分析】依题意/（〃+】）>/（〃），〃eN*恒成立，参变分离可得+恒成立，结合

函数的单调性求出+的最大值，即可得解.

【详解】依题意+〃wN♦恒成立，

即一ln2（〃+l）+%（〃+l）>—ln2〃+%〃，neN"恒成立，

所以4>In2（〃+1）-In2〃=ln（l+：）,〃wN"恒成立，

又丁=1+，在。，铐）上单调递减，y=lnx在（0,+功上单调递增，

(1+力在(O,+8)

所以y=】n1+上单调递减,

所以当〃=1时1巾+:)

=ln2,

nux

所以/l>ln2,即2的取值范围是(ln2,”).

故选:B

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到/(〃+1)>/(〃)，〃eN•恒成立，再参变

分离得到2〃eN«恒成立.

12(〃一2)

7.(23-24高二上•湖北武汉•期末)已知数列｛(q｝的前，?项和为S”，且S“+q,=2,设"=」~<

册

若数列｛4｝是递增数列，则人的取值范围是()

A.(e,2)B.(-<»,3)C.(2,+co)D.(3,+oo)

【答案】B

【分析】先利用a“=S.-S,r求出数列｛4｝的通项公式，再通过如「〃”>()恒成立求4的取值范围.

【详解】由S.+i=2得Sz+%=2〃之2,

两式相减得4+q一勺一1=0，即见=，

又$+6=2,得q=l,

所以数列｛““｝是以1为首项，；为公比的等比数歹U，

所以「(｛T，

所以“=2"(/?-2)

若数列｛匕｝是递增数列

则鼠「％=2*(〃+1-口一2"(〃一#=2"(〃+2-4>。恒成立,

即〃+2-/1>0恒成立，

即4<〃+2恒成立,又nNl/wN"

所以义<3.

故选：B.

8.（23-24高二上•北京顺义•期末）己知等比数列｛4｝的首项4>1,公比为q,记。=4/…q（〃wN'）,

则“0<””是"数列"｝为递减数列”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前〃项和公式、充分性和必要性的定义进行判

断即可.

I）

【详解】由题意,（="|,（44）'）=味/rV2>0,

T。+1_q，q-2-一〃

〒-----亚一《，q，

"小厂

,、2

当4>1,。<夕<1时，％0<1对于〃eN.不一定恒成立，例如％=2,4=晨

当｛1｝为递减数列时，"0旦4•夕”<1对于〃wN，恒成立，

又因为4>1,所以得。<”1,

因此"0<q<1"是"数列｛1｝为递减数列”的必要不充分条件，

故选：C.

二、多选题

9.（23-24高二下•陕西西安•期末）已知（凡）是等差数列，｛4｝是等比数列，下列说法正确的是（）

A.｛2“。｝是等比数列

B.｛质｝是等差数列

C.若4*2<%，则5,为递减数列

D.若4诲则｛"｝为递增数列

【答案】AC

【分析】他」是等差数列，设公差为一；也,｝是等比数列，设公比为/A选项由定义证明｛2%｝是

等比数列；B选项通过举反例"=2"时，证明｛冈｝不是等差数列；C选项，由。“+2<q得到d<0,

从而｛《,｝为递减数列：D选项通过举反例2=（-2）”，此时数列｛"｝不是单调数列.

【详解】他」是等差数列，设公差为d：也,｝是等比数列，设公比为9,

A选项，设「=2%，则£巴=蓼=2*-%=2”为常数，所以｛2“。｝是等比数列，A正确；

Cn2

B选项，设4=何，当勿=2"满足色｝是等比数列，

此时4=柩|=2.现=4=4+4=血+2及，｛同｝不是等差数列，B错误；

C选项，<”+2<4时，即a"+2d<a“，得〃<（）,则｛%｝为递减数列,C正确；

D选项，当"=（—2）i满足也“）是等比数列，且々=1,4=4,4<么，此时｛4｝不是单调数列，D

错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列：

定义法：~J2~=（f（常数），n>2

an-\

等比中项法：d=，*•%,〃N2

通项公式法：an=mq

前〃项和特征法：S.=-A+Ax/

10.（233高二下•内蒙古赤峰期末）已知等差数列｛q｝的前〃项和为£,公差4>0,则下列数列

一定是递增数列的为（）

C

A.巧|B.｛〃0｝C.｛2"q｝D.｛2"+4｝

【答案】AD

【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式，利用数列单调性的概念逐个分析判断.

【详解】对于A,因为弱=叼+〃（〃”',所以&=4+"^,

2n2

\+1s“nd（H-l）t/d八

所以二1L一_;L=a+----aA-----Z_=一>0,

n+\n12122

所以数列｛｝｝为递增数列，所以A正确，

对于B,因为an=4+(〃-1)4,所以na„=叫+n｛n-\)d,

所以(〃+l)a“+i-M”=5+l)q+n(n+\)d-[nat+n｛n-1)J]=a｝+2nd,

因为qeR,所以4+2次/不一定为正实数，

所以数列卜卜〃“｝不一定为递增数列，所以B错误，

对于C,因为。“=4+5-1",所以2'a“=2"4+2"5-l)d,

n

所以2”%同-2an=+2向•nd-[2飞+2"(w-l)J]

=2"'%+2向•nd-2'4-T｛n-\)d

=24+2"・〃d+2"d

=2"I：4+nd+4),

因为“wR,所以4+〃</+"不一定为正实数，

所以数列｛2"•%｝不一定为递增数列，所以C错误，

对于D,因为。“=%+(〃一1)"，所以2"+a“=2"+%+(〃-1)4,

n

所以2向+凡.一(2"+为)=2向+q+nd-[2+ax+(〃-l)d]=2"+d>0,

所以数列｛2"+«,｝为递增数列,所以D正确.

故选：AD

11.(23-24高二下•江西吉安•期末)已知首项为1的正项数列｛q｝满足4a3-1=4%”,，则()

A.｛4｝为递增数列B.-V>-7

Ach

c.a短-扁24D.数列｛--4｝为递减数列

【答案】ACD

,I,21a111

【分析】由已知递推式可得/“一凡=石二>°,可判断AB：推得%+「可=^+沆<[+*=2,

由数列｛4｝的单调性，可判断C；由4=4川-凡=——，可判断D.

【详解】对A,由4a一1=4%“4，4=1,可得《向-q=%］一华!二1=J—>0,

即4”>为，可得数列｛4｝为递增数列，故A正确:

对&由数列｛《,｝为递增数列，可得小>%>1,即有=<=,故B错误;

%al

对C,由A知，依｝为递增数列，且%>o,•.•2<1,

“"+1

一，2，1>,1a111.

刖以%“q=Iqqa”+i%)=414an<414=2f故。正确•

4

对D,由4=。那一《,=/—

,可得"“一"=：1——--=>：'2<0,则数歹」｛/「〃”｝为递减

4%4%4a向4。2%+2

数列，故D正确.

故选：ACD.

12.（23-24高二上•浙江嘉兴•期末）记等比数列｛《,｝的前〃项和为5“，若-则（）

A.｛〃“｝是递减数列B.｛4｝有最大项

C.设2“｝是递增数列D.6｝有最小项

【答案】BCD

【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为9（qw0）,因为-4<4，

所以q>O,-l<q<l且4=0,

对A选项，当。<4<1时，｛%｝是递减数列，-1<9<0,｛q｝是摆动数列，故A错误:

对B选项，当。<夕<1时，｛4｝是递减数列，最大项为4，

当一1<9<0,｛4｝是摆动数列，6>0,

所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故B正确：

对C选项，%,二”-仁）,4>0「l<q<l且夕。0,则0</<1,所以4>°，

因为y=/=（g2y单调递减，所以）,=1—六单调递增，

所以§2"二叫一"）单调递增:故C选项正确：

i-q

对D选项，当0<夕<1时，｛”"｝是递减数列，｛s“｝有最小项H,没有最大项，

当｛q｝是摆动数列，因为q>0,所以数列奇数项为正，偶数项为负，且｛|2|｝单调递减，

所以数列｛，｝有最小项为邑，最大项为5,故D选项正确；

故选：BCD

三、填空题

13.（23-24高二下•北京房山•期末）设无穷数列｛q｝的通项公式为勺=-“2+观+数2>2）.若｛4｝是单

调递减数列，则％的一个取值为一.

【答案】2=：（答案不唯一，义62.3）即可）

【分析】根据数列的函数特性，可得解不等式可得4的取值范围.

【详解】由«„=-«*+An+3可得q+J=-（〃+炉+丸（〃+1）+3,

又｛4｝是单调递减数列，可得。用<。.，

RP-（/?+l）2+/l（n+l）+3<-/22+2/2+3,

整理得-2”-1+之<0恒成立，

即/1<（2〃+1）皿,〃61<恒成立，

132V3,

又因为42,所以2V2V3,

即2取值范围为丸w（2,3）,

故答案为：A=!（答案不唯一，4w（2,3）即可）

14.（23-24高二上•北京丰台•期末）匚知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，能够说明“对取若

〈为，则S?<$”是假命题的｛q｝的一个通项公式为〃“=.

【答案】-〃+3（答案不啡一）

【分析】由命题为假命题，则符合条件的等差数列递减且为20即可.

【详解】等差数列｛%｝的前〃项和为旌，

若“对若叫<%,则S2<S」是假命题,

只需等差数列｛4｝为递减数列，%之0即可，4=-〃+3符合题意.

故答案为：-〃+3

题型04观察法求数列的通项公式

一、单选题

1.（23-24高二下•安徽•期末）数列-4一级,…的通项公式可以为（）

A.(-1)”一^-B.(-If2n

'72/?+1

C.(一1广工

I72〃+1。if

【答案】B

【分析】根据题意逐•检验选项即可.

【详解】对于选项A：令〃=1，可得一，不合题意;

对于选项B：代入检验均可，符合题意:

9

对于选项C：令”=1,可得不合题意:

对于选项D：令八=1,可得2,不合题意:

故选:B.

2.（23-24高二下.江西景德镇.期末）数列1,-聂‘-；'5'的通项公式可能是（）

(~irR〃(T)向

A.aB.a=--------

n~2^"n2n

(-1)"(-Dn+，

C.a,Dn.a=-------

2n-\

【答案】D

【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式.

【详解】由题数列的前5项可改写为33*

其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数,

故数列的通项公式为q=匕1

2〃一1

故选：D.

3.⑵3高二下•江西南昌•期末）数列2v与g*的一个通项公式为<>

rt/八”T2〃

A.(/-1i\*'-〃--+-1-B.(-1)-----

、)2〃+1')2/J-1

【答案】B

【分析】根据观察法，结合选项直接得出结果.

【详解】由题意知，数列*，可改写为+；「*+*—*，

该数列的奇数项为正值，偶数项为负数，

前4项的分母为135,7,分子为2,4,6,8,

所以数列2,m的通项公式为㈠广兴.

3572M-1

故选：B

4.(23-24高二下•陕西渭南•期末)数列1,-3,5,-7,…的第9项是()

A.-19B.19C.-17D.17

【答案】D

【分析】观察可得数列的一个通项公式为4=(-1)°"(2〃-1),再代入计算可得.

【详解】数列1,-3,5,-7,...»的通项公式可以为勺=(-1)向(2〃-1),

所以弓=(-『°(2X9-1)=17.

故选：D

5.(23-24高二上•山西忻州•期末)已知数列的前4项分别为3-〈，5+：,7-1,9+—,则该数

24816

列的一个通项公式可以为()

A.2〃+1+(-1)”土」

In

0/7—1

B.2〃+1+(-1)向"

T

C.2〃+1+(-1严即口

2〃

D.2〃+1+(-1)"与二

【答案】D

【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答

案.

【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数2〃+1,后面分数部分正负相间，首项的分数部分

为负，

分母为2"，分子为2〃-1,

2〃一1

故该数列的一个通项公式可以为勺=2/2+1+（-1）"—,

故选：D

6.（23-24高二上•江苏南通•期末）数列1,„

的通项公式可能是4=（）

/r+1〃+1ir

rA«B.C.D.

H+l+12n-l

【答案】A

【分析】采用排除法以及检验法即可得解.

【详解】当I时，W=2'故排除口，当〃=2%臣n+一\寸3附n2一?故排除「经检验人

选项符合题意.

故选：A.

二、多选题

7.（23-24高二上・湖南永州•期木）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们

根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1,图形中黑色小点个数：1,3,6,10,...

称为三角形数，如图2,图形中黑色小点个数：1,4,9,16,...称为正方形数，记三角形数为数列｛勺｝,

正方形数为数列｛b｝，则（）